MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdiveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdiveq 16728
Description: The modular inverse of ๐ด mod ๐‘ƒ is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
prmdiveq ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘† = ๐‘…))

Proof of Theorem prmdiveq
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 prmz 16619 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
65ad2antrl 725 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
74, 6zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘†) โˆˆ โ„ค)
8 1z 12596 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
9 zsubcl 12608 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘†) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
107, 8, 9sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
11 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
1211prmdiv 16727 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
1312adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
1413simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
15 elfzelz 13507 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
174, 16zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
18 zsubcl 12608 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1917, 8, 18sylancl 585 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
20 simprr 770 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))
2113simprd 495 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1))
223, 10, 19, 20, 21dvds2subd 16243 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
237zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
2417zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
25 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2623, 24, 25nnncan2d 11610 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘…)))
274zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 elfznn0 13600 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
2928ad2antrl 725 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
3029nn0red 12537 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
3130recnd 11246 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
3216zcnd 12671 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3327, 31, 32subdid 11674 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)) = ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘…)))
3426, 33eqtr4d 2769 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)) = (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
3522, 34breqtrd 5167 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
36 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
37 coprm 16655 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
381, 4, 37syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
3936, 38mpbid 231 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1)
406, 16zsubcld 12675 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
41 coprmdvds 16597 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘† โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
423, 4, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
4335, 39, 42mp2and 696 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…))
44 prmnn 16618 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
451, 44syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
46 moddvds 16215 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘† mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
4745, 6, 16, 46syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘† mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
4843, 47mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ))
4945nnrpd 13020 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
50 elfzle1 13510 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
5150ad2antrl 725 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
52 elfzle2 13511 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
5352ad2antrl 725 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
54 zltlem1 12619 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘† < ๐‘ƒ โ†” ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
556, 3, 54syl2anc 583 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† < ๐‘ƒ โ†” ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
5653, 55mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† < ๐‘ƒ)
57 modid 13867 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘† โˆง ๐‘† < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘† mod ๐‘ƒ) = ๐‘†)
5830, 49, 51, 56, 57syl22anc 836 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† mod ๐‘ƒ) = ๐‘†)
59 prmuz2 16640 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
60 uznn0sub 12865 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
611, 59, 603syl 18 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
62 zexpcl 14047 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
634, 61, 62syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
6463zred 12670 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„)
65 modabs2 13876 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
6664, 49, 65syl2anc 583 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
6711oveq1i 7415 . . . . 5 (๐‘… mod ๐‘ƒ) = (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ)
6866, 67, 113eqtr4g 2791 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6948, 58, 683eqtr3d 2774 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† = ๐‘…)
7069ex 412 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† = ๐‘…))
71 fz1ssfz0 13603 . . . . . 6 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โІ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
7271sseli 3973 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
73 eleq1 2815 . . . . 5 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
7472, 73imbitrrid 245 . . . 4 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
75 oveq2 7413 . . . . . . 7 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐ด ยท ๐‘†) = (๐ด ยท ๐‘…))
7675oveq1d 7420 . . . . . 6 (๐‘† = ๐‘… โ†’ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1))
7776breq2d 5153 . . . . 5 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
7877biimprd 247 . . . 4 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)))
7974, 78anim12d 608 . . 3 (๐‘† = ๐‘… โ†’ ((๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))))
8012, 79syl5com 31 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))))
8170, 80impbid 211 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘† = ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12980  ...cfz 13490   mod cmo 13840  โ†‘cexp 14032   โˆฅ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  โ„™cprime 16615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-phi 16708
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  16729  modprminveq  16742  wilthlem1  26955  wilthlem2  26956
  Copyright terms: Public domain W3C validator