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Theorem prmdiveq 16117
Description: The modular inverse of 𝐴 mod 𝑃 is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
Assertion
Ref Expression
prmdiveq ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))

Proof of Theorem prmdiveq
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 prmz 16013 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))
5 prmdiv.1 . . . . . . . . . . 11 𝑅 = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)
65prmdiv 16116 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
76adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
87simprd 499 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1))
9 simpl2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℤ)
10 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℤ)
1110ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℤ)
129, 11zmulcld 12085 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ)
13 1z 12004 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
14 zsubcl 12016 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑆) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
1512, 13, 14sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑆) − 1) ∈ ℤ)
167simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)))
17 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ ℤ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℤ)
199, 18zmulcld 12085 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ)
20 zsubcl 12016 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝑅) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
2119, 13, 20sylancl 589 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝐴 · 𝑅) − 1) ∈ ℤ)
223, 4, 8, 15, 21dvds2subd 15641 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
2312zcnd 12080 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑆) ∈ ℂ)
2419zcnd 12080 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℂ)
25 1cnd 10629 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 1 ∈ ℂ)
2623, 24, 25nnncan2d 11025 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
279zcnd 12080 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
28 elfznn0 12999 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
3029nn0red 11948 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℝ)
3130recnd 10662 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ∈ ℂ)
3218zcnd 12080 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑅 ∈ ℂ)
3327, 31, 32subdid 11089 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴 · (𝑆𝑅)) = ((𝐴 · 𝑆) − (𝐴 · 𝑅)))
3426, 33eqtr4d 2839 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴 · 𝑆) − 1) − ((𝐴 · 𝑅) − 1)) = (𝐴 · (𝑆𝑅)))
3522, 34breqtrd 5059 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆𝑅)))
36 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ¬ 𝑃𝐴)
37 coprm 16049 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
381, 9, 37syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (¬ 𝑃𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
3936, 38mpbid 235 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
4011, 18zsubcld 12084 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆𝑅) ∈ ℤ)
41 coprmdvds 15991 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑆𝑅) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
423, 9, 40, 41syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑃 ∥ (𝐴 · (𝑆𝑅)) ∧ (𝑃 gcd 𝐴) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
4335, 39, 42mp2and 698 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∥ (𝑆𝑅))
44 prmnn 16012 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
451, 44syl 17 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
46 moddvds 15614 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
4745, 11, 18, 46syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → ((𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (𝑆𝑅)))
4843, 47mpbird 260 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = (𝑅 mod 𝑃))
4945nnrpd 12421 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
50 elfzle1 12909 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 0 ≤ 𝑆)
5150ad2antrl 727 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 0 ≤ 𝑆)
52 elfzle2 12910 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
5352ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 ≤ (𝑃 − 1))
54 zltlem1 12027 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑆 < 𝑃𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
5511, 3, 54syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 < 𝑃𝑆 ≤ (𝑃 − 1)))
5653, 55mpbird 260 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 < 𝑃)
57 modid 13263 . . . . 5 (((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑆𝑆 < 𝑃)) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
5830, 49, 51, 56, 57syl22anc 837 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑆 mod 𝑃) = 𝑆)
59 prmuz2 16034 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
60 uznn0sub 12269 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
611, 59, 603syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
62 zexpcl 13444 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑃 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
639, 61, 62syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℤ)
6463zred 12079 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
65 modabs2 13272 . . . . . 6 (((𝐴↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
6664, 49, 65syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃))
675oveq1i 7149 . . . . 5 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝐴↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) mod 𝑃)
6866, 67, 53eqtr4g 2861 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → (𝑅 mod 𝑃) = 𝑅)
6948, 58, 683eqtr3d 2844 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) ∧ (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))) → 𝑆 = 𝑅)
7069ex 416 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) → 𝑆 = 𝑅))
71 fz1ssfz0 13002 . . . . . 6 (1...(𝑃 − 1)) ⊆ (0...(𝑃 − 1))
7271sseli 3914 . . . . 5 (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1)))
73 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ↔ 𝑅 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
7472, 73syl5ibr 249 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) → 𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1))))
75 oveq2 7147 . . . . . . 7 (𝑆 = 𝑅 → (𝐴 · 𝑆) = (𝐴 · 𝑅))
7675oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝑆 = 𝑅 → ((𝐴 · 𝑆) − 1) = ((𝐴 · 𝑅) − 1))
7776breq2d 5045 . . . . 5 (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)))
7877biimprd 251 . . . 4 (𝑆 = 𝑅 → (𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1) → 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)))
7974, 78anim12d 611 . . 3 (𝑆 = 𝑅 → ((𝑅 ∈ (1...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑅) − 1)) → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
806, 79syl5com 31 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → (𝑆 = 𝑅 → (𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1))))
8170, 80impbid 215 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝑃𝐴) → ((𝑆 ∈ (0...(𝑃 − 1)) ∧ 𝑃 ∥ ((𝐴 · 𝑆) − 1)) ↔ 𝑆 = 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   · cmul 10535   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  +crp 12381  ...cfz 12889   mod cmo 13236  cexp 13429  cdvds 15603   gcd cgcd 15837  cprime 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-phi 16097
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  16118  modprminveq  16131  wilthlem1  25657  wilthlem2  25658
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