MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prmdiveq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prmdiveq 16665
Description: The modular inverse of ๐ด mod ๐‘ƒ is unique. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prmdiv.1 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
prmdiveq ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘† = ๐‘…))

Proof of Theorem prmdiveq
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
2 prmz 16558 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
31, 2syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
5 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
65ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
74, 6zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘†) โˆˆ โ„ค)
8 1z 12540 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„ค
9 zsubcl 12552 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘†) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
107, 8, 9sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
11 prmdiv.1 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘… = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ)
1211prmdiv 16664 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
1312adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
1413simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
15 elfzelz 13448 . . . . . . . . . . 11 (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
174, 16zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
18 zsubcl 12552 . . . . . . . . 9 (((๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
1917, 8, 18sylancl 587 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
20 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))
2113simprd 497 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1))
223, 10, 19, 20, 21dvds2subd 16182 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
237zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘†) โˆˆ โ„‚)
2417zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„‚)
25 1cnd 11157 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2623, 24, 25nnncan2d 11554 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)) = ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘…)))
274zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
28 elfznn0 13541 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
2928ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„•0)
3029nn0red 12481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
3130recnd 11190 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
3216zcnd 12615 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
3327, 31, 32subdid 11618 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)) = ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ (๐ด ยท ๐‘…)))
3426, 33eqtr4d 2780 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โˆ’ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)) = (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
3522, 34breqtrd 5136 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
36 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด)
37 coprm 16594 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
381, 4, 37syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด โ†” (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1))
3936, 38mpbid 231 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1)
406, 16zsubcld 12619 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
41 coprmdvds 16536 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘† โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
423, 4, 40, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘ƒ โˆฅ (๐ด ยท (๐‘† โˆ’ ๐‘…)) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐ด) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
4335, 39, 42mp2and 698 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…))
44 prmnn 16557 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
451, 44syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
46 moddvds 16154 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘† โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘… โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘† mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
4745, 6, 16, 46syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ((๐‘† mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (๐‘† โˆ’ ๐‘…)))
4843, 47mpbird 257 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† mod ๐‘ƒ) = (๐‘… mod ๐‘ƒ))
4945nnrpd 12962 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„+)
50 elfzle1 13451 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
5150ad2antrl 727 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
52 elfzle2 13452 . . . . . . 7 (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
5352ad2antrl 727 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1))
54 zltlem1 12563 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘† < ๐‘ƒ โ†” ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
556, 3, 54syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† < ๐‘ƒ โ†” ๐‘† โ‰ค (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
5653, 55mpbird 257 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† < ๐‘ƒ)
57 modid 13808 . . . . 5 (((๐‘† โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐‘† โˆง ๐‘† < ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘† mod ๐‘ƒ) = ๐‘†)
5830, 49, 51, 56, 57syl22anc 838 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘† mod ๐‘ƒ) = ๐‘†)
59 prmuz2 16579 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
60 uznn0sub 12809 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
611, 59, 603syl 18 . . . . . . . 8 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0)
62 zexpcl 13989 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
634, 61, 62syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ค)
6463zred 12614 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„)
65 modabs2 13817 . . . . . 6 (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„+) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
6664, 49, 65syl2anc 585 . . . . 5 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ) = ((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ))
6711oveq1i 7372 . . . . 5 (๐‘… mod ๐‘ƒ) = (((๐ดโ†‘(๐‘ƒ โˆ’ 2)) mod ๐‘ƒ) mod ๐‘ƒ)
6866, 67, 113eqtr4g 2802 . . . 4 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ (๐‘… mod ๐‘ƒ) = ๐‘…)
6948, 58, 683eqtr3d 2785 . . 3 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โˆง (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘† = ๐‘…)
7069ex 414 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† = ๐‘…))
71 fz1ssfz0 13544 . . . . . 6 (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โŠ† (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))
7271sseli 3945 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)))
73 eleq1 2826 . . . . 5 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†” ๐‘… โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
7472, 73syl5ibr 246 . . . 4 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1))))
75 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐ด ยท ๐‘†) = (๐ด ยท ๐‘…))
7675oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘† = ๐‘… โ†’ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) = ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1))
7776breq2d 5122 . . . . 5 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)))
7877biimprd 248 . . . 4 (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)))
7974, 78anim12d 610 . . 3 (๐‘† = ๐‘… โ†’ ((๐‘… โˆˆ (1...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘…) โˆ’ 1)) โ†’ (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))))
8012, 79syl5com 31 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ (๐‘† = ๐‘… โ†’ (๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1))))
8170, 80impbid 211 1 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ ๐ด) โ†’ ((๐‘† โˆˆ (0...(๐‘ƒ โˆ’ 1)) โˆง ๐‘ƒ โˆฅ ((๐ด ยท ๐‘†) โˆ’ 1)) โ†” ๐‘† = ๐‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392  โ„•cn 12160  2c2 12215  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  ...cfz 13431   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974   โˆฅ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645
This theorem is referenced by:  prmdivdiv  16666  modprminveq  16679  wilthlem1  26433  wilthlem2  26434
  Copyright terms: Public domain W3C validator