Theorem relogexp 15531

Description: The natural logarithm of positive 𝐴 raised to an integer power. Property 4 of [Cohen] p. 301-302, restricted to natural logarithms and integer powers 𝑁. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
relogexp	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘𝐴)))

Proof of Theorem relogexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogcl 15521	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 8163	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3		efexp 12179	. . . . 5 ⊢ (((log‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁))
4	2, 3	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁))
5		reeflog 15522	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
6	5	oveq1d 6009	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((exp‘(log‘𝐴))↑𝑁) = (𝐴↑𝑁))
8	4, 7	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (exp‘(𝑁 · (log‘𝐴))) = (𝐴↑𝑁))
9	8	fveq2d 5627	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(exp‘(𝑁 · (log‘𝐴)))) = (log‘(𝐴↑𝑁)))
10		zre 9438	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
11		remulcl 8115	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℝ) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
12	10, 1, 11	syl2anr 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ)
13		relogef 15523	. . 3 ⊢ ((𝑁 · (log‘𝐴)) ∈ ℝ → (log‘(exp‘(𝑁 · (log‘𝐴)))) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
14	12, 13	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(exp‘(𝑁 · (log‘𝐴)))) = (𝑁 · (log‘𝐴)))
15	9, 14	eqtr3d 2264	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (log‘(𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (log‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5314  (class class class)co 5994  ℂcc 7985  ℝcr 7986   · cmul 7992  ℤcz 9434  ℝ⁺crp 9837  ↑cexp 10747  expce 12139  logclog 15515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-iinf 4677  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-mulrcl 8086  ax-addcom 8087  ax-mulcom 8088  ax-addass 8089  ax-mulass 8090  ax-distr 8091  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-1rid 8094  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-precex 8097  ax-cnre 8098  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-ltwlin 8100  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-apti 8102  ax-pre-ltadd 8103  ax-pre-mulgt0 8104  ax-pre-mulext 8105  ax-arch 8106  ax-caucvg 8107  ax-pre-suploc 8108  ax-addf 8109  ax-mulf 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-disj 4059  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4381  df-po 4384  df-iso 4385  df-iord 4454  df-on 4456  df-ilim 4457  df-suc 4459  df-iom 4680  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-isom 5323  df-riota 5947  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-of 6208  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-recs 6441  df-irdg 6506  df-frec 6527  df-1o 6552  df-oadd 6556  df-er 6670  df-map 6787  df-pm 6788  df-en 6878  df-dom 6879  df-fin 6880  df-sup 7139  df-inf 7140  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-xr 8173  df-ltxr 8174  df-le 8175  df-sub 8307  df-neg 8308  df-reap 8710  df-ap 8717  df-div 8808  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-n0 9358  df-z 9435  df-uz 9711  df-q 9803  df-rp 9838  df-xneg 9956  df-xadd 9957  df-ioo 10076  df-ico 10078  df-icc 10079  df-fz 10193  df-fzo 10327  df-seqfrec 10657  df-exp 10748  df-fac 10935  df-bc 10957  df-ihash 10985  df-shft 11312  df-cj 11339  df-re 11340  df-im 11341  df-rsqrt 11495  df-abs 11496  df-clim 11776  df-sumdc 11851  df-ef 12145  df-e 12146  df-rest 13260  df-topgen 13279  df-psmet 14492  df-xmet 14493  df-met 14494  df-bl 14495  df-mopn 14496  df-top 14657  df-topon 14670  df-bases 14702  df-ntr 14755  df-cn 14847  df-cnp 14848  df-tx 14912  df-cncf 15230  df-limced 15315  df-dvap 15316  df-relog 15517

This theorem is referenced by: (None)