ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  relogexp GIF version

Theorem relogexp 14533
Description: The natural logarithm of positive ๐ด raised to an integer power. Property 4 of [Cohen] p. 301-302, restricted to natural logarithms and integer powers ๐‘. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
relogexp ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))

Proof of Theorem relogexp
StepHypRef Expression
1 relogcl 14523 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
21recnd 7999 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
3 efexp 11703 . . . . 5 (((logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด))โ†‘๐‘))
42, 3sylan 283 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) = ((expโ€˜(logโ€˜๐ด))โ†‘๐‘))
5 reeflog 14524 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ (expโ€˜(logโ€˜๐ด)) = ๐ด)
65oveq1d 5903 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„+ โ†’ ((expโ€˜(logโ€˜๐ด))โ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘๐‘))
76adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((expโ€˜(logโ€˜๐ด))โ†‘๐‘) = (๐ดโ†‘๐‘))
84, 7eqtrd 2220 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด))) = (๐ดโ†‘๐‘))
98fveq2d 5531 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))) = (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)))
10 zre 9270 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
11 remulcl 7952 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (logโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
1210, 1, 11syl2anr 290 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
13 relogef 14525 . . 3 ((๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (logโ€˜(expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))) = (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))
1412, 13syl 14 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(expโ€˜(๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))) = (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))
159, 14eqtr3d 2222 1 ((๐ด โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (logโ€˜(๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (logโ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7822  โ„cr 7823   ยท cmul 7829  โ„คcz 9266  โ„+crp 9666  โ†‘cexp 10532  expce 11663  logclog 14517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944  ax-pre-suploc 7945  ax-addf 7946  ax-mulf 7947
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6096  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-map 6663  df-pm 6664  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-ioo 9905  df-ico 9907  df-icc 9908  df-fz 10022  df-fzo 10156  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-fac 10719  df-bc 10741  df-ihash 10769  df-shft 10837  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-clim 11300  df-sumdc 11375  df-ef 11669  df-e 11670  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13673  df-xmet 13674  df-met 13675  df-bl 13676  df-mopn 13677  df-top 13738  df-topon 13751  df-bases 13783  df-ntr 13836  df-cn 13928  df-cnp 13929  df-tx 13993  df-cncf 14298  df-limced 14365  df-dvap 14366  df-relog 14519
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator