Theorem abelthlem4 26493

Description: Lemma for abelth 26500. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12918	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
3		fveq2 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
4		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑛))
5	3, 4	oveq12d 7449	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
7		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 7016	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
10		abelth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	11	ffvelcdmda 7104	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
13		abelth.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
14	13	ssrab3 4092	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3995	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		expcl 14117	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
19	12, 18	mulcld 11279	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
20		abelth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
21		abelth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		abelth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
23	10, 20, 21, 22, 13	abelthlem3 26492	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
24	1, 2, 9, 19, 23	isumcl 15794	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
25		abelth.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	fmptd 7134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433   ⊆ wss 3963   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕ₀cn0 12524  seqcseq 14039  ↑cexp 14099  abscabs 15270   ⇝ cli 15517  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26497  abelthlem8  26498  abelthlem9  26499  abelth  26500