MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abelthlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abelthlem4 26183
Description: Lemma for abelth 26190. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
abelth.1 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
abelth.2 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
abelth.5 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
abelth.6 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
Assertion
Ref Expression
abelthlem4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑆,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(π‘₯,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4
Dummy variable π‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12869 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2 0zd 12575 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 0 ∈ β„€)
3 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ (π΄β€˜π‘š) = (π΄β€˜π‘›))
4 oveq2 7420 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ (π‘₯β†‘π‘š) = (π‘₯↑𝑛))
53, 4oveq12d 7430 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
6 eqid 2731 . . . . 5 (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))
7 ovex 7445 . . . . 5 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6998 . . . 4 (𝑛 ∈ β„•0 β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))β€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
98adantl 481 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))β€˜π‘›) = ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
10 abelth.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1110adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴:β„•0βŸΆβ„‚)
1211ffvelcdmda 7086 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘›) ∈ β„‚)
13 abelth.5 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑧 ∈ β„‚ ∣ (absβ€˜(1 βˆ’ 𝑧)) ≀ (𝑀 Β· (1 βˆ’ (absβ€˜π‘§)))}
1413ssrab3 4080 . . . . . . 7 𝑆 βŠ† β„‚
1514a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
1615sselda 3982 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
17 expcl 14050 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑛) ∈ β„‚)
1816, 17sylan 579 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘₯↑𝑛) ∈ β„‚)
1912, 18mulcld 11239 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) ∈ β„‚)
20 abelth.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
21 abelth.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
22 abelth.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝑀)
2310, 20, 21, 22, 13abelthlem3 26182 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ seq0( + , (π‘š ∈ β„•0 ↦ ((π΄β€˜π‘š) Β· (π‘₯β†‘π‘š)))) ∈ dom ⇝ )
241, 2, 9, 19, 23isumcl 15712 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)) ∈ β„‚)
25 abelth.6 . 2 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ β„•0 ((π΄β€˜π‘›) Β· (π‘₯↑𝑛)))
2624, 25fmptd 7115 1 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘†βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   Β· cmul 11119   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•0cn0 12477  seqcseq 13971  β†‘cexp 14032  abscabs 15186   ⇝ cli 15433  Ξ£csu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140
This theorem is referenced by:  abelthlem7  26187  abelthlem8  26188  abelthlem9  26189  abelth  26190
  Copyright terms: Public domain W3C validator