Theorem abelthlem4 26360

Description: Lemma for abelth 26367. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12795	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12501	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
3		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
4		oveq2 7361	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑛))
5	3, 4	oveq12d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
7		ovex 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6934	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
10		abelth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	11	ffvelcdmda 7022	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
13		abelth.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
14	13	ssrab3 4035	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3937	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		expcl 14004	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
19	12, 18	mulcld 11154	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
20		abelth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
21		abelth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		abelth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
23	10, 20, 21, 22, 13	abelthlem3 26359	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
24	1, 2, 9, 19, 23	isumcl 15686	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
25		abelth.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	fmptd 7052	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3396   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5623  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   ≤ cle 11169   − cmin 11365  ℕ₀cn0 12402  seqcseq 13926  ↑cexp 13986  abscabs 15159   ⇝ cli 15409  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-xadd 13033  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26364  abelthlem8  26365  abelthlem9  26366  abelth  26367