Theorem abelthlem4 26344

Description: Lemma for abelth 26351. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12835	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12541	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
3		fveq2 6858	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
4		oveq2 7395	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑛))
5	3, 4	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
6		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
7		ovex 7420	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6968	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
10		abelth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	11	ffvelcdmda 7056	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
13		abelth.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
14	13	ssrab3 4045	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3946	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		expcl 14044	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
19	12, 18	mulcld 11194	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
20		abelth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
21		abelth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		abelth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
23	10, 20, 21, 22, 13	abelthlem3 26343	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
24	1, 2, 9, 19, 23	isumcl 15727	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
25		abelth.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	fmptd 7086	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   ≤ cle 11209   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  seqcseq 13966  ↑cexp 14026  abscabs 15200   ⇝ cli 15450  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26348  abelthlem8  26349  abelthlem9  26350  abelth  26351