Theorem abelthlem4 26374

Description: Lemma for abelth 26381. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
abelth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
abelth.2	⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
abelth.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
abelth.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
abelth.5	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
abelth.6	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
abelthlem4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑧,𝑀   𝐴,𝑛,𝑥,𝑧   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝑆(𝑧)   𝐹(𝑥,𝑧,𝑛)

Proof of Theorem abelthlem4

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12778	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		0zd 12489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 0 ∈ ℤ)
3		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐴‘𝑚) = (𝐴‘𝑛))
4		oveq2 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑥↑𝑚) = (𝑥↑𝑛))
5	3, 4	oveq12d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))
7		ovex 7387	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6937	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
9	8	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))‘𝑛) = ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
10		abelth.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
12	11	ffvelcdmda 7025	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑛) ∈ ℂ)
13		abelth.5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ ℂ ∣ (abs‘(1 − 𝑧)) ≤ (𝑀 · (1 − (abs‘𝑧)))}
14	13	ssrab3 4031	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ⊆ ℂ
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
16	15	sselda 3930	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ ℂ)
17		expcl 13990	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
18	16, 17	sylan 580	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥↑𝑛) ∈ ℂ)
19	12, 18	mulcld 11141	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
20		abelth.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq0( + , 𝐴) ∈ dom ⇝ )
21		abelth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
22		abelth.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑀)
23	10, 20, 21, 22, 13	abelthlem3 26373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → seq0( + , (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴‘𝑚) · (𝑥↑𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
24	1, 2, 9, 19, 23	isumcl 15672	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)) ∈ ℂ)
25		abelth.6	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ Σ𝑛 ∈ ℕ0 ((𝐴‘𝑛) · (𝑥↑𝑛)))
26	24, 25	fmptd 7055	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020   ≤ cle 11156   − cmin 11353  ℕ₀cn0 12390  seqcseq 13912  ↑cexp 13972  abscabs 15145   ⇝ cli 15395  Σcsu 15597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-rp 12895  df-xadd 13016  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-seq 13913  df-exp 13973  df-hash 14242  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290

This theorem is referenced by:  abelthlem7  26378  abelthlem8  26379  abelthlem9  26380  abelth  26381