MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflimlem 25551
Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
mbflim.2 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
mbflim.4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
mbflim.5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
mbflimlem.6 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimlem (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑛,𝑍,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯,𝑛)   𝐢(π‘₯,𝑛)   𝑀(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32anass1rs 652 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
43fmpttd 7110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡):π‘βŸΆβ„)
5 mbflim.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
65adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
7 mbflim.4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢)
8 climrel 15442 . . . . . . . 8 Rel ⇝
98releldmi 5941 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢 β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ dom ⇝ )
107, 9syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ dom ⇝ )
111climcau 15623 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ∈ dom ⇝ ) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))) < 𝑦)
126, 10, 11syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝑍 βˆ€π‘— ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘˜)(absβ€˜(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘—) βˆ’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜))) < 𝑦)
131, 4, 12caurcvg 15629 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
14 climuni 15502 . . . 4 (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) ⇝ 𝐢) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = 𝐢)
1513, 7, 14syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) = 𝐢)
1615mpteq2dva 5241 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢))
17 eqid 2726 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)))
18 eqid 2726 . . 3 (π‘š ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β€œ (π‘š[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘š ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡) β€œ (π‘š[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
194ffvelcdmda 7080 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
201, 6, 13, 19climrecl 15533 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡)) ∈ ℝ)
21 mbflim.5 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡) ∈ MblFn)
221, 17, 18, 5, 20, 21, 2mbflimsup 25550 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (lim supβ€˜(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐡))) ∈ MblFn)
2316, 22eqeltrrd 2828 1 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐢) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   ∩ cin 3942   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12980  [,)cico 13332  abscabs 15187  lim supclsp 15420   ⇝ cli 15434  MblFncmbf 25498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503
This theorem is referenced by:  mbflim  25552
  Copyright terms: Public domain W3C validator