Theorem mbflimlem 24270

Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbflim.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
mbflim.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
mbflimlem.6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
mbflimlem	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimlem

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbflim.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		mbflimlem.6	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
3	2	anass1rs 653	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	fmpttd 6881	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
5		mbflim.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6	5	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		mbflim.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶)
8		climrel 14851	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ⇝
9	8	releldmi 5820	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ )
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ )
11	1	climcau 15029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
12	6, 10, 11	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑘 ∈ 𝑍 ∀𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘)(abs‘(((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑗) − ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
13	1, 4, 12	caurcvg 15035	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
14		climuni 14911	. . . 4 ⊢ (((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∧ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ⇝ 𝐶) → (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = 𝐶)
15	13, 7, 14	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) = 𝐶)
16	15	mpteq2dva 5163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
17		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
18		eqid 2823	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
19	4	ffvelrnda 6853	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
20	1, 6, 13, 19	climrecl 14942	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
21		mbflim.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
22	1, 17, 18, 5, 20, 21, 2	mbflimsup 24269	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵))) ∈ MblFn)
23	16, 22	eqeltrrd 2916	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  ∃wrex 3141   ∩ cin 3937   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  dom cdm 5557   “ cima 5560  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  supcsup 8906  ℝcr 10538  +∞cpnf 10674  ℝ^*cxr 10676   < clt 10677   − cmin 10872  ℤcz 11984  ℤ_≥cuz 12246  ℝ⁺crp 12392  [,)cico 12743  abscabs 14595  lim supclsp 14829   ⇝ cli 14843  MblFncmbf 24217

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cc 9859  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-disj 5034  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-dju 9332  df-card 9370  df-acn 9373  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xadd 12511  df-ioo 12745  df-ioc 12746  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-xmet 20540  df-met 20541  df-ovol 24067  df-vol 24068  df-mbf 24222

This theorem is referenced by:  mbflim  24271