Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbflimlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbflimlem 24274
 Description: The pointwise limit of a sequence of measurable real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbflim.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
mbflim.2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
mbflim.4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
mbflim.5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
mbflimlem.6 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
mbflimlem (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑛)   𝐶(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem mbflimlem
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑚 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbflim.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 mbflimlem.6 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑍𝑥𝐴)) → 𝐵 ∈ ℝ)
32anass1rs 654 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
43fmpttd 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵):𝑍⟶ℝ)
5 mbflim.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
65adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 mbflim.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶)
8 climrel 14844 . . . . . . . 8 Rel ⇝
98releldmi 5786 . . . . . . 7 ((𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶 → (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
107, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ )
111climcau 15022 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑛𝑍𝐵) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑗) − ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
126, 10, 11syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑘𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘(((𝑛𝑍𝐵)‘𝑗) − ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘))) < 𝑦)
131, 4, 12caurcvg 15028 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛𝑍𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
14 climuni 14904 . . . 4 (((𝑛𝑍𝐵) ⇝ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∧ (𝑛𝑍𝐵) ⇝ 𝐶) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = 𝐶)
1513, 7, 14syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) = 𝐶)
1615mpteq2dva 5128 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴𝐶))
17 eqid 2801 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) = (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)))
18 eqid 2801 . . 3 (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑚 ∈ ℝ ↦ sup((((𝑛𝑍𝐵) “ (𝑚[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
194ffvelrnda 6832 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑛𝑍𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
201, 6, 13, 19climrecl 14935 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵)) ∈ ℝ)
21 mbflim.5 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
221, 17, 18, 5, 20, 21, 2mbflimsup 24273 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (lim sup‘(𝑛𝑍𝐵))) ∈ MblFn)
2316, 22eqeltrrd 2894 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110   ∩ cin 3883   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523   “ cima 5526  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  supcsup 8892  ℝcr 10529  +∞cpnf 10665  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   − cmin 10863  ℤcz 11973  ℤ≥cuz 12235  ℝ+crp 12381  [,)cico 12732  abscabs 14588  lim supclsp 14822   ⇝ cli 14836  MblFncmbf 24221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-xmet 20087  df-met 20088  df-ovol 24071  df-vol 24072  df-mbf 24226 This theorem is referenced by:  mbflim  24275
 Copyright terms: Public domain W3C validator