Theorem cnsubrglem 21358

Description: Lemma for resubdrg 21550 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11124. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubrglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubrglem

Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 21357	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		cnsubrglem.5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
7	1	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	ax-gen 1795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
9		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
10		eleq1 2816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
11	9, 10	imbi12d 344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ)))
12	11	spvv 1988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ))
13	8, 12	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℂ)
14	13	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
15	7, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
16		ovmpot 7530	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
17	15, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
18	17	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
19	18	eleq1d 2813	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
20	6, 19	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)
21	20	rgen2 3175	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴
22		cnring 21332	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
23		cnfldbas 21300	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
24		cnfld1 21335	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
25		mpocnfldmul 21303	. . . 4 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
26	23, 24, 25	issubrg2 20512	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)))
27	22, 26	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
28	5, 4, 21, 27	mpbir3an 1342	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ℂcc 11042  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  -cneg 11382  SubGrpcsubg 19034  Ringcrg 20153  SubRingcsubrg 20489  ℂ_fldccnfld 21296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-subg 19037  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-cnfld 21297

This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  21360  zsubrg  21362  gzsubrg  21363  cnstrcvs  25074  cncvs  25078