Theorem cnsubrglem 20560

Description: Lemma for resubdrg 20725 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4	⊢ 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cnsubrglem	⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubrglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3		cnsubglem.3	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → -𝑥 ∈ 𝐴)
4		cnsubrglem.4	. . 3 ⊢ 1 ∈ 𝐴
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 20559	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		cnsubrglem.5	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
7	6	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴
8		cnring 20532	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
9		cnfldbas 20514	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
10		cnfld1 20535	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
11		cnfldmul 20516	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
12	9, 10, 11	issubrg2 19959	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)))
13	8, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴))
14	5, 4, 7, 13	mpbir3an 1339	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  -cneg 11136  SubGrpcsubg 18664  Ringcrg 19698  SubRingcsubrg 19935  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-subg 18667  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-subrg 19937  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  20561  zsubrg  20563  gzsubrg  20564  cnstrcvs  24210  cncvs  24214