MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubrglem 21310
Description: Lemma for resubdrg 21501 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11192. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
cnsubglem.2 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ -π‘₯ ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnsubrglem 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubrglem
Dummy variables 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2 cnsubglem.2 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐴)
3 cnsubglem.3 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ -π‘₯ ∈ 𝐴)
4 cnsubrglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
51, 2, 3, 4cnsubglem 21309 . 2 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
6 cnsubrglem.5 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐴)
71adantr 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
81ax-gen 1789 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
10 eleq1 2815 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↔ 𝑦 ∈ β„‚))
119, 10imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)))
1211spvv 1992 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
138, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
157, 14jca 511 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚))
16 ovmpot 7565 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦))
1817eqcomd 2732 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦))
1918eleq1d 2812 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
206, 19mpbid 231 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)
2120rgen2 3191 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴
22 cnring 21279 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
23 cnfldbas 21244 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
24 cnfld1 21282 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
25 mpocnfldmul 21247 . . . 4 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = (.rβ€˜β„‚fld)
2623, 24, 25issubrg2 20494 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)))
2722, 26ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
285, 4, 21, 27mpbir3an 1338 1 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  -cneg 11449  SubGrpcsubg 19047  Ringcrg 20138  SubRingcsubrg 20469  β„‚fldccnfld 21240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241
This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  21312  zsubrg  21314  gzsubrg  21315  cnstrcvs  25023  cncvs  25027
  Copyright terms: Public domain W3C validator