MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubrglem 21351
Description: Lemma for resubdrg 21542 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11216. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
cnsubglem.2 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ -π‘₯ ∈ 𝐴)
cnsubrglem.4 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnsubrglem 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubrglem
Dummy variables 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
2 cnsubglem.2 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ 𝐴)
3 cnsubglem.3 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ -π‘₯ ∈ 𝐴)
4 cnsubrglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
51, 2, 3, 4cnsubglem 21350 . 2 𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld)
6 cnsubrglem.5 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐴)
71adantr 479 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
81ax-gen 1789 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
9 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
10 eleq1 2813 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ↔ 𝑦 ∈ β„‚))
119, 10imbi12d 343 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)))
1211spvv 1992 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
138, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ 𝐴 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1413adantl 480 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
157, 14jca 510 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚))
16 ovmpot 7578 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) = (π‘₯ Β· 𝑦))
1817eqcomd 2731 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦))
1918eleq1d 2810 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
206, 19mpbid 231 . . 3 ((π‘₯ ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) β†’ (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)
2120rgen2 3188 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴
22 cnring 21320 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
23 cnfldbas 21285 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
24 cnfld1 21323 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
25 mpocnfldmul 21288 . . . 4 (𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣)) = (.rβ€˜β„‚fld)
2623, 24, 25issubrg2 20533 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)))
2722, 26ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯(𝑒 ∈ β„‚, 𝑣 ∈ β„‚ ↦ (𝑒 Β· 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
285, 4, 21, 27mpbir3an 1338 1 𝐴 ∈ (SubRingβ€˜β„‚fld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∈ cmpo 7417  β„‚cc 11134  1c1 11137   + caddc 11139   Β· cmul 11141  -cneg 11473  SubGrpcsubg 19077  Ringcrg 20175  SubRingcsubrg 20508  β„‚fldccnfld 21281
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-subg 19080  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-cnfld 21282
This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  21353  zsubrg  21355  gzsubrg  21356  cnstrcvs  25084  cncvs  25088
  Copyright terms: Public domain W3C validator