MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubrglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubrglem 21434
Description: Lemma for resubdrg 21626 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Dec-2014.) Avoid ax-mulf 11235. (Revised by GG, 30-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubglem.3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
cnsubrglem.4 1 ∈ 𝐴
cnsubrglem.5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
cnsubrglem 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubrglem
Dummy variables 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
2 cnsubglem.2 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
3 cnsubglem.3 . . 3 (𝑥𝐴 → -𝑥𝐴)
4 cnsubrglem.4 . . 3 1 ∈ 𝐴
51, 2, 3, 4cnsubglem 21433 . 2 𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6 cnsubrglem.5 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴)
71adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℂ)
81ax-gen 1795 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
9 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
10 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ ℂ ↔ 𝑦 ∈ ℂ))
119, 10imbi12d 344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ) ↔ (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℂ)))
1211spvv 1996 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥(𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℂ))
138, 12ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐴𝑦 ∈ ℂ)
1413adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℂ)
157, 14jca 511 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
16 ovmpot 7594 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (𝑥 · 𝑦))
1817eqcomd 2743 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
1918eleq1d 2826 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → ((𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
206, 19mpbid 232 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)
2120rgen2 3199 . 2 𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴
22 cnring 21403 . . 3 fld ∈ Ring
23 cnfldbas 21368 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
24 cnfld1 21406 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
25 mpocnfldmul 21371 . . . 4 (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
2623, 24, 25issubrg2 20592 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴)))
2722, 26ax-mp 5 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld) ↔ (𝐴 ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 1 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ 𝐴))
285, 4, 21, 27mpbir3an 1342 1 𝐴 ∈ (SubRing‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cc 11153  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  SubGrpcsubg 19138  Ringcrg 20230  SubRingcsubrg 20569  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  cnsubdrglem  21436  zsubrg  21438  gzsubrg  21439  cnstrcvs  25174  cncvs  25178
  Copyright terms: Public domain W3C validator