Theorem d0mat2pmat 22681

Description: The transformed empty set as matrix of dimenson 0 is the empty set (i.e., the polynomial matrix of dimension 0). (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
d0mat2pmat	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem d0mat2pmat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9061	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		0ex 5282	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4643	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 22409	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2842	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
8		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
12	7, 8, 9, 10, 11	mat2pmatval 22667	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))))
13	1, 2, 6, 12	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))))
14		mpo0 7497	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2787	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4313  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Fincfn 8964  Basecbs 17233  algSccascl 21817  Poly₁cpl1 22117   Mat cmat 22350   matToPolyMat cmat2pmat 22647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mat 22351  df-mat2pmat 22650

This theorem is referenced by:  chpmat0d  22777