Theorem d0mat2pmat 22721

Description: The transformed empty set as matrix of dimenson 0 is the empty set (i.e., the polynomial matrix of dimension 0). (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
d0mat2pmat	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem d0mat2pmat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8979	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		0ex 5229	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4594	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 22449	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2846	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
12	7, 8, 9, 10, 11	mat2pmatval 22707	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))))
13	1, 2, 6, 12	mp3an2i 1474	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))))
14		mpo0 7441	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2790	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  {csn 4555  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358  Fincfn 8883  Basecbs 17170  algSccascl 21827  Poly₁cpl1 22162   Mat cmat 22390   matToPolyMat cmat2pmat 22687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-mat 22391  df-mat2pmat 22690

This theorem is referenced by:  chpmat0d  22817