Theorem d0mat2pmat 22744

Description: The transformed empty set as matrix of dimenson 0 is the empty set (i.e., the polynomial matrix of dimension 0). (Contributed by AV, 4-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
d0mat2pmat	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)

Proof of Theorem d0mat2pmat

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 9082	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		id 22	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		0ex 5307	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	3	snid 4662	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
5		mat0dimbas0 22472	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	4, 5	eleqtrrid 2848	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∅ matToPolyMat 𝑅) = (∅ matToPolyMat 𝑅)
8		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅))
10		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Poly1‘𝑅) = (Poly1‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (algSc‘(Poly1‘𝑅)) = (algSc‘(Poly1‘𝑅))
12	7, 8, 9, 10, 11	mat2pmatval 22730	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))) → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))))
13	1, 2, 6, 12	mp3an2i 1468	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))))
14		mpo0 7518	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ∅, 𝑦 ∈ ∅ ↦ ((algSc‘(Poly1‘𝑅))‘(𝑥∅𝑦))) = ∅
15	13, 14	eqtrdi 2793	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((∅ matToPolyMat 𝑅)‘∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∅c0 4333  {csn 4626  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Fincfn 8985  Basecbs 17247  algSccascl 21872  Poly₁cpl1 22178   Mat cmat 22411   matToPolyMat cmat2pmat 22710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mat2pmat 22713

This theorem is referenced by:  chpmat0d  22840