Theorem idmatidpmat 22038

Description: The transformed identity matrix is the identity polynomial matrix. (Contributed by AV, 1-Aug-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
idmatidpmat.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
idmatidpmat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
idmatidpmat.1	⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
idmatidpmat.i	⊢ 𝐼 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))

Assertion

Ref	Expression
idmatidpmat	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑇‘ 1 ) = 𝐼)

Proof of Theorem idmatidpmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idmatidpmat.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4		idmatidpmat.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	mat2pmat1 22033	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘(1r‘(𝑁 Mat 𝑅))) = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃)))
8		idmatidpmat.1	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑅))
9	8	fveq2i 6842	. . 3 ⊢ (𝑇‘ 1 ) = (𝑇‘(1r‘(𝑁 Mat 𝑅)))
10		idmatidpmat.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (1r‘(𝑁 Mat 𝑃))
11	7, 9, 10	3eqtr4g 2802	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝑇‘ 1 ) = 𝐼)
12	11	ancoms 459	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ Fin) → (𝑇‘ 1 ) = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  Fincfn 8841  Basecbs 17043  1_rcur 19872  Ringcrg 19918  Poly₁cpl1 21500   Mat cmat 21706   matToPolyMat cmat2pmat 22005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14185  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-hom 17117  df-cco 17118  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-prds 17289  df-pws 17291  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-subrg 20173  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-dsmm 21091  df-frlm 21106  df-ascl 21214  df-psr 21264  df-mpl 21266  df-opsr 21268  df-psr1 21503  df-ply1 21505  df-mamu 21685  df-mat 21707  df-mat2pmat 22008

This theorem is referenced by: (None)