Theorem ef0 16030

Description: Value of the exponential function at 0. Equation 2 of [Gleason] p. 308. (Contributed by Steve Rodriguez, 27-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ef0	⊢ (exp‘0) = 1

Proof of Theorem ef0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11202	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))
3	2	efcvg 16024	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘0))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘0)
5		eqid 2724	. . 3 ⊢ 0 = 0
6	2	ef0lem 16018	. . 3 ⊢ (0 = 0 → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ 1)
7	5, 6	ax-mp 5	. 2 ⊢ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ 1
8		climuni 15492	. 2 ⊢ ((seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ (exp‘0) ∧ seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((0↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ⇝ 1) → (exp‘0) = 1)
9	4, 7, 8	mp2an 689	1 ⊢ (exp‘0) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℂcc 11103  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   / cdiv 11867  ℕ₀cn0 12468  seqcseq 13962  ↑cexp 14023  !cfa 14229   ⇝ cli 15424  expce 16001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-pm 8818  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007

This theorem is referenced by:  efcan  16035  efexp  16040  cos0  16089  absefib  16137  efieq1re  16138  dveflem  25821  reeff1olem  26288  reeff1o  26289  pige3ALT  26359  sineq0  26363  efsubm  26390  logeq0im1  26416  log1  26424  1cxp  26510  abscxpbnd  26592  efrlim  26805  efrlimOLD  26806  gam1  26901  efnnfsumcl  26939  efvmacl  26956  vmage0  26957  chpge0  26962  efchtdvds  26995  ostth2  27474  xrge0iifcnv  33368  itgexpif  34073  sineq0ALT  44153