MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem3 27407
Description: Lemma for lgsqr 27410. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = (deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3975 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 21597 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 20788 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 20742 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 497 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 20263 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 21540 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 21482 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 20502 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20 lgsqr.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2119, 20ffvelcdmd 7105 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22 lgsqr.s . . 3 𝑆 = (Poly1𝑌)
23 lgsqr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
24 lgsqr.d . . 3 𝐷 = (deg1𝑌)
25 lgsqr.o . . 3 𝑂 = (eval1𝑌)
26 lgsqr.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27 lgsqr.x . . 3 𝑋 = (var1𝑌)
28 lgsqr.m . . 3 = (-g𝑆)
29 lgsqr.u . . 3 1 = (1r𝑆)
30 lgsqr.t . . 3 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
31 lgsvalmod 27375 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3220, 1, 31syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
3433oveq1d 7446 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
3532, 34eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 27405 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
37 eqid 2735 . . . . 5 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
38 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
39 fvexd 6922 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
4025, 22, 37, 17evl1rhm 22352 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4110, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4223, 38rhmf 20502 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4422ply1ring 22265 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
46 ringgrp 20256 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
48 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4948, 23mgpbas 20158 . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
5048ringmgp 20257 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
5145, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
52 oddprm 16844 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
531, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5453nnnn0d 12585 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
5527, 22, 23vr1cl 22235 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
5612, 55syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
5749, 26, 51, 54, 56mulgnn0cld 19126 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5823, 29ringidcl 20280 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
5945, 58syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑1𝐵)
6023, 28grpsubcl 19051 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6147, 57, 59, 60syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6230, 61eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐵)
6343, 62ffvelcdmd 7105 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
6437, 17, 38, 5, 39, 63pwselbas 17536 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
6564ffnd 6738 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
66 fniniseg 7080 . . 3 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6765, 66syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6821, 36, 67mpbir2and 713 1 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  {csn 4631  cmpt 5231  ccnv 5688  cima 5692   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  ...cfz 13544   mod cmo 13906  cexp 14099  cprime 16705  Basecbs 17245  0gc0g 17486  s cpws 17493  Mndcmnd 18760  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  Domncdomn 20709  IDomncidom 20710  Fieldcfield 20747  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531  var1cv1 22193  Poly1cpl1 22194  eval1ce1 22334  deg1cdg1 26108   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-idom 20713  df-drng 20748  df-field 20749  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-opsr 21951  df-evls 22116  df-evl 22117  df-psr1 22197  df-vr1 22198  df-ply1 22199  df-evl1 22336  df-lgs 27354
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  27408
  Copyright terms: Public domain W3C validator