Theorem lgsqrlem3 27257

Description: Lemma for lgsqr 27260. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem3	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 3915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 21467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 20656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 20610	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 20130	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 21418	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 21360	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 20370	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20		lgsqr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	19, 20	ffvelcdmd 7019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22		lgsqr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
23		lgsqr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24		lgsqr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
25		lgsqr.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
26		lgsqr.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27		lgsqr.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
28		lgsqr.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑆)
29		lgsqr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
30		lgsqr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
31		lgsvalmod 27225	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
32	20, 1, 31	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
34	33	oveq1d 7364	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35	32, 34	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36	3, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35	lgsqrlem1 27255	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))
37		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
38		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
39		fvexd 6837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
40	25, 22, 37, 17	evl1rhm 22217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
42	23, 38	rhmf 20370	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
44	22	ply1ring 22130	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46		ringgrp 20123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
48		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
49	48, 23	mgpbas 20030	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
50	48	ringmgp 20124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51	45, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
52		oddprm 16722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
53	1, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
55	27, 22, 23	vr1cl 22100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
57	49, 26, 51, 54, 56	mulgnn0cld 18974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 29	ringidcl 20150	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
59	45, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
60	23, 28	grpsubcl 18899	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
61	47, 57, 59, 60	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
62	30, 61	eqeltrid 2832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
63	43, 62	ffvelcdmd 7019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
64	37, 17, 38, 5, 39, 63	pwselbas 17393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
65	64	ffnd 6653	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
66		fniniseg 6994	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
67	65, 66	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
68	21, 36, 67	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  {csn 4577   ↦ cmpt 5173  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  1c1 11010   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  ℤcz 12471  ...cfz 13410   mod cmo 13773  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582  Basecbs 17120  0_gc0g 17343   ↑_s cpws 17350  Mndcmnd 18608  Grpcgrp 18812  -_gcsg 18814  ._gcmg 18946  mulGrpcmgp 20025  1_rcur 20066  Ringcrg 20118  CRingccrg 20119   RingHom crh 20354  Domncdomn 20577  IDomncidom 20578  Fieldcfield 20615  ℤ_ringczring 21353  ℤRHomczrh 21406  ℤ/nℤczn 21409  var₁cv1 22058  Poly₁cpl1 22059  eval₁ce1 22199  deg₁cdg1 25957   /_L clgs 27203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-tpos 8159  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-ec 8627  df-qs 8631  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-pc 16749  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-mhm 18657  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-mulg 18947  df-subg 19002  df-nsg 19003  df-eqg 19004  df-ghm 19092  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-srg 20072  df-ring 20120  df-cring 20121  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-dvr 20286  df-rhm 20357  df-nzr 20398  df-subrng 20431  df-subrg 20455  df-rlreg 20579  df-domn 20580  df-idom 20581  df-drng 20616  df-field 20617  df-lmod 20765  df-lss 20835  df-lsp 20875  df-sra 21077  df-rgmod 21078  df-lidl 21115  df-rsp 21116  df-2idl 21157  df-cnfld 21262  df-zring 21354  df-zrh 21410  df-zn 21413  df-assa 21760  df-asp 21761  df-ascl 21762  df-psr 21816  df-mvr 21817  df-mpl 21818  df-opsr 21820  df-evls 21979  df-evl 21980  df-psr1 22062  df-vr1 22063  df-ply1 22064  df-evl1 22201  df-lgs 27204

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  27258