Theorem lgsqrlem3 27582

Description: Lemma for lgsqr 27585. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem3	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 3914	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 21774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 20939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 20887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 20385	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 21725	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 21667	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 20627	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20		lgsqr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	19, 20	ffvelcdmd 7081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22		lgsqr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
23		lgsqr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24		lgsqr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
25		lgsqr.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
26		lgsqr.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27		lgsqr.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
28		lgsqr.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑆)
29		lgsqr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
30		lgsqr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
31		lgsvalmod 27550	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
32	20, 1, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
34	33	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35	32, 34	eqtr3d 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36	3, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35	lgsqrlem1 27580	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))
37		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
38		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
39		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
40	25, 22, 37, 17	evl1rhm 22558	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
41	10, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
42	23, 38	rhmf 20627	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
43	41, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
44	22	ply1ring 22473	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
45	12, 44	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46		ringgrp 20378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
48		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
49	48, 23	mgpbas 20279	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
50	48	ringmgp 20379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51	45, 50	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
52		oddprm 16906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
53	1, 52	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
55	27, 22, 23	vr1cl 22443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	12, 55	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
57	49, 26, 51, 54, 56	mulgnn0cld 19219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 29	ringidcl 20407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
59	45, 58	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
60	23, 28	grpsubcl 19144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
61	47, 57, 59, 60	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
62	30, 61	eqeltrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
63	43, 62	ffvelcdmd 7081	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
64	37, 17, 38, 5, 39, 63	pwselbas 17578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
65	64	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
66		fniniseg 7056	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
67	65, 66	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
68	21, 36, 67	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∖ cdif 3899  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1c1 11128   − cmin 11468   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  ℤcz 12618  ...cfz 13563   mod cmo 13932  ↑cexp 14127  ℙcprime 16765  Basecbs 17305  0_gc0g 17528   ↑_s cpws 17535  Mndcmnd 18838  Grpcgrp 19058  -_gcsg 19060  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  CRingccrg 20374   RingHom crh 20611  Domncdomn 20855  IDomncidom 20856  Fieldcfield 20892  ℤ_ringczring 21660  ℤRHomczrh 21713  ℤ/nℤczn 21716  var₁cv1 22402  Poly₁cpl1 22403  eval₁ce1 22540  deg₁cdg1 26281   /_L clgs 27528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-gcd 16589  df-prm 16766  df-phi 16861  df-pc 16933  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-imas 17598  df-qus 17599  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-nsg 19248  df-eqg 19249  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-rhm 20614  df-nzr 20674  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-domn 20858  df-idom 20859  df-drng 20893  df-field 20894  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-rsp 21397  df-2idl 21453  df-cnfld 21587  df-zring 21661  df-zrh 21717  df-zn 21720  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-evls 22291  df-evl 22292  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-evl1 22542  df-lgs 27529

This theorem is used by:  lgsqrlem4  27583