Theorem lgsqrlem3 27675

Description: Lemma for lgsqr 27678. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem3	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 4051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 21866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 21029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 20976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 20472	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 21817	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 21759	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 20715	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20		lgsqr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	19, 20	ffvelcdmd 7085	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22		lgsqr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
23		lgsqr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24		lgsqr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
25		lgsqr.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
26		lgsqr.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27		lgsqr.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
28		lgsqr.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑆)
29		lgsqr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
30		lgsqr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
31		lgsvalmod 27643	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
32	20, 1, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
34	33	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35	32, 34	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36	3, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35	lgsqrlem1 27673	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))
37		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
38		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
39		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
40	25, 22, 37, 17	evl1rhm 22650	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
41	10, 40	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
42	23, 38	rhmf 20715	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
43	41, 42	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
44	22	ply1ring 22565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
45	12, 44	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46		ringgrp 20464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
47	45, 46	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
48		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
49	48, 23	mgpbas 20365	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
50	48	ringmgp 20465	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51	45, 50	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
52		oddprm 16988	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
53	1, 52	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
55	27, 22, 23	vr1cl 22535	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	12, 55	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
57	49, 26, 51, 54, 56	mulgnn0cld 19305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 29	ringidcl 20494	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
59	45, 58	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
60	23, 28	grpsubcl 19230	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
61	47, 57, 59, 60	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
62	30, 61	eqeltrid 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
63	43, 62	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
64	37, 17, 38, 5, 39, 63	pwselbas 17660	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
65	64	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
66		fniniseg 7059	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
67	65, 66	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
68	21, 36, 67	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ^◡ccnv 5649   “ cima 5653   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℤcz 12693  ...cfz 13639   mod cmo 14009  ↑cexp 14204  ℙcprime 16846  Basecbs 17387  0_gc0g 17610   ↑_s cpws 17617  Mndcmnd 18923  Grpcgrp 19144  -_gcsg 19146  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  1_rcur 20407  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699  Domncdomn 20944  IDomncidom 20945  Fieldcfield 20981  ℤ_ringczring 21752  ℤRHomczrh 21805  ℤ/nℤczn 21808  var₁cv1 22494  Poly₁cpl1 22495  eval₁ce1 22632  deg₁cdg1 26372   /_L clgs 27621

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-phi 16943  df-pc 17015  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-rhm 20702  df-nzr 20763  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-idom 20948  df-drng 20982  df-field 20983  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-zn 21812  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-opsr 22221  df-evls 22383  df-evl 22384  df-psr1 22498  df-vr1 22499  df-ply1 22500  df-evl1 22634  df-lgs 27622

This theorem is used by:  lgsqrlem4  27676