Theorem lgsqrlem3 27317

Description: Lemma for lgsqr 27320. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgsqr.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s	⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
lgsqr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d	⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
lgsqr.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
lgsqr.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
lgsqr.m	⊢ − = (-g‘𝑆)
lgsqr.u	⊢ 1 = (1r‘𝑆)
lgsqr.t	⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
lgsqr.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)

Assertion

Ref	Expression
lgsqrlem3	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   ↑ (𝑦)   𝐺(𝑦)   − (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgsqr.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2	1	eldifad 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
3		lgsqr.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
4	3	znfld 21517	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
5	2, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Field)
6		fldidom 20706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ IDomn)
8		isidom 20660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
9	8	simplbi 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
10	7, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ CRing)
11		crngring 20182	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
13		lgsqr.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
14	13	zrhrhm 21468	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16		zringbas 21410	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
17		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
18	16, 17	rhmf 20422	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
19	15, 18	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20		lgsqr.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
21	19, 20	ffvelcdmd 7030	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22		lgsqr.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Poly1‘𝑌)
23		lgsqr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
24		lgsqr.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (deg1‘𝑌)
25		lgsqr.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑌)
26		lgsqr.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27		lgsqr.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑌)
28		lgsqr.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑆)
29		lgsqr.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑆)
30		lgsqr.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 )
31		lgsvalmod 27285	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
32	20, 1, 31	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33		lgsqr.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
34	33	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
35	32, 34	eqtr3d 2772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
36	3, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35	lgsqrlem1 27315	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))
37		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ↑s (Base‘𝑌)) = (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))
38		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌)))
39		fvexd 6848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
40	25, 22, 37, 17	evl1rhm 22278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
41	10, 40	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
42	23, 38	rhmf 20422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌 ↑s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
43	41, 42	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
44	22	ply1ring 22190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
45	12, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
46		ringgrp 20175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
48		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
49	48, 23	mgpbas 20082	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
50	48	ringmgp 20176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51	45, 50	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
52		oddprm 16740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
53	1, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
54	53	nnnn0d 12464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
55	27, 22, 23	vr1cl 22160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
56	12, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
57	49, 26, 51, 54, 56	mulgnn0cld 19027	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
58	23, 29	ringidcl 20202	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐵)
59	45, 58	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
60	23, 28	grpsubcl 18952	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
61	47, 57, 59, 60	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) ↑ 𝑋) − 1 ) ∈ 𝐵)
62	30, 61	eqeltrid 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐵)
63	43, 62	ffvelcdmd 7030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) ∈ (Base‘(𝑌 ↑s (Base‘𝑌))))
64	37, 17, 38, 5, 39, 63	pwselbas 17411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
65	64	ffnd 6662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌))
66		fniniseg 7005	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
67	65, 66	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}) ↔ ((𝐿‘𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂‘𝑇)‘(𝐿‘𝐴)) = (0g‘𝑌))))
68	21, 36, 67	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐴) ∈ (◡(𝑂‘𝑇) “ {(0g‘𝑌)}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439   ∖ cdif 3897  {csn 4579   ↦ cmpt 5178  ^◡ccnv 5622   “ cima 5626   Fn wfn 6486  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  1c1 11029   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  2c2 12202  ℤcz 12490  ...cfz 13425   mod cmo 13791  ↑cexp 13986  ℙcprime 16600  Basecbs 17138  0_gc0g 17361   ↑_s cpws 17368  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  ._gcmg 18999  mulGrpcmgp 20077  1_rcur 20118  Ringcrg 20170  CRingccrg 20171   RingHom crh 20407  Domncdomn 20627  IDomncidom 20628  Fieldcfield 20665  ℤ_ringczring 21403  ℤRHomczrh 21456  ℤ/nℤczn 21459  var₁cv1 22118  Poly₁cpl1 22119  eval₁ce1 22260  deg₁cdg1 26017   /_L clgs 27263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-inf 9348  df-oi 9417  df-dju 9815  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-xnn0 12477  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12864  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-phi 16695  df-pc 16767  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-imas 17431  df-qus 17432  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-nsg 19056  df-eqg 19057  df-ghm 19144  df-cntz 19248  df-cmn 19713  df-abl 19714  df-mgp 20078  df-rng 20090  df-ur 20119  df-srg 20124  df-ring 20172  df-cring 20173  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-nzr 20448  df-subrng 20481  df-subrg 20505  df-rlreg 20629  df-domn 20630  df-idom 20631  df-drng 20666  df-field 20667  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-lidl 21165  df-rsp 21166  df-2idl 21207  df-cnfld 21312  df-zring 21404  df-zrh 21460  df-zn 21463  df-assa 21810  df-asp 21811  df-ascl 21812  df-psr 21867  df-mvr 21868  df-mpl 21869  df-opsr 21871  df-evls 22031  df-evl 22032  df-psr1 22122  df-vr1 22123  df-ply1 22124  df-evl1 22262  df-lgs 27264

This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  27318