Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem3 25932
 Description: Lemma for lgsqr 25935. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3893 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 20252 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 20071 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 20070 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 501 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 19302 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 20205 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 20169 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 19474 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20 lgsqr.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2119, 20ffvelrnd 6829 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22 lgsqr.s . . 3 𝑆 = (Poly1𝑌)
23 lgsqr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
24 lgsqr.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑌)
25 lgsqr.o . . 3 𝑂 = (eval1𝑌)
26 lgsqr.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27 lgsqr.x . . 3 𝑋 = (var1𝑌)
28 lgsqr.m . . 3 = (-g𝑆)
29 lgsqr.u . . 3 1 = (1r𝑆)
30 lgsqr.t . . 3 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
31 lgsvalmod 25900 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3220, 1, 31syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
3433oveq1d 7150 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
3532, 34eqtr3d 2835 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 25930 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
37 eqid 2798 . . . . 5 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
38 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
39 fvexd 6660 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
4025, 22, 37, 17evl1rhm 20956 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4110, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4223, 38rhmf 19474 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4422ply1ring 20877 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
46 ringgrp 19295 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
48 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4948ringmgp 19296 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51 oddprm 16137 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
521, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5352nnnn0d 11943 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
5427, 22, 23vr1cl 20846 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
5512, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
5648, 23mgpbas 19238 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
5756, 26mulgnn0cl 18236 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5850, 53, 55, 57syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5923, 29ringidcl 19314 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
6045, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑1𝐵)
6123, 28grpsubcl 18171 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6247, 58, 60, 61syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6330, 62eqeltrid 2894 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐵)
6443, 63ffvelrnd 6829 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
6537, 17, 38, 5, 39, 64pwselbas 16754 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
6665ffnd 6488 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
67 fniniseg 6807 . . 3 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6866, 67syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6921, 36, 68mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878  {csn 4525   ↦ cmpt 5110  ◡ccnv 5518   “ cima 5522   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1c1 10527   − cmin 10859   / cdiv 11286  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885   mod cmo 13232  ↑cexp 13425  ℙcprime 16005  Basecbs 16475  0gc0g 16705   ↑s cpws 16712  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  .gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  1rcur 19244  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   RingHom crh 19460  Fieldcfield 19496  Domncdomn 20046  IDomncidom 20047  ℤringzring 20163  ℤRHomczrh 20193  ℤ/nℤczn 20196  var1cv1 20805  Poly1cpl1 20806  eval1ce1 20938   deg1 cdg1 24655   /L clgs 25878 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093  df-pc 16164  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-srg 19249  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-unit 19388  df-invr 19418  df-dvr 19429  df-rnghom 19463  df-drng 19497  df-field 19498  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-nzr 20024  df-rlreg 20049  df-domn 20050  df-idom 20051  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200  df-assa 20542  df-asp 20543  df-ascl 20544  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-evls 20745  df-evl 20746  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-evl1 20940  df-lgs 25879 This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25933
 Copyright terms: Public domain W3C validator