MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsqrlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsqrlem3 25641
Description: Lemma for lgsqr 25644. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lgsqr.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgsqr.s 𝑆 = (Poly1𝑌)
lgsqr.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lgsqr.d 𝐷 = ( deg1𝑌)
lgsqr.o 𝑂 = (eval1𝑌)
lgsqr.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
lgsqr.x 𝑋 = (var1𝑌)
lgsqr.m = (-g𝑆)
lgsqr.u 1 = (1r𝑆)
lgsqr.t 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
lgsqr.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
lgsqr.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgsqr.g 𝐺 = (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(𝑦↑2)))
lgsqr.3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
lgsqr.4 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
Assertion
Ref Expression
lgsqrlem3 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑂   𝑦,𝑃   𝜑,𝑦   𝑦,𝑇   𝑦,𝐿   𝑦,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝐷(𝑦)   𝑆(𝑦)   1 (𝑦)   (𝑦)   𝐺(𝑦)   (𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem lgsqrlem3
StepHypRef Expression
1 lgsqr.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
21eldifad 3843 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
3 lgsqr.y . . . . . . . . . 10 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
43znfld 20424 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ Field)
6 fldidom 19811 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ IDomn)
75, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ IDomn)
8 isidom 19810 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ IDomn ↔ (𝑌 ∈ CRing ∧ 𝑌 ∈ Domn))
98simplbi 490 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ IDomn → 𝑌 ∈ CRing)
107, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
11 crngring 19043 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
13 lgsqr.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1413zrhrhm 20376 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
1512, 14syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
16 zringbas 20340 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
17 eqid 2780 . . . . 5 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
1816, 17rhmf 19213 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
1915, 18syl 17 . . 3 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
20 lgsqr.3 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
2119, 20ffvelrnd 6683 . 2 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌))
22 lgsqr.s . . 3 𝑆 = (Poly1𝑌)
23 lgsqr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
24 lgsqr.d . . 3 𝐷 = ( deg1𝑌)
25 lgsqr.o . . 3 𝑂 = (eval1𝑌)
26 lgsqr.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
27 lgsqr.x . . 3 𝑋 = (var1𝑌)
28 lgsqr.m . . 3 = (-g𝑆)
29 lgsqr.u . . 3 1 = (1r𝑆)
30 lgsqr.t . . 3 𝑇 = ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 )
31 lgsvalmod 25609 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
3220, 1, 31syl2anc 576 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
33 lgsqr.4 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 /L 𝑃) = 1)
3433oveq1d 6997 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
3532, 34eqtr3d 2818 . . 3 (𝜑 → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
363, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 13, 1, 20, 35lgsqrlem1 25639 . 2 (𝜑 → ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))
37 eqid 2780 . . . . 5 (𝑌s (Base‘𝑌)) = (𝑌s (Base‘𝑌))
38 eqid 2780 . . . . 5 (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))) = (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌)))
39 fvexd 6519 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑌) ∈ V)
4025, 22, 37, 17evl1rhm 20212 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4110, 40syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))))
4223, 38rhmf 19213 . . . . . . 7 (𝑂 ∈ (𝑆 RingHom (𝑌s (Base‘𝑌))) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4341, 42syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
4422ply1ring 20134 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Ring)
4512, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
46 ringgrp 19037 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 𝑆 ∈ Grp)
4745, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
48 eqid 2780 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
4948ringmgp 19038 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
5045, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd)
51 oddprm 16009 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
521, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
5352nnnn0d 11773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
5427, 22, 23vr1cl 20103 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
5512, 54syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝐵)
5648, 23mgpbas 18980 . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑆))
5756, 26mulgnn0cl 18041 . . . . . . . . 9 (((mulGrp‘𝑆) ∈ Mnd ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5850, 53, 55, 57syl3anc 1352 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵)
5923, 29ringidcl 19053 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Ring → 1𝐵)
6045, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑1𝐵)
6123, 28grpsubcl 17978 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) ∈ 𝐵1𝐵) → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6247, 58, 60, 61syl3anc 1352 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑃 − 1) / 2) 𝑋) 1 ) ∈ 𝐵)
6330, 62syl5eqel 2872 . . . . . 6 (𝜑𝑇𝐵)
6443, 63ffvelrnd 6683 . . . . 5 (𝜑 → (𝑂𝑇) ∈ (Base‘(𝑌s (Base‘𝑌))))
6537, 17, 38, 5, 39, 64pwselbas 16624 . . . 4 (𝜑 → (𝑂𝑇):(Base‘𝑌)⟶(Base‘𝑌))
6665ffnd 6350 . . 3 (𝜑 → (𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌))
67 fniniseg 6661 . . 3 ((𝑂𝑇) Fn (Base‘𝑌) → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6866, 67syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}) ↔ ((𝐿𝐴) ∈ (Base‘𝑌) ∧ ((𝑂𝑇)‘(𝐿𝐴)) = (0g𝑌))))
6921, 36, 68mpbir2and 701 1 (𝜑 → (𝐿𝐴) ∈ ((𝑂𝑇) “ {(0g𝑌)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3417  cdif 3828  {csn 4444  cmpt 5013  ccnv 5410  cima 5414   Fn wfn 6188  wf 6189  cfv 6193  (class class class)co 6982  1c1 10342  cmin 10676   / cdiv 11104  cn 11445  2c2 11501  0cn0 11713  cz 11799  ...cfz 12714   mod cmo 13058  cexp 13250  cprime 15877  Basecbs 16345  0gc0g 16575  s cpws 16582  Mndcmnd 17774  Grpcgrp 17903  -gcsg 17905  .gcmg 18023  mulGrpcmgp 18974  1rcur 18986  Ringcrg 19032  CRingccrg 19033   RingHom crh 19199  Fieldcfield 19238  Domncdomn 19786  IDomncidom 19787  var1cv1 20062  Poly1cpl1 20063  eval1ce1 20195  ringzring 20334  ℤRHomczrh 20364  ℤ/nczn 20367   deg1 cdg1 24366   /L clgs 25587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418  ax-pre-sup 10419  ax-addf 10420  ax-mulf 10421
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-iin 4800  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-of 7233  df-ofr 7234  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-tpos 7701  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-2o 7912  df-oadd 7915  df-er 8095  df-ec 8097  df-qs 8101  df-map 8214  df-pm 8215  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-sup 8707  df-inf 8708  df-oi 8775  df-dju 9130  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-div 11105  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-xnn0 11786  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-q 12169  df-rp 12211  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-fl 12983  df-mod 13059  df-seq 13191  df-exp 13251  df-hash 13512  df-cj 14325  df-re 14326  df-im 14327  df-sqrt 14461  df-abs 14462  df-dvds 15474  df-gcd 15710  df-prm 15878  df-phi 15965  df-pc 16036  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-sets 16352  df-ress 16353  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-starv 16442  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-unif 16450  df-hom 16451  df-cco 16452  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-prds 16583  df-pws 16585  df-imas 16643  df-qus 16644  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-submnd 17816  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-sbg 17908  df-mulg 18024  df-subg 18072  df-nsg 18073  df-eqg 18074  df-ghm 18139  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-abl 18681  df-mgp 18975  df-ur 18987  df-srg 18991  df-ring 19034  df-cring 19035  df-oppr 19108  df-dvdsr 19126  df-unit 19127  df-invr 19157  df-dvr 19168  df-rnghom 19202  df-drng 19239  df-field 19240  df-subrg 19268  df-lmod 19370  df-lss 19438  df-lsp 19478  df-sra 19678  df-rgmod 19679  df-lidl 19680  df-rsp 19681  df-2idl 19738  df-nzr 19764  df-rlreg 19789  df-domn 19790  df-idom 19791  df-assa 19818  df-asp 19819  df-ascl 19820  df-psr 19862  df-mvr 19863  df-mpl 19864  df-opsr 19866  df-evls 20011  df-evl 20012  df-psr1 20066  df-vr1 20067  df-ply1 20068  df-evl1 20197  df-cnfld 20263  df-zring 20335  df-zrh 20368  df-zn 20371  df-lgs 25588
This theorem is referenced by:  lgsqrlem4  25642
  Copyright terms: Public domain W3C validator