MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dirith Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirith 27480
Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. See https://metamath-blog.blogspot.com/2016/05/dirichlets-theorem.html for an informal exposition. This is Metamath 100 proof #48. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
dirith ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑁 βˆ₯ (𝑝 βˆ’ 𝐴)} β‰ˆ β„•)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem dirith
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
21nnnn0d 12568 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
32adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
4 eqid 2727 . . . . . . 7 (β„€/nβ„€β€˜π‘) = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
5 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
6 eqid 2727 . . . . . . 7 (β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
74, 5, 6znzrhfo 21486 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
8 fofn 6816 . . . . . 6 ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)):℀–ontoβ†’(Baseβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β†’ (β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) Fn β„€)
93, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) Fn β„€)
10 prmz 16651 . . . . . 6 (𝑝 ∈ β„™ β†’ 𝑝 ∈ β„€)
1110adantl 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝑝 ∈ β„€)
12 fniniseg 7072 . . . . . 6 ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) Fn β„€ β†’ (𝑝 ∈ (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)}) ↔ (𝑝 ∈ β„€ ∧ ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π‘) = ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄))))
1312baibd 538 . . . . 5 (((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) Fn β„€ ∧ 𝑝 ∈ β„€) β†’ (𝑝 ∈ (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)}) ↔ ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π‘) = ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)))
149, 11, 13syl2anc 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ∈ (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)}) ↔ ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π‘) = ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)))
15 simp2 1134 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
1615adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ 𝐴 ∈ β„€)
174, 6zndvds 21488 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑝 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π‘) = ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑝 βˆ’ 𝐴)))
183, 11, 16, 17syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π‘) = ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑝 βˆ’ 𝐴)))
1914, 18bitrd 278 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ β„™) β†’ (𝑝 ∈ (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)}) ↔ 𝑁 βˆ₯ (𝑝 βˆ’ 𝐴)))
2019rabbi2dva 4218 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (β„™ ∩ (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)})) = {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑁 βˆ₯ (𝑝 βˆ’ 𝐴)})
21 eqid 2727 . . 3 (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) = (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))
22 simp3 1135 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
234, 21, 6znunit 21502 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ β„€) β†’ (((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
242, 15, 23syl2anc 582 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
2522, 24mpbird 256 . . 3 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ ((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄) ∈ (Unitβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)))
26 eqid 2727 . . 3 (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)}) = (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)})
274, 6, 1, 21, 25, 26dirith2 27479 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ (β„™ ∩ (β—‘(β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘)) β€œ {((β„€RHomβ€˜(β„€/nβ„€β€˜π‘))β€˜π΄)})) β‰ˆ β„•)
2820, 27eqbrtrrd 5174 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„€ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) β†’ {𝑝 ∈ β„™ ∣ 𝑁 βˆ₯ (𝑝 βˆ’ 𝐴)} β‰ˆ β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3428   ∩ cin 3946  {csn 4630   class class class wbr 5150  β—‘ccnv 5679   β€œ cima 5683   Fn wfn 6546  β€“ontoβ†’wfo 6549  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   β‰ˆ cen 8965  1c1 11145   βˆ’ cmin 11480  β„•cn 12248  β„•0cn0 12508  β„€cz 12594   βˆ₯ cdvds 16236   gcd cgcd 16474  β„™cprime 16647  Basecbs 17185  Unitcui 20299  β„€RHomczrh 21430  β„€/nβ„€czn 21433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5116  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-rpss 7732  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-er 8729  df-ec 8731  df-qs 8735  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-dju 9930  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-word 14503  df-concat 14559  df-s1 14584  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-o1 15472  df-lo1 15473  df-sum 15671  df-ef 16049  df-e 16050  df-sin 16051  df-cos 16052  df-tan 16053  df-pi 16054  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-prm 16648  df-numer 16712  df-denom 16713  df-phi 16740  df-pc 16811  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-qus 17496  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-mulg 19029  df-subg 19083  df-nsg 19084  df-eqg 19085  df-ghm 19173  df-gim 19218  df-ga 19246  df-cntz 19273  df-oppg 19302  df-od 19488  df-gex 19489  df-pgp 19490  df-lsm 19596  df-pj1 19597  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-cyg 19838  df-dprd 19957  df-dpj 19958  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lsp 20861  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109  df-rsp 21110  df-2idl 21149  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-zring 21378  df-zrh 21434  df-zn 21437  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-0p 25617  df-limc 25813  df-dv 25814  df-ply 26140  df-idp 26141  df-coe 26142  df-dgr 26143  df-quot 26244  df-ulm 26331  df-log 26508  df-cxp 26509  df-atan 26817  df-em 26943  df-cht 27047  df-vma 27048  df-chp 27049  df-ppi 27050  df-mu 27051  df-dchr 27184
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator