Theorem dirith 27591

Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. See https://metamath-blog.blogspot.com/2016/05/dirichlets-theorem.html for an informal exposition. This is Metamath 100 proof #48. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dirith	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)} ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem dirith

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 12613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
6		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
7	4, 5, 6	znzrhfo 21589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)):ℤ–onto→(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8		fofn 6836	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)):ℤ–onto→(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ)
10		prmz 16722	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
12		fniniseg 7093	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ (𝑝 ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))
13	12	baibd 539	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))
14	9, 11, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))
15		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17	4, 6	zndvds 21591	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)))
18	3, 11, 16, 17	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)))
19	14, 18	bitrd 279	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)))
20	19	rabbi2dva 4247	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ℙ ∩ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)})) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)})
21		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
22		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
23	4, 21, 6	znunit 21605	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
24	2, 15, 23	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
25	22, 24	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26		eqid 2740	. . 3 ⊢ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) = (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)})
27	4, 6, 1, 21, 25, 26	dirith2 27590	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ℙ ∩ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)})) ≈ ℕ)
28	20, 27	eqbrtrrd 5190	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)} ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443   ∩ cin 3975  {csn 4648   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703   Fn wfn 6568  –onto→wfo 6571  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ≈ cen 9000  1c1 11185   − cmin 11520  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16718  Basecbs 17258  Unitcui 20381  ℤRHomczrh 21533  ℤ/nℤczn 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-rpss 7758  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-word 14563  df-concat 14619  df-s1 14644  df-shft 15116  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-o1 15536  df-lo1 15537  df-sum 15735  df-ef 16115  df-e 16116  df-sin 16117  df-cos 16118  df-tan 16119  df-pi 16120  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-numer 16782  df-denom 16783  df-phi 16813  df-pc 16884  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-qus 17569  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-ga 19330  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-od 19570  df-gex 19571  df-pgp 19572  df-lsm 19678  df-pj1 19679  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-cyg 19920  df-dprd 20039  df-dpj 20040  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lp 23165  df-perf 23166  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cncf 24923  df-0p 25724  df-limc 25921  df-dv 25922  df-ply 26247  df-idp 26248  df-coe 26249  df-dgr 26250  df-quot 26351  df-ulm 26438  df-log 26616  df-cxp 26617  df-atan 26928  df-em 27054  df-cht 27158  df-vma 27159  df-chp 27160  df-ppi 27161  df-mu 27162  df-dchr 27295

This theorem is referenced by: (None)