Theorem dirith 26105

Description: Dirichlet's theorem: there are infinitely many primes in any arithmetic progression coprime to 𝑁. Theorem 9.4.1 of [Shapiro], p. 375. See http://metamath-blog.blogspot.com/2016/05/dirichlets-theorem.html for an informal exposition. This is Metamath 100 proof #48. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dirith	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)} ≈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝑁,𝑝

Proof of Theorem dirith

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ)
2	1	nnnn0d 11956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ/nℤ‘𝑁) = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
6		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
7	4, 5, 6	znzrhfo 20694	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)):ℤ–onto→(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
8		fofn 6592	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)):ℤ–onto→(Base‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ)
9	3, 7, 8	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ)
10		prmz 16019	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
11	10	adantl 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
12		fniniseg 6830	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ (𝑝 ∈ ℤ ∧ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴))))
13	12	baibd 542	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) Fn ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))
14	9, 11, 13	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)))
15		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
16	15	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℤ)
17	4, 6	zndvds 20696	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)))
18	3, 11, 16, 17	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝑝) = ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)))
19	14, 18	bitrd 281	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) ↔ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)))
20	19	rabbi2dva 4194	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ℙ ∩ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)})) = {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)})
21		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) = (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁))
22		simp3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (𝐴 gcd 𝑁) = 1)
23	4, 21, 6	znunit 20710	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
24	2, 15, 23	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
25	22, 24	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴) ∈ (Unit‘(ℤ/nℤ‘𝑁)))
26		eqid 2821	. . 3 ⊢ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)}) = (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)})
27	4, 6, 1, 21, 25, 26	dirith2 26104	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → (ℙ ∩ (◡(ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁)) “ {((ℤRHom‘(ℤ/nℤ‘𝑁))‘𝐴)})) ≈ ℕ)
28	20, 27	eqbrtrrd 5090	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → {𝑝 ∈ ℙ ∣ 𝑁 ∥ (𝑝 − 𝐴)} ≈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3142   ∩ cin 3935  {csn 4567   class class class wbr 5066  ^◡ccnv 5554   “ cima 5558   Fn wfn 6350  –onto→wfo 6353  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ≈ cen 8506  1c1 10538   − cmin 10870  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982   ∥ cdvds 15607   gcd cgcd 15843  ℙcprime 16015  Basecbs 16483  Unitcui 19389  ℤRHomczrh 20647  ℤ/nℤczn 20650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-disj 5032  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-rpss 7449  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-tpos 7892  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-omul 8107  df-er 8289  df-ec 8291  df-qs 8295  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-acn 9371  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-word 13863  df-concat 13923  df-s1 13950  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-o1 14847  df-lo1 14848  df-sum 15043  df-ef 15421  df-e 15422  df-sin 15423  df-cos 15424  df-tan 15425  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-numer 16075  df-denom 16076  df-phi 16103  df-pc 16174  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-qus 16782  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mhm 17956  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-mulg 18225  df-subg 18276  df-nsg 18277  df-eqg 18278  df-ghm 18356  df-gim 18399  df-ga 18420  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-od 18656  df-gex 18657  df-pgp 18658  df-lsm 18761  df-pj1 18762  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-cyg 18997  df-dprd 19117  df-dpj 19118  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-cring 19300  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19504  df-subrg 19533  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-sra 19944  df-rgmod 19945  df-lidl 19946  df-rsp 19947  df-2idl 20005  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-zring 20618  df-zrh 20651  df-zn 20654  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-0p 24271  df-limc 24464  df-dv 24465  df-ply 24778  df-idp 24779  df-coe 24780  df-dgr 24781  df-quot 24880  df-ulm 24965  df-log 25140  df-cxp 25141  df-atan 25445  df-em 25570  df-cht 25674  df-vma 25675  df-chp 25676  df-ppi 25677  df-mu 25678  df-dchr 25809

This theorem is referenced by: (None)