MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efnnfsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efnnfsumcl 26843
Description: Finite sum closure in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efnnfsumcl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
efnnfsumcl.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
efnnfsumcl.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (expโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
efnnfsumcl (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem efnnfsumcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4076 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โІ โ„
2 ax-resscn 11169 . . . . 5 โ„ โІ โ„‚
31, 2sstri 3990 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โІ โ„‚
43a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โІ โ„‚)
5 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐‘ฆ))
65eleq1d 2816 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))
76elrab 3682 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))
8 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐‘ง))
98eleq1d 2816 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•))
109elrab 3682 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•))
11 fveq2 6890 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + ๐‘ง) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
1211eleq1d 2816 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + ๐‘ง) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) โˆˆ โ„•))
13 simpll 763 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
14 simprl 767 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
1513, 14readdcld 11247 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
1613recnd 11246 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1714recnd 11246 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
18 efadd 16041 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)))
1916, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)))
20 nnmulcl 12240 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
2120ad2ant2l 742 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
2219, 21eqeltrd 2831 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
2312, 15, 22elrabd 3684 . . . . 5 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
247, 10, 23syl2anb 596 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•}) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
2524adantl 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
26 efnnfsumcl.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
27 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐ต))
2827eleq1d 2816 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•))
29 efnnfsumcl.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
30 efnnfsumcl.3 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (expโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
3128, 29, 30elrabd 3684 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
32 0re 11220 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
33 1nn 12227 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•
34 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜0))
35 ef0 16038 . . . . . . . 8 (expโ€˜0) = 1
3634, 35eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = 1)
3736eleq1d 2816 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” 1 โˆˆ โ„•))
3837elrab 3682 . . . . 5 (0 โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„•))
3932, 33, 38mpbir2an 707 . . . 4 0 โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•}
4039a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
414, 25, 26, 31, 40fsumcllem 15682 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
42 fveq2 6890 . . . . 5 (๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
4342eleq1d 2816 . . . 4 (๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•))
4443elrab 3682 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•))
4544simprbi 495 . 2 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•)
4641, 45syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  {crab 3430   โІ wss 3947  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  ฮฃcsu 15636  expce 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015
This theorem is referenced by:  efchtcl  26851  efchpcl  26865
  Copyright terms: Public domain W3C validator