MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efnnfsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efnnfsumcl 26489
Description: Finite sum closure in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efnnfsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
efnnfsumcl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
efnnfsumcl.3 ((𝜑𝑘𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
efnnfsumcl (𝜑 → (exp‘Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem efnnfsumcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4042 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11117 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3956 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ)
5 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
65eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
76elrab 3648 . . . . 5 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
8 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑧))
98eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
109elrab 3648 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
11 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝑦 + 𝑧)))
1211eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ))
13 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
14 simprl 769 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
1513, 14readdcld 11193 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℝ)
1613recnd 11192 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
1714recnd 11192 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
18 efadd 15987 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
20 nnmulcl 12186 . . . . . . . 8 (((exp‘𝑦) ∈ ℕ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
2120ad2ant2l 744 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
2219, 21eqeltrd 2832 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ)
2312, 15, 22elrabd 3650 . . . . 5 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
247, 10, 23syl2anb 598 . . . 4 ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
2524adantl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
26 efnnfsumcl.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
27 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
2827eleq1d 2817 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝐵) ∈ ℕ))
29 efnnfsumcl.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
30 efnnfsumcl.3 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℕ)
3128, 29, 30elrabd 3650 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
32 0re 11166 . . . . 5 0 ∈ ℝ
33 1nn 12173 . . . . 5 1 ∈ ℕ
34 fveq2 6847 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
35 ef0 15984 . . . . . . . 8 (exp‘0) = 1
3634, 35eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = 1)
3736eleq1d 2817 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
3837elrab 3648 . . . . 5 (0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ))
3932, 33, 38mpbir2an 709 . . . 4 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
414, 25, 26, 31, 40fsumcllem 15628 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
42 fveq2 6847 . . . . 5 (𝑥 = Σ𝑘𝐴 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘Σ𝑘𝐴 𝐵))
4342eleq1d 2817 . . . 4 (𝑥 = Σ𝑘𝐴 𝐵 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ℕ))
4443elrab 3648 . . 3 𝑘𝐴 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ (exp‘Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ℕ))
4544simprbi 497 . 2 𝑘𝐴 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} → (exp‘Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ℕ)
4641, 45syl 17 1 (𝜑 → (exp‘Σ𝑘𝐴 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  wss 3913  cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  cc 11058  cr 11059  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  cn 12162  Σcsu 15582  expce 15955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9586  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-rp 12925  df-ico 13280  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-fl 13707  df-seq 13917  df-exp 13978  df-fac 14184  df-bc 14213  df-hash 14241  df-shft 14964  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-limsup 15365  df-clim 15382  df-rlim 15383  df-sum 15583  df-ef 15961
This theorem is referenced by:  efchtcl  26497  efchpcl  26511
  Copyright terms: Public domain W3C validator