MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efnnfsumcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efnnfsumcl 26844
Description: Finite sum closure in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
efnnfsumcl.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
efnnfsumcl.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
efnnfsumcl.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (expโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
efnnfsumcl (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hint:   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem efnnfsumcl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 4077 . . . . 5 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โІ โ„
2 ax-resscn 11171 . . . . 5 โ„ โІ โ„‚
31, 2sstri 3991 . . . 4 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โІ โ„‚
43a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โІ โ„‚)
5 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐‘ฆ))
65eleq1d 2817 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))
76elrab 3683 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•))
8 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐‘ง))
98eleq1d 2817 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•))
109elrab 3683 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•))
11 fveq2 6891 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + ๐‘ง) โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)))
1211eleq1d 2817 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ + ๐‘ง) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) โˆˆ โ„•))
13 simpll 764 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
14 simprl 768 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„)
1513, 14readdcld 11248 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ โ„)
1613recnd 11247 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
1714recnd 11247 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
18 efadd 16042 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‚) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)))
1916, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) = ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)))
20 nnmulcl 12241 . . . . . . . 8 (((expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„• โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
2120ad2ant2l 743 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((expโ€˜๐‘ฆ) ยท (expโ€˜๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
2219, 21eqeltrd 2832 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (expโ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ง)) โˆˆ โ„•)
2312, 15, 22elrabd 3685 . . . . 5 (((๐‘ฆ โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ง โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
247, 10, 23syl2anb 597 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•}) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
2524adantl 481 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฆ โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โˆง ๐‘ง โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ง) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
26 efnnfsumcl.1 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ Fin)
27 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜๐ต))
2827eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•))
29 efnnfsumcl.2 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
30 efnnfsumcl.3 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ (expโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•)
3128, 29, 30elrabd 3685 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
32 0re 11221 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
33 1nn 12228 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•
34 fveq2 6891 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜0))
35 ef0 16039 . . . . . . . 8 (expโ€˜0) = 1
3634, 35eqtrdi 2787 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 0 โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = 1)
3736eleq1d 2817 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 0 โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” 1 โˆˆ โ„•))
3837elrab 3683 . . . . 5 (0 โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (0 โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„•))
3932, 33, 38mpbir2an 708 . . . 4 0 โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•}
4039a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
414, 25, 26, 31, 40fsumcllem 15683 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•})
42 fveq2 6891 . . . . 5 (๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ†’ (expโ€˜๐‘ฅ) = (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต))
4342eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โ†’ ((expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„• โ†” (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•))
4443elrab 3683 . . 3 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†” (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•))
4544simprbi 496 . 2 (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆฃ (expโ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„•} โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•)
4641, 45syl 17 1 (๐œ‘ โ†’ (expโ€˜ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ๐ด ๐ต) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  {crab 3431   โІ wss 3948  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„•cn 12217  ฮฃcsu 15637  expce 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-pm 8827  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016
This theorem is referenced by:  efchtcl  26852  efchpcl  26866
  Copyright terms: Public domain W3C validator