Theorem efnnfsumcl 27278

Description: Finite sum closure in the log-integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
efnnfsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
efnnfsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
efnnfsumcl.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
efnnfsumcl	⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem efnnfsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 4033	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11163	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3945	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ⊆ ℂ)
5		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑦))
6	5	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
7	6	elrab 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ))
8		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝑧))
9	8	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
10	9	elrab 3649	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ))
11		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → (exp‘𝑥) = (exp‘(𝑦 + 𝑧)))
12	11	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ))
13		simpll 778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
14		simprl 782	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
15	13, 14	readdcld 11244	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℝ)
16	13	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
17	14	recnd 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → 𝑧 ∈ ℂ)
18		efadd 16154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
19	16, 17, 18	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) = ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)))
20		nnmulcl 12263	. . . . . . . 8 ⊢ (((exp‘𝑦) ∈ ℕ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
21	20	ad2ant2l 758	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → ((exp‘𝑦) · (exp‘𝑧)) ∈ ℕ)
22	19, 21	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (exp‘(𝑦 + 𝑧)) ∈ ℕ)
23	12, 15, 22	elrabd 3651	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑦) ∈ ℕ) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (exp‘𝑧) ∈ ℕ)) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
24	7, 10, 23	syl2anb 609	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
25	24	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
26		efnnfsumcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
27		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘𝐵))
28	27	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘𝐵) ∈ ℕ))
29		efnnfsumcl.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
30		efnnfsumcl.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (exp‘𝐵) ∈ ℕ)
31	28, 29, 30	elrabd 3651	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
32		0re 11216	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
33		1nn 12250	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
34		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = (exp‘0))
35		ef0 16151	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘0) = 1
36	34, 35	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘𝑥) = 1)
37	36	eleq1d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
38	37	elrab 3649	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ))
39	32, 33, 38	mpbir2an 723	. . . 4 ⊢ 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ}
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
41	4, 25, 26, 31, 40	fsumcllem 15790	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ})
42		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → (exp‘𝑥) = (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
43	42	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ((exp‘𝑥) ∈ ℕ ↔ (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ))
44	43	elrab 3649	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} ↔ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ ∧ (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ))
45	44	simprbi 502	. 2 ⊢ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (exp‘𝑥) ∈ ℕ} → (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ)
46	41, 45	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (exp‘Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {crab 3415   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℕcn 12239  Σcsu 15744  expce 16121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-ico 13384  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-fl 13832  df-seq 14045  df-exp 14105  df-fac 14317  df-bc 14346  df-hash 14374  df-shft 15111  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-limsup 15529  df-clim 15546  df-rlim 15547  df-sum 15745  df-ef 16127

This theorem is used by:  efchtcl  27286  efchpcl  27300