Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisum1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoisum1 14984
 Description: The infinite sum of 𝐴↑1 + 𝐴↑2... is (𝐴 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisum1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12005 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11736 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℤ)
3 oveq2 6913 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
4 eqid 2825 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))
5 ovex 6937 . . . . 5 (𝐴𝑘) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6529 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
76adantl 475 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
8 simpl 476 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 nnnn0 11626 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 expcl 13172 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
118, 9, 10syl2an 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
12 simpr 479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
13 1nn0 11636 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
15 elnnuz 12006 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
1615, 7sylan2br 590 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
178, 12, 14, 16geolim2 14976 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
181, 2, 7, 11, 17isumclim 14863 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
19 exp1 13160 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
2019adantr 474 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
2120oveq1d 6920 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
2218, 21eqtrd 2861 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  1c1 10253   < clt 10391   − cmin 10585   / cdiv 11009  ℕcn 11350  ℕ0cn0 11618  ℤ≥cuz 11968  ↑cexp 13154  abscabs 14351  Σcsu 14793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794 This theorem is referenced by:  geoisum1c  14985  geoihalfsum  14987
 Copyright terms: Public domain W3C validator