MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoisum1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoisum1 15224
Description: The infinite sum of 𝐴↑1 + 𝐴↑2... is (𝐴 / (1 − 𝐴)). (Contributed by NM, 1-Nov-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
geoisum1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem geoisum1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12267 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11999 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℤ)
3 oveq2 7146 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴𝑛) = (𝐴𝑘))
4 eqid 2824 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))
5 ovex 7171 . . . . 5 (𝐴𝑘) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6749 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
76adantl 485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
8 simpl 486 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 nnnn0 11890 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
10 expcl 13441 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
118, 9, 10syl2an 598 . . 3 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
12 simpr 488 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (abs‘𝐴) < 1)
13 1nn0 11899 . . . . 5 1 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → 1 ∈ ℕ0)
15 elnnuz 12268 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↔ 𝑘 ∈ (ℤ‘1))
1615, 7sylan2br 597 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))‘𝑘) = (𝐴𝑘))
178, 12, 14, 16geolim2 15216 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐴𝑛))) ⇝ ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
181, 2, 7, 11, 17isumclim 15101 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)))
19 exp1 13429 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑1) = 𝐴)
2019adantr 484 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → (𝐴↑1) = 𝐴)
2120oveq1d 7153 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → ((𝐴↑1) / (1 − 𝐴)) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
2218, 21eqtrd 2859 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝐴𝑘) = (𝐴 / (1 − 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5047  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  cc 10520  1c1 10523   < clt 10660  cmin 10855   / cdiv 11282  cn 11623  0cn0 11883  cuz 12229  cexp 13423  abscabs 14582  Σcsu 15031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-inf2 9088  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599  ax-pre-sup 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-se 5496  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-div 11283  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-rp 12376  df-fz 12884  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14447  df-re 14448  df-im 14449  df-sqrt 14583  df-abs 14584  df-clim 14834  df-rlim 14835  df-sum 15032
This theorem is referenced by:  geoisum1c  15225  geoihalfsum  15227
  Copyright terms: Public domain W3C validator