Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  geoihalfsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem geoihalfsum 15238
 Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 15235. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 15237 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
geoihalfsum Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum
StepHypRef Expression
1 2cn 11709 . . . . 5 2 ∈ ℂ
21a1i 11 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3 2ne0 11738 . . . . 5 2 ≠ 0
43a1i 11 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
5 nnz 12001 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
62, 4, 5exprecd 13523 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
76sumeq2i 15056 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8 halfcn 11849 . . . 4 (1 / 2) ∈ ℂ
9 halfre 11848 . . . . . 6 (1 / 2) ∈ ℝ
10 halfge0 11851 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 2)
11 absid 14656 . . . . . 6 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
129, 10, 11mp2an 691 . . . . 5 (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
13 halflt1 11852 . . . . 5 (1 / 2) < 1
1412, 13eqbrtri 5073 . . . 4 (abs‘(1 / 2)) < 1
15 geoisum1 15235 . . . 4 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
168, 14, 15mp2an 691 . . 3 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
17 1mhlfehlf 11853 . . . 4 (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
1817oveq2i 7160 . . 3 ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
19 ax-1cn 10593 . . . . 5 1 ∈ ℂ
20 ax-1ne0 10604 . . . . 5 1 ≠ 0
2119, 1, 20, 3divne0i 11386 . . . 4 (1 / 2) ≠ 0
228, 21dividi 11371 . . 3 ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
2316, 18, 223eqtri 2851 . 2 Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
247, 23eqtr3i 2849 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   < clt 10673   ≤ cle 10674   − cmin 10868   / cdiv 11295  ℕcn 11634  2c2 11689  ↑cexp 13434  abscabs 14593  Σcsu 15042 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043 This theorem is referenced by:  omssubadd  31618
 Copyright terms: Public domain W3C validator