Theorem geoihalfsum 16031

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 16028. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 16030 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12399	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
5		nnz 12695	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	exprecd 14277	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
7	6	sumeq2i 15845	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8		halfcn 12541	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
9		halfre 12540	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10		halfge0 12543	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
11		absid 15443	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
12	9, 10, 11	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
13		halflt1 12544	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
14	12, 13	eqbrtri 5126	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
15		geoisum1 16028	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
16	8, 14, 15	mp2an 705	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
17		1mhlfehlf 12546	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
18	17	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
19		ax-1cn 11239	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		ax-1ne0 11250	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
21	19, 1, 20, 3	divne0i 12046	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
22	8, 21	dividi 12031	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
23	16, 18, 22	3eqtri 2788	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
24	7, 23	eqtr3i 2786	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181  1c1 11182   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  2c2 12378  ↑cexp 14184  abscabs 15381  Σcsu 15833

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834

This theorem is used by:  omssubadd  34915