Theorem geoihalfsum 15924

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 15921. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 15923 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12304	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 12335	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
5		nnz 12600	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	exprecd 14178	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
7	6	sumeq2i 15737	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8		halfcn 12446	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
9		halfre 12445	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10		halfge0 12448	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
11		absid 15335	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
12	9, 10, 11	mp2an 704	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
13		halflt1 12449	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
14	12, 13	eqbrtri 5125	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
15		geoisum1 15921	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
16	8, 14, 15	mp2an 704	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
17		1mhlfehlf 12451	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
18	17	oveq2i 7411	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
19		ax-1cn 11146	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		ax-1ne0 11157	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
21	19, 1, 20, 3	divne0i 11951	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
22	8, 21	dividi 11936	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
23	16, 18, 22	3eqtri 2792	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
24	7, 23	eqtr3i 2790	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   < clt 11231   ≤ cle 11232   − cmin 11429   / cdiv 11859  ℕcn 12221  2c2 12283  ↑cexp 14085  abscabs 15273  Σcsu 15725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-pm 8815  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726

This theorem is referenced by:  omssubadd  34602