Theorem geoihalfsum 15914

Description: Prove that the infinite geometric series of 1/2, 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1. Uses geoisum1 15911. This is a representation of .111... in binary with an infinite number of 1's. Theorem 0.999... 15913 proves a similar claim for .999... in base 10. (Contributed by David A. Wheeler, 4-Jan-2017.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
geoihalfsum	⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Proof of Theorem geoihalfsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 12338	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 12367	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
5		nnz 12631	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℤ)
6	2, 4, 5	exprecd 14190	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
7	6	sumeq2i 15730	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘))
8		halfcn 12478	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
9		halfre 12477	. . . . . 6 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
10		halfge0 12480	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
11		absid 15331	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 2)) → (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2))
12	9, 10, 11	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (abs‘(1 / 2)) = (1 / 2)
13		halflt1 12481	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
14	12, 13	eqbrtri 5168	. . . 4 ⊢ (abs‘(1 / 2)) < 1
15		geoisum1 15911	. . . 4 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(1 / 2)) < 1) → Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))))
16	8, 14, 15	mp2an 692	. . 3 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = ((1 / 2) / (1 − (1 / 2)))
17		1mhlfehlf 12482	. . . 4 ⊢ (1 − (1 / 2)) = (1 / 2)
18	17	oveq2i 7441	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 − (1 / 2))) = ((1 / 2) / (1 / 2))
19		ax-1cn 11210	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20		ax-1ne0 11221	. . . . 5 ⊢ 1 ≠ 0
21	19, 1, 20, 3	divne0i 12012	. . . 4 ⊢ (1 / 2) ≠ 0
22	8, 21	dividi 11997	. . 3 ⊢ ((1 / 2) / (1 / 2)) = 1
23	16, 18, 22	3eqtri 2766	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ ((1 / 2)↑𝑘) = 1
24	7, 23	eqtr3i 2764	1 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑘)) = 1

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   < clt 11292   ≤ cle 11293   − cmin 11489   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ↑cexp 14098  abscabs 15269  Σcsu 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719

This theorem is referenced by:  omssubadd  34281