Theorem gsumsplit2 19866

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumsplit2.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit2.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumsplit2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsplit2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsplit2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7090	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
8		gsumsplit2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
9		gsumsplit2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
10		gsumsplit2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10	gsumsplit 19865	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))))
12		ssun1 4144	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
13	12, 10	sseqtrrid 3993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
14	13	resmptd 6014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
15	14	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
16		ssun2 4145	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
17	16, 10	sseqtrrid 3993	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
18	17	resmptd 6014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
19	18	oveq2d 7406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)))
20	15, 19	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))
21	11, 20	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915   ∩ cin 3916  ∅c0 4299   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  CMndccmn 19717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-cntz 19256  df-cmn 19719

This theorem is referenced by:  gsummptfidmsplit  19867  gsumdifsnd  19898  psdmul  22060  chfacfscmulgsum  22754  chfacfpmmulgsum  22758  tdeglem4  25972  gsummptres  32999  gsummptres2  33000  elrspunsn  33407  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  lbsdiflsp0  33629