Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumsplit2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumsplit2 19118
 Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumsplit2.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2.z 0 = (0g𝐺)
gsumsplit2.p + = (+g𝐺)
gsumsplit2.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumsplit2.f ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
gsumsplit2.w (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2.i (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
gsumsplit2.u (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
Assertion
Ref Expression
gsumsplit2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2
StepHypRef Expression
1 gsumsplit2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumsplit2.z . . 3 0 = (0g𝐺)
3 gsumsplit2.p . . 3 + = (+g𝐺)
4 gsumsplit2.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
5 gsumsplit2.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsumsplit2.f . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑋𝐵)
76fmpttd 6871 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋):𝐴𝐵)
8 gsumsplit2.w . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝑋) finSupp 0 )
9 gsumsplit2.i . . 3 (𝜑 → (𝐶𝐷) = ∅)
10 gsumsplit2.u . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶𝐷))
111, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10gsumsplit 19117 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))))
12 ssun1 4078 . . . . . 6 𝐶 ⊆ (𝐶𝐷)
1312, 10sseqtrrid 3946 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
1413resmptd 5881 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘𝐶𝑋))
1514oveq2d 7167 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)))
16 ssun2 4079 . . . . . 6 𝐷 ⊆ (𝐶𝐷)
1716, 10sseqtrrid 3946 . . . . 5 (𝜑𝐷𝐴)
1817resmptd 5881 . . . 4 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘𝐷𝑋))
1918oveq2d 7167 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋)))
2015, 19oveq12d 7169 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘𝐴𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
2111, 20eqtrd 2794 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘𝐴𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘𝐶𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘𝐷𝑋))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ∪ cun 3857   ∩ cin 3858  ∅c0 4226   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   ↾ cres 5527  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151   finSupp cfsupp 8867  Basecbs 16542  +gcplusg 16624  0gc0g 16772   Σg cgsu 16773  CMndccmn 18974 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8868  df-oi 9008  df-card 9402  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-fz 12941  df-fzo 13084  df-seq 13420  df-hash 13742  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-ress 16550  df-plusg 16637  df-0g 16774  df-gsum 16775  df-mre 16916  df-mrc 16917  df-acs 16919  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-submnd 18024  df-cntz 18515  df-cmn 18976 This theorem is referenced by:  gsummptfidmsplit  19119  gsumdifsnd  19150  chfacfscmulgsum  21561  chfacfpmmulgsum  21565  tdeglem4  24760  tdeglem4OLD  24761  gsummptres  30839  gsummptres2  30840  lbsdiflsp0  31229
 Copyright terms: Public domain W3C validator