Theorem gsumsplit2 19969

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumsplit2.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit2.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumsplit2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsplit2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsplit2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
8		gsumsplit2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
9		gsumsplit2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
10		gsumsplit2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10	gsumsplit 19968	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))))
12		ssun1 4130	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
13	12, 10	sseqtrrid 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
14	13	resmptd 6029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
15	14	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
16		ssun2 4131	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
17	16, 10	sseqtrrid 3979	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
18	17	resmptd 6029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
19	18	oveq2d 7412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)))
20	15, 19	oveq12d 7414	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))
21	11, 20	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ∪ cun 3902   ∩ cin 3903  ∅c0 4285   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   ↾ cres 5649  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   finSupp cfsupp 9307  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  CMndccmn 19820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-cntz 19357  df-cmn 19822

This theorem is referenced by:  gsummptfidmsplit  19970  gsumdifsnd  20001  psdmul  22228  chfacfscmulgsum  22917  chfacfpmmulgsum  22921  tdeglem4  26117  gsummptres  33229  gsummptres2  33230  elrspunsn  33612  evl1deg1  33769  evl1deg2  33770  evl1deg3  33771  lbsdiflsp0  33920