Theorem gsumsplit2 19947

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumsplit2.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit2.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumsplit2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsplit2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsplit2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
8		gsumsplit2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
9		gsumsplit2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
10		gsumsplit2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10	gsumsplit 19946	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))))
12		ssun1 4178	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
13	12, 10	sseqtrrid 4027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
14	13	resmptd 6058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
15	14	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
16		ssun2 4179	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
17	16, 10	sseqtrrid 4027	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
18	17	resmptd 6058	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
19	18	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)))
20	15, 19	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))
21	11, 20	eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  CMndccmn 19798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-cntz 19335  df-cmn 19800

This theorem is referenced by:  gsummptfidmsplit  19948  gsumdifsnd  19979  psdmul  22170  chfacfscmulgsum  22866  chfacfpmmulgsum  22870  tdeglem4  26099  gsummptres  33055  gsummptres2  33056  elrspunsn  33457  evl1deg1  33601  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  lbsdiflsp0  33677