Theorem gsumsplit2 20143

Description: Split a group sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by AV, 5-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumsplit2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumsplit2.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumsplit2.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumsplit2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumsplit2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumsplit2.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
gsumsplit2.w	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
gsumsplit2.i	⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
gsumsplit2.u	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
gsumsplit2	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑋(𝑘)   0 (𝑘)

Proof of Theorem gsumsplit2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumsplit2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumsplit2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumsplit2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		gsumsplit2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
5		gsumsplit2.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumsplit2.f	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	6	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋):𝐴⟶𝐵)
8		gsumsplit2.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) finSupp 0 )
9		gsumsplit2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ 𝐷) = ∅)
10		gsumsplit2.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ 𝐷))
11	1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10	gsumsplit 20142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))))
12		ssun1 4124	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
13	12, 10	sseqtrrid 3974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
14	13	resmptd 6032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶) = (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋))
15	14	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)))
16		ssun2 4125	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ⊆ (𝐶 ∪ 𝐷)
17	16, 10	sseqtrrid 3974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ 𝐴)
18	17	resmptd 6032	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷) = (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))
19	18	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷)) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋)))
20	15, 19	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐶)) + (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋) ↾ 𝐷))) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))
21	11, 20	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝑋)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐶 ↦ 𝑋)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝐷 ↦ 𝑋))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   finSupp cfsupp 9353  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  CMndccmn 19994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-cntz 19531  df-cmn 19996

This theorem is used by:  gsummptfidmsplit  20144  gsumdifsnd  20175  psdmul  22487  chfacfscmulgsum  23178  chfacfpmmulgsum  23182  tdeglem4  26378  gsummptres  33613  gsummptres2  33614  elrspunsn  33979  evl1deg1  34108  evl1deg2  34109  evl1deg3  34110  lbsdiflsp0  34258