Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkerre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkerre 45512
Description: The Dirichlet Kernel at any point evaluates to a real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
dirkerre.1 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
Assertion
Ref Expression
dirkerre ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝑛,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkerre
StepHypRef Expression
1 dirkerre.1 . . 3 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑛) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))))
21dirkerval2 45511 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘†) = if((𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))))
3 2re 12324 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ ℝ)
5 nnre 12257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
64, 5remulcld 11282 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ ℝ)
7 1red 11253 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
86, 7readdcld 11281 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
9 pire 26413 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
109a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ ℝ)
114, 10remulcld 11282 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
12 2cnd 12328 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 ∈ β„‚)
1310recnd 11280 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ο€ ∈ β„‚)
14 2ne0 12354 . . . . . . 7 2 β‰  0
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 2 β‰  0)
16 0re 11254 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
17 pipos 26415 . . . . . . . 8 0 < Ο€
1816, 17gtneii 11364 . . . . . . 7 Ο€ β‰  0
1918a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ Ο€ β‰  0)
2012, 13, 15, 19mulne0d 11904 . . . . 5 (𝑁 ∈ β„• β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
218, 11, 20redivcld 12080 . . . 4 (𝑁 ∈ β„• β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
2221ad2antrr 724 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ (𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
23 dirker2re 45509 . . 3 (((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0) β†’ ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2)))) ∈ ℝ)
2422, 23ifclda 4567 . 2 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ if((𝑆 mod (2 Β· Ο€)) = 0, (((2 Β· 𝑁) + 1) / (2 Β· Ο€)), ((sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑆)) / ((2 Β· Ο€) Β· (sinβ€˜(𝑆 / 2))))) ∈ ℝ)
252, 24eqeltrd 2829 1 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((π·β€˜π‘)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  ifcif 4532   ↦ cmpt 5235  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   / cdiv 11909  β„•cn 12250  2c2 12305   mod cmo 13874  sincsin 16047  Ο€cpi 16050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816
This theorem is referenced by:  dirkerf  45514  fourierdlem66  45589  fourierdlem95  45618  fourierdlem101  45624  fourierdlem112  45635
  Copyright terms: Public domain W3C validator