Theorem 2logb9irr 26861

Description: Example for logbgcd1irr 26860. The logarithm of nine to base two is irrational. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12653	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		9nn 12368	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
3	2	nnzi 12645	. . 3 ⊢ 9 ∈ ℤ
4		2re 12344	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
5		9re 12369	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
6		2lt9 12475	. . . 4 ⊢ 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 11388	. . 3 ⊢ 2 ≤ 9
8		eluz2 12888	. . 3 ⊢ (9 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1341	. 2 ⊢ 9 ∈ (ℤ≥‘2)
10		uzid 12897	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		sq3 14240	. . . . 5 ⊢ (3↑2) = 9
13	12	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ 9 = (3↑2)
14	13	oveq1i 7445	. . 3 ⊢ (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15		2lt3 12442	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
16	4, 15	gtneii 11377	. . . . 5 ⊢ 3 ≠ 2
17		3prm 16734	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℙ
18		2prm 16732	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
19		prmrp 16752	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
20	17, 18, 19	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
21	16, 20	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = 1
22		3z 12654	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℤ
23		2nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
24		rpexp1i 16763	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((3↑2) gcd 2) = 1
27	14, 26	eqtri 2764	. 2 ⊢ (9 gcd 2) = 1
28		logbgcd1irr 26860	. 2 ⊢ ((9 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1461	1 ⊢ (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1538   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3961   class class class wbr 5149  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  ℝcr 11158  1c1 11160   ≤ cle 11300  2c2 12325  3c3 12326  9c9 12332  ℕ₀cn0 12530  ℤcz 12617  ℤ_≥cuz 12882  ℚcq 12994  ↑cexp 14105   gcd cgcd 16534  ℙcprime 16711   log_b clogb 26830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-inf2 9685  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237  ax-addf 11238

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4914  df-int 4953  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-se 5643  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-of 7701  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-supp 8191  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-1o 8511  df-2o 8512  df-er 8750  df-map 8873  df-pm 8874  df-ixp 8943  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-fin 8994  df-fsupp 9406  df-fi 9455  df-sup 9486  df-inf 9487  df-oi 9554  df-card 9983  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-4 12335  df-5 12336  df-6 12337  df-7 12338  df-8 12339  df-9 12340  df-n0 12531  df-z 12618  df-dec 12738  df-uz 12883  df-q 12995  df-rp 13039  df-xneg 13158  df-xadd 13159  df-xmul 13160  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13551  df-fzo 13698  df-fl 13835  df-mod 13913  df-seq 14046  df-exp 14106  df-fac 14316  df-bc 14345  df-hash 14373  df-shft 15109  df-cj 15141  df-re 15142  df-im 15143  df-sqrt 15277  df-abs 15278  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-ef 16106  df-sin 16108  df-cos 16109  df-pi 16111  df-dvds 16294  df-gcd 16535  df-prm 16712  df-struct 17187  df-sets 17204  df-slot 17222  df-ndx 17234  df-base 17252  df-ress 17281  df-plusg 17317  df-mulr 17318  df-starv 17319  df-sca 17320  df-vsca 17321  df-ip 17322  df-tset 17323  df-ple 17324  df-ds 17326  df-unif 17327  df-hom 17328  df-cco 17329  df-rest 17475  df-topn 17476  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-topgen 17496  df-pt 17497  df-prds 17500  df-xrs 17555  df-qtop 17560  df-imas 17561  df-xps 17563  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-mgm 18672  df-sgrp 18751  df-mnd 18767  df-submnd 18816  df-mulg 19105  df-cntz 19354  df-cmn 19821  df-psmet 21380  df-xmet 21381  df-met 21382  df-bl 21383  df-mopn 21384  df-fbas 21385  df-fg 21386  df-cnfld 21389  df-top 22922  df-topon 22939  df-topsp 22961  df-bases 22975  df-cld 23049  df-ntr 23050  df-cls 23051  df-nei 23128  df-lp 23166  df-perf 23167  df-cn 23257  df-cnp 23258  df-haus 23345  df-tx 23592  df-hmeo 23785  df-fil 23876  df-fm 23968  df-flim 23969  df-flf 23970  df-xms 24352  df-ms 24353  df-tms 24354  df-cncf 24926  df-limc 25924  df-dv 25925  df-log 26621  df-cxp 26622  df-logb 26831

This theorem is referenced by:  2irrexpqALT  26866