Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2logb9irr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2logb9irr 25360
 Description: Example for logbgcd1irr 25359. The logarithm of nine to base two is irrational. (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
2logb9irr (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)

Proof of Theorem 2logb9irr
StepHypRef Expression
1 2z 11992 . . 3 2 ∈ ℤ
2 9nn 11713 . . . 4 9 ∈ ℕ
32nnzi 11984 . . 3 9 ∈ ℤ
4 2re 11689 . . . 4 2 ∈ ℝ
5 9re 11714 . . . 4 9 ∈ ℝ
6 2lt9 11820 . . . 4 2 < 9
74, 5, 6ltleii 10740 . . 3 2 ≤ 9
8 eluz2 12227 . . 3 (9 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 9 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 9))
91, 3, 7, 8mpbir3an 1338 . 2 9 ∈ (ℤ‘2)
10 uzid 12236 . . 3 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
111, 10ax-mp 5 . 2 2 ∈ (ℤ‘2)
12 sq3 13545 . . . . 5 (3↑2) = 9
1312eqcomi 2830 . . . 4 9 = (3↑2)
1413oveq1i 7140 . . 3 (9 gcd 2) = ((3↑2) gcd 2)
15 2lt3 11787 . . . . . 6 2 < 3
164, 15gtneii 10729 . . . . 5 3 ≠ 2
17 3prm 16015 . . . . . 6 3 ∈ ℙ
18 2prm 16013 . . . . . 6 2 ∈ ℙ
19 prmrp 16033 . . . . . 6 ((3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2))
2017, 18, 19mp2an 691 . . . . 5 ((3 gcd 2) = 1 ↔ 3 ≠ 2)
2116, 20mpbir 234 . . . 4 (3 gcd 2) = 1
22 3z 11993 . . . . 5 3 ∈ ℤ
23 2nn0 11892 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
24 rpexp1i 16042 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1))
2522, 1, 23, 24mp3an 1458 . . . 4 ((3 gcd 2) = 1 → ((3↑2) gcd 2) = 1)
2621, 25ax-mp 5 . . 3 ((3↑2) gcd 2) = 1
2714, 26eqtri 2844 . 2 (9 gcd 2) = 1
28 logbgcd1irr 25359 . 2 ((9 ∈ (ℤ‘2) ∧ 2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (9 gcd 2) = 1) → (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ))
299, 11, 27, 28mp3an 1458 1 (2 logb 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007   ∖ cdif 3907   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℝcr 10513  1c1 10515   ≤ cle 10653  2c2 11670  3c3 11671  9c9 11677  ℕ0cn0 11875  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221  ℚcq 12326  ↑cexp 13413   gcd cgcd 15820  ℙcprime 15992   logb clogb 25329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ioc 12721  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-mod 13221  df-seq 13353  df-exp 13414  df-fac 13618  df-bc 13647  df-hash 13675  df-shft 14405  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-limsup 14807  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-ef 15400  df-sin 15402  df-cos 15403  df-pi 15405  df-dvds 15587  df-gcd 15821  df-prm 15993  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-mulg 18204  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-limc 24448  df-dv 24449  df-log 25127  df-cxp 25128  df-logb 25330 This theorem is referenced by:  2irrexpqALT  25365
 Copyright terms: Public domain W3C validator