Theorem h0elsh 29627

Description: The zero subspace is a subspace of Hilbert space. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
h0elsh	⊢ 0ℋ ∈ Sℋ

Proof of Theorem h0elsh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		h0elch 29626	. 2 ⊢ 0ℋ ∈ Cℋ
2	1	chshii 29598	1 ⊢ 0ℋ ∈ Sℋ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   S_ℋ csh 29299  0_ℋc0h 29306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959  ax-pre-sup 10960  ax-addf 10961  ax-mulf 10962  ax-hilex 29370  ax-hfvadd 29371  ax-hvcom 29372  ax-hvass 29373  ax-hv0cl 29374  ax-hvaddid 29375  ax-hfvmul 29376  ax-hvmulid 29377  ax-hvmulass 29378  ax-hvdistr1 29379  ax-hvdistr2 29380  ax-hvmul0 29381  ax-hfi 29450  ax-his1 29453  ax-his2 29454  ax-his3 29455  ax-his4 29456

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-map 8609  df-pm 8610  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-sup 9189  df-inf 9190  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-div 11644  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-n0 12245  df-z 12331  df-uz 12594  df-q 12700  df-rp 12742  df-xneg 12859  df-xadd 12860  df-xmul 12861  df-icc 13097  df-seq 13733  df-exp 13794  df-cj 14821  df-re 14822  df-im 14823  df-sqrt 14957  df-abs 14958  df-topgen 17165  df-psmet 20600  df-xmet 20601  df-met 20602  df-bl 20603  df-mopn 20604  df-top 22054  df-topon 22071  df-bases 22107  df-lm 22391  df-haus 22477  df-grpo 28864  df-gid 28865  df-ginv 28866  df-gdiv 28867  df-ablo 28916  df-vc 28930  df-nv 28963  df-va 28966  df-ba 28967  df-sm 28968  df-0v 28969  df-vs 28970  df-nmcv 28971  df-ims 28972  df-hnorm 29339  df-hvsub 29342  df-hlim 29343  df-sh 29578  df-ch 29592  df-ch0 29624

This theorem is referenced by:  hhssnvt  29636  choc0  29697  choc1  29698  shintcl  29701  omlsi  29775  pjoml  29807  shs0i  29820  shs00i  29821  spansn0  29912  span0  29913