Theorem lcm6un 41975

Description: Least common multiple of natural numbers up to 6 equals 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm6un	⊢ (lcm‘(1...6)) = ;60

Proof of Theorem lcm6un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6nn 12382	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (6 ∈ ℕ → 6 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 41969	. . 3 ⊢ (6 ∈ ℕ → (lcm‘(1...6)) = ((lcm‘(1...(6 − 1))) lcm 6))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...6)) = ((lcm‘(1...(6 − 1))) lcm 6)
5		6m1e5 12424	. . . . . 6 ⊢ (6 − 1) = 5
6	5	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ (1...(6 − 1)) = (1...5)
7	6	fveq2i 6923	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(6 − 1))) = (lcm‘(1...5))
8	7	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(6 − 1))) lcm 6) = ((lcm‘(1...5)) lcm 6)
9		lcm5un 41974	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...5)) = ;60
10	9	oveq1i 7458	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...5)) lcm 6) = (;60 lcm 6)
11	8, 10	eqtri 2768	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(6 − 1))) lcm 6) = (;60 lcm 6)
12		60lcm6e60 41966	. 2 ⊢ (;60 lcm 6) = ;60
13	4, 11, 12	3eqtri 2772	1 ⊢ (lcm‘(1...6)) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   − cmin 11520  ℕcn 12293  5c5 12351  6c6 12352  ;cdc 12758  ...cfz 13567   lcm clcm 16635  lcmclcmf 16636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-prod 15952  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-lcm 16637  df-lcmf 16638  df-prm 16719

This theorem is referenced by:  lcm7un  41976