Theorem lcm5un 42730

Description: Least common multiple of natural numbers up to 5 equals 60. (Contributed by metakunt, 25-Apr-2024.)

Assertion

Ref	Expression
lcm5un	⊢ (lcm‘(1...5)) = ;60

Proof of Theorem lcm5un

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 12326	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (5 ∈ ℕ → 5 ∈ ℕ)
3	2	lcmfunnnd 42725	. . 3 ⊢ (5 ∈ ℕ → (lcm‘(1...5)) = ((lcm‘(1...(5 − 1))) lcm 5))
4	1, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (lcm‘(1...5)) = ((lcm‘(1...(5 − 1))) lcm 5)
5		5m1e4 12369	. . . . . 6 ⊢ (5 − 1) = 4
6	5	oveq2i 7421	. . . . 5 ⊢ (1...(5 − 1)) = (1...4)
7	6	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...(5 − 1))) = (lcm‘(1...4))
8	7	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...(5 − 1))) lcm 5) = ((lcm‘(1...4)) lcm 5)
9		lcm4un 42729	. . . 4 ⊢ (lcm‘(1...4)) = ;12
10	9	oveq1i 7420	. . 3 ⊢ ((lcm‘(1...4)) lcm 5) = (;12 lcm 5)
11	8, 10	eqtri 2784	. 2 ⊢ ((lcm‘(1...(5 − 1))) lcm 5) = (;12 lcm 5)
12		12lcm5e60 42721	. 2 ⊢ (;12 lcm 5) = ;60
13	4, 11, 12	3eqtri 2788	1 ⊢ (lcm‘(1...5)) = ;60

Syntax hints:   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   − cmin 11440  ℕcn 12232  2c2 12294  4c4 12296  5c5 12297  6c6 12298  ;cdc 12710  ...cfz 13534   lcm clcm 16645  lcmclcmf 16646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-prod 15957  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-lcm 16647  df-lcmf 16648  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  lcm6un  42731