Theorem lclkrlem2 40859

Description: The set of functionals having closed kernels is closed under vector (functional) addition. Lemmas lclkrlem2a 40834 through lclkrlem2y 40858 are used for the proof. Here we express lclkrlem2y 40858 in terms of membership in the set 𝐶 of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkrlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐶)
lclkrlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2	⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓   + ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
2		lclkrlem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lclkrlem2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lclkrlem2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrlem2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7		lclkrlem2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
8		lclkrlem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lclkrlem2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐶)
10		lclkrlem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11	10	lcfl1lem 40818	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 ↔ (𝐸 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸)))
12	11	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 → 𝐸 ∈ 𝐹)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
15	10	lcfl1lem 40818	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
16	15	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 13	lcfl1 40819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸)))
19	9, 18	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
20	10, 17	lcfl1 40819	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
21	14, 20	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 17, 19, 21	lclkrlem2y 40858	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
23	2, 4, 8	dvhlmod 40437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 6, 7, 23, 13, 17	ldualvaddcl 38456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
25	10, 24	lcfl1 40819	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
26	22, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3424  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  +_gcplusg 17195  LFnlclfn 38383  LKerclk 38411  LDualcld 38449  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  ocHcoch 40674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-0g 17385  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722

This theorem is referenced by:  lclkr  40860  lclkrslem2  40865