Theorem lclkrlem2 41731

Description: The set of functionals having closed kernels is closed under vector (functional) addition. Lemmas lclkrlem2a 41706 through lclkrlem2y 41730 are used for the proof. Here we express lclkrlem2y 41730 in terms of membership in the set 𝐶 of functionals with closed kernels. (Contributed by NM, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2.c	⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
lclkrlem2.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐶)
lclkrlem2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2	⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑓,𝐸   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝐿   ⊥ ,𝑓   + ,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑈(𝑓)   𝐻(𝑓)   𝐾(𝑓)   𝑊(𝑓)

Proof of Theorem lclkrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
2		lclkrlem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		lclkrlem2.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lclkrlem2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		lclkrlem2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
6		lclkrlem2.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
7		lclkrlem2.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐷)
8		lclkrlem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		lclkrlem2.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐶)
10		lclkrlem2.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = {𝑓 ∈ 𝐹 ∣ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)}
11	10	lcfl1lem 41690	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 ↔ (𝐸 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸)))
12	11	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ 𝐶 → 𝐸 ∈ 𝐹)
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
14		lclkrlem2.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐶)
15	10	lcfl1lem 41690	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
16	15	simplbi 497	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐶 → 𝐺 ∈ 𝐹)
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
18	10, 13	lcfl1 41691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸)))
19	9, 18	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐸))) = (𝐿‘𝐸))
20	10, 17	lcfl1 41691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺)))
21	14, 20	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 17, 19, 21	lclkrlem2y 41730	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
23	2, 4, 8	dvhlmod 41309	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
24	5, 6, 7, 23, 13, 17	ldualvaddcl 39329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
25	10, 24	lcfl1 41691	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
26	22, 25	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3397  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  +_gcplusg 17175  LFnlclfn 39256  LKerclk 39284  LDualcld 39322  HLchlt 39549  LHypclh 40183  DVecHcdvh 41277  ocHcoch 41546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-riotaBAD 39152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-undef 8213  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-0g 17359  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p0 18344  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-cntz 19244  df-oppg 19273  df-lsm 19563  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-dvr 20335  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lsp 20921  df-lvec 21053  df-lsatoms 39175  df-lshyp 39176  df-lcv 39218  df-lfl 39257  df-lkr 39285  df-ldual 39323  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-covers 39465  df-ats 39466  df-atl 39497  df-cvlat 39521  df-hlat 39550  df-llines 39697  df-lplanes 39698  df-lvols 39699  df-lines 39700  df-psubsp 39702  df-pmap 39703  df-padd 39995  df-lhyp 40187  df-laut 40188  df-ldil 40303  df-ltrn 40304  df-trl 40358  df-tgrp 40942  df-tendo 40954  df-edring 40956  df-dveca 41202  df-disoa 41228  df-dvech 41278  df-dib 41338  df-dic 41372  df-dih 41428  df-doch 41547  df-djh 41594

This theorem is referenced by:  lclkr  41732  lclkrslem2  41737