Theorem lptioo2cn 40672

Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo2cn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo2cn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		lptioo2cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lptioo2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lptioo2cn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	lptioo2 40658	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 22957	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8		ax-resscn 10309	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		unicntop 22959	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
10	8, 9	sseqtri 3862	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld)
11		ioossre 12523	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
12		eqid 2825	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂfld) = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
13	6	tgioo2 22976	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
14	12, 13	restlp 21358	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
15	7, 10, 11, 14	mp3an 1591	. . . . 5 ⊢ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ)
16	5, 15	syl6eleq 2916	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
17		elin 4023	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
18	16, 17	sylib 210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19	18	simpld 490	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
20		lptioo2cn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21	20	eqcomi 2834	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
22	21	fveq2i 6436	. . 3 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
23	22	fveq1i 6434	. 2 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
24	19, 23	syl6eleq 2916	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∪ cuni 4658   class class class wbr 4873  ran crn 5343  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  ℝ^*cxr 10390   < clt 10391  (,)cioo 12463  TopOpenctopn 16435  topGenctg 16451  ℂ_fldccnfld 20106  Topctop 21068  limPtclp 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-fi 8586  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-dec 11822  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-xneg 12232  df-xadd 12233  df-xmul 12234  df-ioo 12467  df-fz 12620  df-seq 13096  df-exp 13155  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-starv 16320  df-tset 16324  df-ple 16325  df-ds 16327  df-unif 16328  df-rest 16436  df-topn 16437  df-topgen 16457  df-psmet 20098  df-xmet 20099  df-met 20100  df-bl 20101  df-mopn 20102  df-cnfld 20107  df-top 21069  df-topon 21086  df-topsp 21108  df-bases 21121  df-cld 21194  df-ntr 21195  df-cls 21196  df-nei 21273  df-lp 21311  df-xms 22495  df-ms 22496

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  40903  fourierdlem60  41177  fourierdlem74  41191  fourierdlem88  41205  fourierdlem94  41211  fourierdlem95  41212  fourierdlem103  41220  fourierdlem104  41221  fourierdlem113  41230