Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lptioo2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lptioo2cn 45500
Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lptioo2cn.1 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo2cn.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2cn.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2cn.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
lptioo2cn (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2cn
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2 lptioo2cn.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 lptioo2cn.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 lptioo2cn.4 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 3, 4lptioo2 45486 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6 eqid 2734 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
76cnfldtop 24818 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8 ax-resscn 11237 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
9 unicntop 24820 . . . . . . 7 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
108, 9sseqtri 4039 . . . . . 6 ℝ ⊆ (TopOpen‘ℂfld)
11 ioossre 13464 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
12 eqid 2734 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
136tgioo2 24837 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
1412, 13restlp 23205 . . . . . 6 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
157, 10, 11, 14mp3an 1461 . . . . 5 ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ)
165, 15eleqtrdi 2848 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
17 elin 3986 . . . 4 (𝐵 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1816, 17sylib 218 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
1918simpld 494 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
20 lptioo2cn.1 . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
2120eqcomi 2743 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
2221fveq2i 6922 . . 3 (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
2322fveq1i 6920 . 2 ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
2419, 23eleqtrdi 2848 1 (𝜑𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  cin 3969  wss 3970   cuni 4931   class class class wbr 5169  ran crn 5700  cfv 6572  (class class class)co 7445  cc 11178  cr 11179  *cxr 11319   < clt 11320  (,)cioo 13403  TopOpenctopn 17476  topGenctg 17492  fldccnfld 21382  Topctop 22913  limPtclp 23156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fi 9476  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-q 13010  df-rp 13054  df-xneg 13171  df-xadd 13172  df-xmul 13173  df-ioo 13407  df-fz 13564  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15144  df-re 15145  df-im 15146  df-sqrt 15280  df-abs 15281  df-struct 17189  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-rest 17477  df-topn 17478  df-topgen 17498  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22914  df-topon 22931  df-topsp 22953  df-bases 22967  df-cld 23041  df-ntr 23042  df-cls 23043  df-nei 23120  df-lp 23158  df-xms 24344  df-ms 24345
This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  45750  fourierdlem60  46021  fourierdlem74  46035  fourierdlem88  46049  fourierdlem94  46055  fourierdlem95  46056  fourierdlem103  46064  fourierdlem104  46065  fourierdlem113  46074
  Copyright terms: Public domain W3C validator