Theorem lptioo2cn 46095

Description: The upper bound of an open interval is a limit point of the interval, wirth respect to the standard topology on complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lptioo2cn.1	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
lptioo2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
lptioo2cn.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lptioo2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lptioo2cn	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Proof of Theorem lptioo2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
2		lptioo2cn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		lptioo2cn.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		lptioo2cn.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 3, 4	lptioo2 46083	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)))
6		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7	6	cnfldtop 24762	. . . . . 6 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
8		ax-resscn 11090	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
9		unicntop 24764	. . . . . . 7 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
10	8, 9	sseqtri 3971	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld)
11		ioossre 13355	. . . . . 6 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ ∪ (TopOpen‘ℂfld) = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
13		tgioo4 24784	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
14	12, 13	restlp 23162	. . . . . 6 ⊢ (((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top ∧ ℝ ⊆ ∪ (TopOpen‘ℂfld) ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
15	7, 10, 11, 14	mp3an 1464	. . . . 5 ⊢ ((limPt‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴(,)𝐵)) = (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ)
16	5, 15	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ))
17		elin 3906	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∩ ℝ) ↔ (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
18	16, 17	sylib 218	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
19	18	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)))
20		lptioo2cn.1	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
21	20	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = 𝐽
22	21	fveq2i 6839	. . 3 ⊢ (limPt‘(TopOpen‘ℂfld)) = (limPt‘𝐽)
23	22	fveq1i 6837	. 2 ⊢ ((limPt‘(TopOpen‘ℂfld))‘(𝐴(,)𝐵)) = ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵))
24	19, 23	eleqtrdi 2847	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘(𝐴(,)𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086  ran crn 5627  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℂcc 11031  ℝcr 11032  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  (,)cioo 13293  TopOpenctopn 17379  topGenctg 17395  ℂ_fldccnfld 21348  Topctop 22872  limPtclp 23113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fi 9319  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-met 21342  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-cnfld 21349  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-cld 22998  df-ntr 22999  df-cls 23000  df-nei 23077  df-lp 23115  df-xms 24299  df-ms 24300

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  46345  fourierdlem60  46616  fourierdlem74  46630  fourierdlem88  46644  fourierdlem94  46650  fourierdlem95  46651  fourierdlem103  46659  fourierdlem104  46660  fourierdlem113  46669