Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihmeetlem9N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihmeetlem9N 40840
Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 6-Apr-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dihmeetlem9.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihmeetlem9.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dihmeetlem9.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihmeetlem9.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dihmeetlem9.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dihmeetlem9.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dihmeetlem9.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihmeetlem9.s βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
dihmeetlem9.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dihmeetlem9N (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((πΌβ€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)) = ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• ((πΌβ€˜π‘) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ))))
Proof of Theorem dihmeetlem9N
StepHypRef Expression
1 dihmeetlem9.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 dihmeetlem9.u . . . . . 6 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 simp1 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40635 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 eqid 2725 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
65lsssssubg 20841 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
74, 6syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
8 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
98hllatd 38888 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10 simp2l 1196 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 simp2r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
12 dihmeetlem9.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
13 dihmeetlem9.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
1412, 13latmcl 18426 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
159, 10, 11, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 dihmeetlem9.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
1712, 1, 16, 2, 5dihlss 40775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
183, 15, 17syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
197, 18sseldd 3974 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
20 dihmeetlem9.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2112, 20atbase 38813 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
22213ad2ant3 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2312, 1, 16, 2, 5dihlss 40775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
243, 22, 23syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
257, 24sseldd 3974 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜π‘) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
2612, 1, 16, 2, 5dihlss 40775 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
273, 11, 26syl2anc 582 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
287, 27sseldd 3974 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ))
29 dihmeetlem9.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3012, 29, 13latmle2 18451 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
319, 10, 11, 30syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
3212, 29, 1, 16dihord 40789 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
333, 15, 11, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ))
3431, 33mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ))
35 dihmeetlem9.s . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
3635lsmmod 19629 . . 3 ((((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘Œ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) ∧ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ† (πΌβ€˜π‘Œ)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• ((πΌβ€˜π‘) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ))) = (((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘)) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
3719, 25, 28, 34, 36syl31anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• ((πΌβ€˜π‘) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ))) = (((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘)) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
38 lmodabl 20791 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
394, 38syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ Abel)
4035lsmcom 19812 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Abel ∧ (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΌβ€˜π‘) ∈ (SubGrpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘)) = ((πΌβ€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
4139, 19, 25, 40syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘)) = ((πΌβ€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
4241ineq1d 4206 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• (πΌβ€˜π‘)) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)) = (((πΌβ€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)))
4337, 42eqtr2d 2766 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (((πΌβ€˜π‘) βŠ• (πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ)) = ((πΌβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) βŠ• ((πΌβ€˜π‘) ∩ (πΌβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3940   βŠ† wss 3941   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  lecple 17234  joincjn 18297  meetcmee 18298  Latclat 18417  SubGrpcsubg 19074  LSSumclsm 19588  Abelcabl 19735  LModclmod 20742  LSubSpclss 20814  Atomscatm 38787  HLchlt 38874  LHypclh 39509  DVecHcdvh 40603  DIsoHcdih 40753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-riotaBAD 38477
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-p1 18412  df-lat 18418  df-clat 18485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-cntz 19267  df-lsm 19590  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-drng 20625  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-lvec 20987  df-oposet 38700  df-ol 38702  df-oml 38703  df-covers 38790  df-ats 38791  df-atl 38822  df-cvlat 38846  df-hlat 38875  df-llines 39023  df-lplanes 39024  df-lvols 39025  df-lines 39026  df-psubsp 39028  df-pmap 39029  df-padd 39321  df-lhyp 39513  df-laut 39514  df-ldil 39629  df-ltrn 39630  df-trl 39684  df-tendo 40280  df-edring 40282  df-disoa 40554  df-dvech 40604  df-dib 40664  df-dic 40698  df-dih 40754
This theorem is referenced by:  dihmeetlem12N  40843
  Copyright terms: Public domain W3C validator