Theorem hdmap14lem1a 40725

Description: Prior to part 14 in [Baer] p. 49, line 25. (Contributed by NM, 31-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap14lem1a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem1a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem1a.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
hdmap14lem1a.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem1a.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem1a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem2a.e	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐶)
hdmap14lem1a.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap14lem2a.p	⊢ 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem2a.a	⊢ 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem1a.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem1a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap14lem3a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap14lem1a.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
hdmap14lem1a.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
hdmap14lem1a.fn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
hdmap14lem1a	⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))

Proof of Theorem hdmap14lem1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap14lem1a.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap14lem1a.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap14lem1a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlvec 39968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
5		hdmap14lem1a.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
6		hdmap14lem1a.fn	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0 )
7		hdmap14lem3a.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
8		hdmap14lem1a.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
9		hdmap14lem1a.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
10		hdmap14lem1a.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑈)
11		hdmap14lem1a.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
12		hdmap14lem1a.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
14	8, 9, 10, 11, 12, 13	lspsnvs 20719	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LVec ∧ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{(𝐹 · 𝑋)}) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
15	4, 5, 6, 7, 14	syl121anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{(𝐹 · 𝑋)}) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
16	15	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{(𝐹 · 𝑋)})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
17		hdmap14lem1a.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
18		hdmap14lem1a.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
19		eqid 2732	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
20		hdmap14lem1a.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
21	1, 2, 3	dvhlmod 39969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	8, 9, 10, 11	lmodvscl 20481	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
23	21, 5, 7, 22	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
24	1, 2, 8, 13, 17, 18, 19, 20, 3, 23	hdmap10 40699	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{(𝐹 · 𝑋)})) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))
25	1, 2, 8, 13, 17, 18, 19, 20, 3, 7	hdmap10 40699	. 2 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}))
26	16, 24, 25	3eqtr3rd 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆‘𝑋)}) = (𝐿‘{(𝑆‘(𝐹 · 𝑋))}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {csn 4627  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LVecclvec 20705  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  LCDualclcd 40445  mapdcmpd 40483  HDMapchdma 40651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-lsatoms 37834  df-lshyp 37835  df-lcv 37877  df-lfl 37916  df-lkr 37944  df-ldual 37982  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tgrp 39602  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-dveca 39862  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207  df-djh 40254  df-lcdual 40446  df-mapd 40484  df-hvmap 40616  df-hdmap1 40652  df-hdmap 40653

This theorem is referenced by:  hdmap14lem2a  40726  hdmap14lem1  40727