Theorem meaiininc2 46486

Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiininc2.f	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiininc2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meaiininc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiininc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiininc2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
meaiininc2.k	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
meaiininc2.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiininc2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem meaiininc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiininc2.k	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
2		meaiininc2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1914	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
4		meaiininc2.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
6		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ
7	4, 5, 6	nf3an 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
8		meaiininc2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiininc2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		meaiininc2.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
13		meaiininc2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
15		meaiininc2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
16	15	3ad2antl1 1186	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
18	17, 12	eleqtrdi 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	18	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
21		meaiininc2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21	meaiininc 46485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))
23	22	3exp 1119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
24	2, 3, 23	rexlimd 3244	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))))
25	1, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914  ∩ ciin 4956   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793   ⇝ cli 15450  Meascmea 46447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-salg 46307  df-sumge0 46361  df-mea 46448

This theorem is referenced by: (None)