Theorem meaiininc2 45504

Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiininc2.f	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiininc2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meaiininc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiininc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiininc2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
meaiininc2.k	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
meaiininc2.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiininc2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem meaiininc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiininc2.k	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
2		meaiininc2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
4		meaiininc2.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
6		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ
7	4, 5, 6	nf3an 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
8		meaiininc2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9	8	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiininc2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		meaiininc2.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
13		meaiininc2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
14	13	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
15		meaiininc2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
16	15	3ad2antl1 1184	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
18	17, 12	eleqtrdi 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	18	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
21		meaiininc2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21	meaiininc 45503	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))
23	22	3exp 1118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
24	2, 3, 23	rexlimd 3262	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))))
25	1, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3949  ∩ ciin 4999   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℝcr 11112  1c1 11114   + caddc 11116  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827   ⇝ cli 15433  Meascmea 45465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-oi 9508  df-card 9937  df-acn 9940  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xadd 13098  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638  df-salg 45325  df-sumge0 45379  df-mea 45466

This theorem is referenced by: (None)