Theorem meaiininc2 46769

Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiininc2.f	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiininc2.p	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
meaiininc2.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiininc2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc2.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiininc2.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc2.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
meaiininc2.k	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
meaiininc2.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiininc2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐸,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑆,𝑘   𝑘,𝑍,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem meaiininc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiininc2.k	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
2		meaiininc2.p	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
3		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))
4		meaiininc2.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
5		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑘 ∈ 𝑍
6		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ
7	4, 5, 6	nf3an 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
8		meaiininc2.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ Meas)
10		meaiininc2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		meaiininc2.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
13		meaiininc2.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
14	13	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
15		meaiininc2.i	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
16	15	3ad2antl1 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
17		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ 𝑍)
18	17, 12	eleqtrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19	18	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
20		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ)
21		meaiininc2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
22	7, 9, 11, 12, 14, 16, 19, 20, 21	meaiininc 46768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍 ∧ (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ) → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))
23	22	3exp 1120	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 → ((𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))))
24	2, 3, 23	rexlimd 3242	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑘 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑘)) ∈ ℝ → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛))))
25	1, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3900  ∩ ciin 4946   class class class wbr 5097   ↦ cmpt 5178  dom cdm 5623  ⟶wf 6487  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  ℝcr 11027  1c1 11029   + caddc 11031  ℤcz 12490  ℤ_≥cuz 12753   ⇝ cli 15409  Meascmea 46730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-iin 4948  df-disj 5065  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-acn 9856  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-xadd 13029  df-ico 13269  df-icc 13270  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612  df-salg 46590  df-sumge0 46644  df-mea 46731

This theorem is referenced by: (None)