Theorem meaiininc 47171

Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiininc.f	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiininc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiininc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiininc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
meaiininc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
meaiininc.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸‘𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininc.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiininc	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiininc

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiininc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiininc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiininc.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiininc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiininc.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1942	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑖 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
8		nfv 1942	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖)
9	7, 8	nfim 1924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))
10		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
11	10	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
12		fvoveq1 7433	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
13		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑖))
14	12, 13	sseq12d 3969	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖)))
15	11, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))))
16		meaiininc.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
17	9, 15, 16	chvarfv 2274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))
18		meaiininc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19		meaiininc.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸‘𝐾)) ∈ ℝ)
20		2fveq3 6886	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑖)))
21	20	cbvmptv 5214	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑖)))
22	13	difeq2d 4080	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑖)))
23	22	cbvmptv 5214	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑖)))
24		fveq2 6881	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑖))
25	24	cbviunv 5002	. . 3 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑖)
26	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19, 21, 23, 25	meaiininclem 47170	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)))
27		meaiininc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
28		2fveq3 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
29	28	cbvmptv 5214	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
30	27, 29	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))))
32	13	cbviinv 5003	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)
33	32	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖))
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)))
35	31, 34	breq12d 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖))))
36	26, 35	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568  Ⅎwnf 1811   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∪ ciun 4955  ∩ ciin 4956   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861   ⇝ cli 15535  Meascmea 47133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-oadd 8456  df-omul 8457  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-acn 9927  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738  df-salg 46993  df-sumge0 47047  df-mea 47134

This theorem is referenced by:  meaiininc2  47172  vonicclem2  47368