Theorem meaiininc 47009

Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiininc.f	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiininc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiininc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiininc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
meaiininc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
meaiininc.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸‘𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininc.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiininc	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiininc

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiininc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiininc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiininc.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiininc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiininc.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1928	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑖 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1913	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
8		nfv 1928	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖)
9	7, 8	nfim 1910	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))
10		eleq1w 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
11	10	anbi2d 638	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
12		fvoveq1 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
13		fveq2 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑖))
14	12, 13	sseq12d 3964	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖)))
15	11, 14	imbi12d 346	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))))
16		meaiininc.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
17	9, 15, 16	chvarfv 2269	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))
18		meaiininc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19		meaiininc.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸‘𝐾)) ∈ ℝ)
20		2fveq3 6861	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑖)))
21	20	cbvmptv 5198	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑖)))
22	13	difeq2d 4075	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑖)))
23	22	cbvmptv 5198	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑖)))
24		fveq2 6856	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑖))
25	24	cbviunv 4990	. . 3 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑖)
26	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19, 21, 23, 25	meaiininclem 47008	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)))
27		meaiininc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
28		2fveq3 6861	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
29	28	cbvmptv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
30	27, 29	eqtri 2779	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))))
32	13	cbviinv 4991	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)
33	32	fveq2i 6859	. . . 4 ⊢ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖))
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)))
35	31, 34	breq12d 5107	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖))))
36	26, 35	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554  Ⅎwnf 1797   ∈ wcel 2136   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ∪ ciun 4943  ∩ ciin 4944   class class class wbr 5094   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5640  ⟶wf 6506  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℝcr 11062  1c1 11064   + caddc 11066  ℤcz 12558  ℤ_≥cuz 12829   ⇝ cli 15487  Meascmea 46971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-inf2 9586  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-disj 5062  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-isom 6519  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-2o 8426  df-oadd 8429  df-omul 8430  df-er 8666  df-map 8798  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-oi 9448  df-card 9887  df-acn 9890  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-xadd 13105  df-ico 13345  df-icc 13346  df-fz 13503  df-fzo 13650  df-seq 14005  df-exp 14065  df-hash 14334  df-cj 15102  df-re 15103  df-im 15104  df-sqrt 15238  df-abs 15239  df-clim 15491  df-sum 15690  df-salg 46831  df-sumge0 46885  df-mea 46972

This theorem is referenced by:  meaiininc2  47010  vonicclem2  47206