Theorem meaiininc 45662

Description: Measures are continuous from above: if 𝐸 is a nonincreasing sequence of measurable sets, and any of the sets has finite measure, then the measure of the intersection is the limit of the measures. This is Proposition 112C (f) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiininc.f	⊢ Ⅎ𝑛𝜑
meaiininc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiininc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiininc.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiininc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiininc.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
meaiininc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
meaiininc.r	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸‘𝐾)) ∈ ℝ)
meaiininc.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiininc	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem meaiininc

Dummy variables 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiininc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
2		meaiininc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		meaiininc.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
4		meaiininc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
5		meaiininc.f	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛𝜑
6		nfv 1916	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑖 ∈ 𝑍
7	5, 6	nfan 1901	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)
8		nfv 1916	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑛(𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖)
9	7, 8	nfim 1898	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))
10		eleq1w 2815	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↔ 𝑖 ∈ 𝑍))
11	10	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) ↔ (𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍)))
12		fvoveq1 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘(𝑛 + 1)) = (𝐸‘(𝑖 + 1)))
13		fveq2 6891	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐸‘𝑛) = (𝐸‘𝑖))
14	12, 13	sseq12d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛) ↔ (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖)))
15	11, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))))
16		meaiininc.i	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑛 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑛))
17	9, 15, 16	chvarfv 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑍) → (𝐸‘(𝑖 + 1)) ⊆ (𝐸‘𝑖))
18		meaiininc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
19		meaiininc.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝐸‘𝐾)) ∈ ℝ)
20		2fveq3 6896	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → (𝑀‘(𝐸‘𝑚)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑖)))
21	20	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑖)))
22	13	difeq2d 4122	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)) = ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑖)))
23	22	cbvmptv 5261	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛))) = (𝑖 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑖)))
24		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑖 → ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑚) = ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑖))
25	24	cbviunv 5043	. . 3 ⊢ ∪ 𝑚 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑚) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑍 ((𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝐾) ∖ (𝐸‘𝑛)))‘𝑖)
26	1, 2, 3, 4, 17, 18, 19, 21, 23, 25	meaiininclem 45661	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)))
27		meaiininc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
28		2fveq3 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
29	28	cbvmptv 5261	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
30	27, 29	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
31	30	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))))
32	13	cbviinv 5044	. . . . 5 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛) = ∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)
33	32	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖))
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖)))
35	31, 34	breq12d 5161	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)) ↔ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∩ 𝑖 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑖))))
36	26, 35	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∩ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1784   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ∪ ciun 4997  ∩ ciin 4998   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℝcr 11115  1c1 11117   + caddc 11119  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12829   ⇝ cli 15435  Meascmea 45624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-acn 9943  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-xadd 13100  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-salg 45484  df-sumge0 45538  df-mea 45625

This theorem is referenced by:  meaiininc2  45663  vonicclem2  45859