Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwsexpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsexpg 39776
 Description: Value of a group exponentiation in a structure power. Compare pwsmulg 18340. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsexpg.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsexpg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsexpg.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsexpg.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsexpg.s = (.g𝑀)
pwsexpg.g · = (.g𝑇)
pwsexpg.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
pwsexpg.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsexpg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
pwsexpg.x (𝜑𝑋𝐵)
pwsexpg.a (𝜑𝐴𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwsexpg (𝜑 → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))

Proof of Theorem pwsexpg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsexpg.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 pwsexpg.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
3 pwsexpg.m . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
4 pwsexpg.t . . . 4 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5 pwsexpg.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 pwsexpg.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
7 pwsexpg.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐼)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pwspjmhmmgpd 39775 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
9 pwsexpg.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
10 pwsexpg.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
113, 2mgpbas 19314 . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
12 pwsexpg.s . . . 4 = (.g𝑀)
13 pwsexpg.g . . . 4 · = (.g𝑇)
1411, 12, 13mhmmulg 18336 . . 3 (((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
158, 9, 10, 14syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)))
161pwsring 19437 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
175, 6, 16syl2anc 588 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
183ringmgp 19372 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1917, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Mnd)
2011, 12mulgnn0cl 18312 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
2119, 9, 10, 20syl3anc 1369 . . 3 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ 𝐵)
22 fveq1 6658 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 𝑋) → (𝑥𝐴) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
23 eqid 2759 . . . 4 (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))
24 fvex 6672 . . . 4 ((𝑁 𝑋)‘𝐴) ∈ V
2522, 23, 24fvmpt 6760 . . 3 ((𝑁 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
2621, 25syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘(𝑁 𝑋)) = ((𝑁 𝑋)‘𝐴))
27 fveq1 6658 . . . . 5 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝐴) = (𝑋𝐴))
28 fvex 6672 . . . . 5 (𝑋𝐴) ∈ V
2927, 23, 28fvmpt 6760 . . . 4 (𝑋𝐵 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
3010, 29syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋) = (𝑋𝐴))
3130oveq2d 7167 . 2 (𝜑 → (𝑁 · ((𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
3215, 26, 313eqtr3d 2802 1 (𝜑 → ((𝑁 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ↦ cmpt 5113  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℕ0cn0 11935  Basecbs 16542   ↑s cpws 16779  Mndcmnd 17978   MndHom cmhm 18021  .gcmg 18292  mulGrpcmgp 19308  Ringcrg 19366 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-er 8300  df-map 8419  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-sup 8940  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-9 11745  df-n0 11936  df-z 12022  df-dec 12139  df-uz 12284  df-fz 12941  df-seq 13420  df-struct 16544  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-tset 16643  df-ple 16644  df-ds 16646  df-hom 16648  df-cco 16649  df-0g 16774  df-prds 16780  df-pws 16782  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-mhm 18023  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-mulg 18293  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368 This theorem is referenced by:  evlsbagval  39781  evlsexpval  39782
 Copyright terms: Public domain W3C validator