![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pwsexpg | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Value of a group exponentiation in a structure power. Compare pwsmulg 19038. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
pwsexpg.y | โข ๐ = (๐ โs ๐ผ) |
pwsexpg.b | โข ๐ต = (Baseโ๐) |
pwsexpg.m | โข ๐ = (mulGrpโ๐) |
pwsexpg.t | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
pwsexpg.s | โข โ = (.gโ๐) |
pwsexpg.g | โข ยท = (.gโ๐) |
pwsexpg.r | โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
pwsexpg.i | โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) |
pwsexpg.n | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
pwsexpg.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
pwsexpg.a | โข (๐ โ ๐ด โ ๐ผ) |
Ref | Expression |
---|---|
pwsexpg | โข (๐ โ ((๐ โ ๐)โ๐ด) = (๐ ยท (๐โ๐ด))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pwsexpg.y | . . . 4 โข ๐ = (๐ โs ๐ผ) | |
2 | pwsexpg.b | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) | |
3 | pwsexpg.m | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐) | |
4 | pwsexpg.t | . . . 4 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
5 | pwsexpg.r | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Ring) | |
6 | pwsexpg.i | . . . 4 โข (๐ โ ๐ผ โ ๐) | |
7 | pwsexpg.a | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ ๐ผ) | |
8 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | pwspjmhmmgpd 20219 | . . 3 โข (๐ โ (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด)) โ (๐ MndHom ๐)) |
9 | pwsexpg.n | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
10 | pwsexpg.x | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) | |
11 | 3, 2 | mgpbas 20037 | . . . 4 โข ๐ต = (Baseโ๐) |
12 | pwsexpg.s | . . . 4 โข โ = (.gโ๐) | |
13 | pwsexpg.g | . . . 4 โข ยท = (.gโ๐) | |
14 | 11, 12, 13 | mhmmulg 19034 | . . 3 โข (((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด)) โ (๐ MndHom ๐) โง ๐ โ โ0 โง ๐ โ ๐ต) โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ(๐ โ ๐)) = (๐ ยท ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ๐))) |
15 | 8, 9, 10, 14 | syl3anc 1368 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ(๐ โ ๐)) = (๐ ยท ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ๐))) |
16 | 1 | pwsring 20215 | . . . . . 6 โข ((๐ โ Ring โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ โ Ring) |
17 | 5, 6, 16 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ Ring) |
18 | 3 | ringmgp 20136 | . . . . 5 โข (๐ โ Ring โ ๐ โ Mnd) |
19 | 17, 18 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ Mnd) |
20 | 11, 12, 19, 9, 10 | mulgnn0cld 19014 | . . 3 โข (๐ โ (๐ โ ๐) โ ๐ต) |
21 | fveq1 6881 | . . . 4 โข (๐ฅ = (๐ โ ๐) โ (๐ฅโ๐ด) = ((๐ โ ๐)โ๐ด)) | |
22 | eqid 2724 | . . . 4 โข (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด)) = (๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด)) | |
23 | fvex 6895 | . . . 4 โข ((๐ โ ๐)โ๐ด) โ V | |
24 | 21, 22, 23 | fvmpt 6989 | . . 3 โข ((๐ โ ๐) โ ๐ต โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ(๐ โ ๐)) = ((๐ โ ๐)โ๐ด)) |
25 | 20, 24 | syl 17 | . 2 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ(๐ โ ๐)) = ((๐ โ ๐)โ๐ด)) |
26 | fveq1 6881 | . . . . 5 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅโ๐ด) = (๐โ๐ด)) | |
27 | fvex 6895 | . . . . 5 โข (๐โ๐ด) โ V | |
28 | 26, 22, 27 | fvmpt 6989 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ๐) = (๐โ๐ด)) |
29 | 10, 28 | syl 17 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ๐) = (๐โ๐ด)) |
30 | 29 | oveq2d 7418 | . 2 โข (๐ โ (๐ ยท ((๐ฅ โ ๐ต โฆ (๐ฅโ๐ด))โ๐)) = (๐ ยท (๐โ๐ด))) |
31 | 15, 25, 30 | 3eqtr3d 2772 | 1 โข (๐ โ ((๐ โ ๐)โ๐ด) = (๐ ยท (๐โ๐ด))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โฆ cmpt 5222 โcfv 6534 (class class class)co 7402 โ0cn0 12470 Basecbs 17145 โs cpws 17393 Mndcmnd 18659 MndHom cmhm 18703 .gcmg 18987 mulGrpcmgp 20031 Ringcrg 20130 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-rmo 3368 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-tp 4626 df-op 4628 df-uni 4901 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-of 7664 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8700 df-map 8819 df-ixp 8889 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-sup 9434 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-nn 12211 df-2 12273 df-3 12274 df-4 12275 df-5 12276 df-6 12277 df-7 12278 df-8 12279 df-9 12280 df-n0 12471 df-z 12557 df-dec 12676 df-uz 12821 df-fz 13483 df-seq 13965 df-struct 17081 df-sets 17098 df-slot 17116 df-ndx 17128 df-base 17146 df-plusg 17211 df-mulr 17212 df-sca 17214 df-vsca 17215 df-ip 17216 df-tset 17217 df-ple 17218 df-ds 17220 df-hom 17222 df-cco 17223 df-0g 17388 df-prds 17394 df-pws 17396 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-mhm 18705 df-grp 18858 df-minusg 18859 df-mulg 18988 df-cmn 19694 df-abl 19695 df-mgp 20032 df-rng 20050 df-ur 20079 df-ring 20132 |
This theorem is referenced by: evls1expd 33114 evlsvvval 41628 evlsexpval 41632 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |