MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsexpg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsexpg 20052
Description: Value of a group exponentiation in a structure power. Compare pwsmulg 18929. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsexpg.y ๐‘Œ = (๐‘… โ†‘s ๐ผ)
pwsexpg.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
pwsexpg.m ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘Œ)
pwsexpg.t ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
pwsexpg.s โˆ™ = (.gโ€˜๐‘€)
pwsexpg.g ยท = (.gโ€˜๐‘‡)
pwsexpg.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
pwsexpg.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
pwsexpg.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
pwsexpg.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
pwsexpg.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ผ)
Assertion
Ref Expression
pwsexpg (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ด) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ€˜๐ด)))

Proof of Theorem pwsexpg
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsexpg.y . . . 4 ๐‘Œ = (๐‘… โ†‘s ๐ผ)
2 pwsexpg.b . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘Œ)
3 pwsexpg.m . . . 4 ๐‘€ = (mulGrpโ€˜๐‘Œ)
4 pwsexpg.t . . . 4 ๐‘‡ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
5 pwsexpg.r . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
6 pwsexpg.i . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
7 pwsexpg.a . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ผ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7pwspjmhmmgpd 20051 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด)) โˆˆ (๐‘€ MndHom ๐‘‡))
9 pwsexpg.n . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
10 pwsexpg.x . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
113, 2mgpbas 19910 . . . 4 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘€)
12 pwsexpg.s . . . 4 โˆ™ = (.gโ€˜๐‘€)
13 pwsexpg.g . . . 4 ยท = (.gโ€˜๐‘‡)
1411, 12, 13mhmmulg 18925 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด)) โˆˆ (๐‘€ MndHom ๐‘‡) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜(๐‘ โˆ™ ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜๐‘‹)))
158, 9, 10, 14syl3anc 1372 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜(๐‘ โˆ™ ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜๐‘‹)))
161pwsring 20047 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
175, 6, 16syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
183ringmgp 19978 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘€ โˆˆ Mnd)
1917, 18syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ Mnd)
2011, 12, 19, 9, 10mulgnn0cld 18905 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ โˆ™ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
21 fveq1 6845 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘ โˆ™ ๐‘‹) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐ด) = ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ด))
22 eqid 2733 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))
23 fvex 6859 . . . 4 ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ด) โˆˆ V
2421, 22, 23fvmpt 6952 . . 3 ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜(๐‘ โˆ™ ๐‘‹)) = ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ด))
2520, 24syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜(๐‘ โˆ™ ๐‘‹)) = ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ด))
26 fveq1 6845 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘‹ โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐ด) = (๐‘‹โ€˜๐ด))
27 fvex 6859 . . . . 5 (๐‘‹โ€˜๐ด) โˆˆ V
2826, 22, 27fvmpt 6952 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹โ€˜๐ด))
2910, 28syl 17 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜๐‘‹) = (๐‘‹โ€˜๐ด))
3029oveq2d 7377 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐ด))โ€˜๐‘‹)) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ€˜๐ด)))
3115, 25, 303eqtr3d 2781 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ โˆ™ ๐‘‹)โ€˜๐ด) = (๐‘ ยท (๐‘‹โ€˜๐ด)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5192  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  โ„•0cn0 12421  Basecbs 17091   โ†‘s cpws 17336  Mndcmnd 18564   MndHom cmhm 18607  .gcmg 18880  mulGrpcmgp 19904  Ringcrg 19972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-mulg 18881  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974
This theorem is referenced by:  evls1expd  32325  evlsbagval  40795  evlsexpval  40796
  Copyright terms: Public domain W3C validator