Theorem pwsexpg 20141

Description: Value of a group exponentiation in a structure power. Compare pwsmulg 18998. (Contributed by SN, 30-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsexpg.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsexpg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsexpg.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
pwsexpg.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
pwsexpg.s	⊢ ∙ = (.g‘𝑀)
pwsexpg.g	⊢ · = (.g‘𝑇)
pwsexpg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
pwsexpg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsexpg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
pwsexpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
pwsexpg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsexpg	⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋‘𝐴)))

Proof of Theorem pwsexpg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsexpg.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		pwsexpg.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		pwsexpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑌)
4		pwsexpg.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑅)
5		pwsexpg.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		pwsexpg.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		pwsexpg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	pwspjmhmmgpd 20140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇))
9		pwsexpg.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
10		pwsexpg.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	3, 2	mgpbas 19992	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
12		pwsexpg.s	. . . 4 ⊢ ∙ = (.g‘𝑀)
13		pwsexpg.g	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝑇)
14	11, 12, 13	mhmmulg 18994	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑀 MndHom 𝑇) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋)))
15	8, 9, 10, 14	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = (𝑁 · ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋)))
16	1	pwsring 20136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Ring)
17	5, 6, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ Ring)
18	3	ringmgp 20061	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
19	17, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Mnd)
20	11, 12, 19, 9, 10	mulgnn0cld 18974	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵)
21		fveq1 6890	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑁 ∙ 𝑋) → (𝑥‘𝐴) = ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴))
22		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))
23		fvex 6904	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴) ∈ V
24	21, 22, 23	fvmpt 6998	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∙ 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴))
25	20, 24	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘(𝑁 ∙ 𝑋)) = ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴))
26		fveq1 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥‘𝐴) = (𝑋‘𝐴))
27		fvex 6904	. . . . 5 ⊢ (𝑋‘𝐴) ∈ V
28	26, 22, 27	fvmpt 6998	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋) = (𝑋‘𝐴))
29	10, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋) = (𝑋‘𝐴))
30	29	oveq2d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴))‘𝑋)) = (𝑁 · (𝑋‘𝐴)))
31	15, 25, 30	3eqtr3d 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∙ 𝑋)‘𝐴) = (𝑁 · (𝑋‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℕ₀cn0 12471  Basecbs 17143   ↑_s cpws 17391  Mndcmnd 18624   MndHom cmhm 18668  ._gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  Ringcrg 20055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057

This theorem is referenced by:  evls1expd  32639  evlsvvval  41137  evlsexpval  41141