MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  midf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem midf 28810
Description: Midpoint as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ismid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d = (dist‘𝐺)
ismid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midf (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Proof of Theorem midf
Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ismid.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 ismid.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
3 ismid.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5 ismid.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
8 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑎𝑃)
9 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝑏𝑃)
10 ismid.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
121, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11mideu 28772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑃𝑏𝑃)) → ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
1312ralrimivva 3202 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
14 riotacl 7412 . . . . 5 (∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
15142ralimi 3123 . . . 4 (∀𝑎𝑃𝑏𝑃 ∃!𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
1613, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
17 eqid 2737 . . . 4 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
1817fmpo 8101 . . 3 (∀𝑎𝑃𝑏𝑃 (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃 ↔ (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
1916, 18sylib 218 . 2 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
20 df-mid 28808 . . . 4 midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
21 fveq2 6914 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
2221, 1eqtr4di 2795 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
23 fveq2 6914 . . . . . . . . 9 (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
2423fveq1d 6916 . . . . . . . 8 (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚))
2524fveq1d 6916 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
2625eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
2722, 26riotaeqbidv 7398 . . . . 5 (𝑔 = 𝐺 → (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
2822, 22, 27mpoeq123dv 7515 . . . 4 (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
295elexd 3505 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
301fvexi 6928 . . . . . 6 𝑃 ∈ V
3130, 30mpoex 8112 . . . . 5 (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
3231a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
3320, 28, 29, 32fvmptd3 7046 . . 3 (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
3433feq1d 6728 . 2 (𝜑 → ((midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃 ↔ (𝑎𝑃, 𝑏𝑃 ↦ (𝑚𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃))
3519, 34mpbird 257 1 (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  wral 3061  ∃!wreu 3378  Vcvv 3481   class class class wbr 5151   × cxp 5691  wf 6565  cfv 6569  crio 7394  cmpo 7440  2c2 12328  Basecbs 17254  distcds 17316  TarskiGcstrkg 28461  DimTarskiGcstrkgld 28465  Itvcitv 28467  LineGclng 28468  pInvGcmir 28686  midGcmid 28806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5288  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-tp 4639  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8753  df-map 8876  df-pm 8877  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-dju 9948  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-3 12337  df-n0 12534  df-xnn0 12607  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-fzo 13701  df-hash 14376  df-word 14559  df-concat 14615  df-s1 14640  df-s2 14893  df-s3 14894  df-trkgc 28482  df-trkgb 28483  df-trkgcb 28484  df-trkgld 28486  df-trkg 28487  df-cgrg 28545  df-leg 28617  df-mir 28687  df-rag 28728  df-perpg 28730  df-mid 28808
This theorem is referenced by:  midcl  28811
  Copyright terms: Public domain W3C validator