Theorem midf 28652

Description: Midpoint as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
midf	⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Proof of Theorem midf

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
8		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
9		simprr 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
10		ismid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
11	10	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11	mideu 28614	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
13	12	ralrimivva 3190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
14		riotacl 7393	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
15	14	2ralimi 3112	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
17		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
18	17	fmpo 8073	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃 ↔ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
19	16, 18	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
20		df-mid 28650	. . . 4 ⊢ midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
21		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
22	21, 1	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
23		fveq2 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
24	23	fveq1d 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚))
25	24	fveq1d 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
26	25	eqeq2d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
27	22, 26	riotaeqbidv 7378	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
28	22, 22, 27	mpoeq123dv 7495	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
29	5	elexd 3483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
30	1	fvexi 6910	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
31	30, 30	mpoex 8084	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
33	20, 28, 29, 32	fvmptd3 7027	. . 3 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
34	33	feq1d 6708	. 2 ⊢ (𝜑 → ((midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃 ↔ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃))
35	19, 34	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050  ∃!wreu 3361  Vcvv 3461   class class class wbr 5149   × cxp 5676  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  ℩crio 7374   ∈ cmpo 7421  2c2 12300  Basecbs 17183  distcds 17245  TarskiGcstrkg 28303  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28307  Itvcitv 28309  LineGclng 28310  pInvGcmir 28528  midGcmid 28648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-trkgc 28324  df-trkgb 28325  df-trkgcb 28326  df-trkgld 28328  df-trkg 28329  df-cgrg 28387  df-leg 28459  df-mir 28529  df-rag 28570  df-perpg 28572  df-mid 28650

This theorem is referenced by:  midcl  28653