Theorem midf 26124

Description: Midpoint as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
midf	⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Proof of Theorem midf

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
8		simprl 761	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
9		simprr 763	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
10		ismid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
11	10	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11	mideu 26086	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
13	12	ralrimivva 3153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
14		riotacl 6897	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
15	14	2ralimi 3135	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
16	13, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
17		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
18	17	fmpt2 7517	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃 ↔ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
19	16, 18	sylib 210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
20		df-mid 26122	. . . 4 ⊢ midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
21		fveq2 6446	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
22	21, 1	syl6eqr 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
23		fveq2 6446	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
24	23	fveq1d 6448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚))
25	24	fveq1d 6448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
26	25	eqeq2d 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
27	22, 26	riotaeqbidv 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
28	22, 22, 27	mpt2eq123dv 6994	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
29		elex 3414	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐺 ∈ V)
30	5, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
31	1	fvexi 6460	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
32	31, 31	mpt2ex 7527	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
34	20, 28, 30, 33	fvmptd3 6564	. . 3 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
35	34	feq1d 6276	. 2 ⊢ (𝜑 → ((midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃 ↔ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃))
36	19, 35	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃!wreu 3092  Vcvv 3398   class class class wbr 4886   × cxp 5353  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  ℩crio 6882   ↦ cmpt2 6924  2c2 11430  Basecbs 16255  distcds 16347  TarskiGcstrkg 25781  Dim_TarskiG≥cstrkgld 25785  Itvcitv 25787  LineGclng 25788  pInvGcmir 26003  midGcmid 26120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-concat 13661  df-s1 13686  df-s2 13999  df-s3 14000  df-trkgc 25799  df-trkgb 25800  df-trkgcb 25801  df-trkgld 25803  df-trkg 25804  df-cgrg 25862  df-leg 25934  df-mir 26004  df-rag 26045  df-perpg 26047  df-mid 26122

This theorem is referenced by:  midcl  26125