Theorem midf 29063

Description: Midpoint as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ismid.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
ismid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ismid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
ismid.1	⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)

Assertion

Ref	Expression
midf	⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Proof of Theorem midf

Dummy variables 𝑚 𝑎 𝑏 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ismid.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		ismid.d	. . . . . 6 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		ismid.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
5		ismid.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
8		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑎 ∈ 𝑃)
9		simprr 784	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝑏 ∈ 𝑃)
10		ismid.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺DimTarskiG≥2)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
12	1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11	mideu 28997	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)) → ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
13	12	ralrimivva 3208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
14		riotacl 7386	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
15	14	2ralimi 3135	. . . 4 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 ∃!𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎) → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
16	13, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃)
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
18	17	fmpo 8066	. . 3 ⊢ (∀𝑎 ∈ 𝑃 ∀𝑏 ∈ 𝑃 (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)) ∈ 𝑃 ↔ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
19	16, 18	sylib 221	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)
20		df-mid 29061	. . . 4 ⊢ midG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))))
21		fveq2 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
22	21, 1	eqtr4di 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
23		fveq2 6883	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (pInvG‘𝑔) = (pInvG‘𝐺))
24	23	fveq1d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((pInvG‘𝑔)‘𝑚) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑚))
25	24	fveq1d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))
26	25	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎) ↔ 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
27	22, 26	riotaeqbidv 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎)) = (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎)))
28	22, 22, 27	mpoeq123dv 7487	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔), 𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↦ (℩𝑚 ∈ (Base‘𝑔)𝑏 = (((pInvG‘𝑔)‘𝑚)‘𝑎))) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
29	5	elexd 3478	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
30	1	fvexi 6897	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 ∈ V
31	30, 30	mpoex 8077	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))) ∈ V)
33	20, 28, 29, 32	fvmptd3 7015	. . 3 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺) = (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))))
34	33	feq1d 6689	. 2 ⊢ (𝜑 → ((midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃 ↔ (𝑎 ∈ 𝑃, 𝑏 ∈ 𝑃 ↦ (℩𝑚 ∈ 𝑃 𝑏 = (((pInvG‘𝐺)‘𝑚)‘𝑎))):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃))
35	19, 34	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (midG‘𝐺):(𝑃 × 𝑃)⟶𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃!wreu 3367  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   × cxp 5661  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  ℩crio 7368   ∈ cmpo 7414  2c2 12296  Basecbs 17270  distcds 17320  TarskiGcstrkg 28674  Dim_TarskiG≥cstrkgld 28678  Itvcitv 28680  LineGclng 28681  pInvGcmir 28907  midGcmid 29059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-dju 9888  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-s1 14636  df-s2 14887  df-s3 14888  df-trkgc 28695  df-trkgb 28696  df-trkgcb 28697  df-trkgld 28699  df-trkg 28700  df-cgrg 28758  df-leg 28830  df-mir 28908  df-rag 28952  df-perpg 28954  df-mid 29061

This theorem is referenced by:  midcl  29064