Theorem pire 26388

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26385	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13270	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  2c2 12175  4c4 12177  (,)cioo 13240  sincsin 15965  πcpi 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790

This theorem is referenced by:  picn  26389  pipos  26390  pine0  26391  pirp  26392  sinhalfpilem  26394  halfpire  26395  sincosq1lem  26428  sincosq2sgn  26430  sincosq3sgn  26431  sincosq4sgn  26432  coseq00topi  26433  coseq0negpitopi  26434  tangtx  26436  sinq12gt0  26438  sinq12ge0  26439  sinq34lt0t  26440  cosq14gt0  26441  cosq14ge0  26442  sincos4thpi  26444  tan4thpiOLD  26446  sincos6thpi  26447  pigt3  26449  pige3  26450  pige3ALT  26451  coskpi  26454  sineq0  26455  coseq1  26456  cos02pilt1  26457  cosq34lt1  26458  efeq1  26459  cosne0  26460  cosordlem  26461  cosord  26462  cos0pilt1  26463  cos11  26464  sinord  26465  recosf1o  26466  resinf1o  26467  tanord1  26468  negpitopissre  26471  efif1olem1  26473  efif1olem2  26474  efif1olem4  26476  efif1o  26477  efifo  26478  eff1o  26480  ellogrn  26490  relogrn  26492  logimclad  26503  abslogimle  26504  logi  26518  logneg  26519  lognegb  26521  eflogeq  26533  logcj  26537  argregt0  26541  argrege0  26542  argimgt0  26543  argimlt0  26544  logimul  26545  logneg2  26546  abslogle  26549  logcnlem3  26575  dvloglem  26579  logf1o2  26581  efopnlem1  26587  efopnlem2  26588  cxpsqrtlem  26633  abscxpbnd  26685  root1eq1  26687  logreclem  26694  ang180lem1  26741  ang180lem2  26742  ang180lem3  26743  ang180lem4  26744  isosctrlem1  26750  1cubrlem  26773  asinneg  26818  asinsin  26824  asin1  26826  acosbnd  26832  atanlogaddlem  26845  atanlogsublem  26847  atanlogsub  26848  atantan  26855  atanbndlem  26857  atan1  26860  o1cxp  26907  lgamgulmlem4  26964  lgamgulmlem5  26965  lgamgulmlem6  26966  lgambdd  26969  basellem1  27013  basellem4  27016  basellem8  27020  basellem9  27021  cos9thpinconstrlem1  33794  circum  35710  bj-pinftyccb  37255  bj-minftyccb  37259  bj-pinftynminfty  37261  taupi  37357  sin2h  37650  cos2h  37651  tan2h  37652  asin1half  42390  acos1half  42391  proot1ex  43229  isosctrlem1ALT  44966  sineq0ALT  44969  negpilt0  45322  coseq0  45902  sinaover2ne0  45906  itgsin0pilem1  45988  itgsinexplem1  45992  itgsinexp  45993  wallispilem1  46103  wallispilem2  46104  wallispi  46108  stirlinglem15  46126  stirlingr  46128  dirker2re  46130  dirkerval2  46132  dirkerre  46133  dirkerper  46134  dirkertrigeqlem2  46137  dirkertrigeqlem3  46138  dirkertrigeq  46139  dirkeritg  46140  dirkercncflem1  46141  dirkercncflem2  46142  dirkercncflem4  46144  fourierdlem5  46150  fourierdlem9  46154  fourierdlem16  46161  fourierdlem18  46163  fourierdlem21  46166  fourierdlem22  46167  fourierdlem24  46169  fourierdlem38  46183  fourierdlem40  46185  fourierdlem43  46188  fourierdlem44  46189  fourierdlem46  46190  fourierdlem50  46194  fourierdlem58  46202  fourierdlem62  46206  fourierdlem66  46210  fourierdlem72  46216  fourierdlem74  46218  fourierdlem75  46219  fourierdlem76  46220  fourierdlem77  46221  fourierdlem78  46222  fourierdlem83  46227  fourierdlem85  46229  fourierdlem87  46231  fourierdlem88  46232  fourierdlem93  46237  fourierdlem94  46238  fourierdlem95  46239  fourierdlem101  46245  fourierdlem102  46246  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  fourierdlem111  46255  fourierdlem112  46256  fourierdlem113  46257  fourierdlem114  46258  sqwvfoura  46266  sqwvfourb  46267  fourierswlem  46268  fouriersw  46269  fouriercn  46270