Theorem pire 26619

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26616	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 488	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13397	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  2c2 12290  4c4 12292  (,)cioo 13367  sincsin 16112  πcpi 16115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173  ax-addf 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-sin 16118  df-cos 16119  df-pi 16121  df-struct 17202  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-starv 17320  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-unif 17328  df-hom 17329  df-cco 17330  df-rest 17470  df-topn 17471  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-topgen 17491  df-pt 17492  df-prds 17495  df-xrs 17551  df-qtop 17556  df-imas 17557  df-xps 17559  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-mulg 19129  df-cntz 19382  df-cmn 19847  df-psmet 21514  df-xmet 21515  df-met 21516  df-bl 21517  df-mopn 21518  df-fbas 21519  df-fg 21520  df-cnfld 21523  df-top 23051  df-topon 23068  df-topsp 23090  df-bases 23103  df-cld 23176  df-ntr 23177  df-cls 23178  df-nei 23255  df-lp 23293  df-perf 23294  df-cn 23384  df-cnp 23385  df-haus 23472  df-tx 23719  df-hmeo 23912  df-fil 24003  df-fm 24095  df-flim 24096  df-flf 24097  df-xms 24477  df-ms 24478  df-tms 24479  df-cncf 25037  df-limc 26025  df-dv 26026

This theorem is referenced by:  2pire  26620  picn  26621  pipos  26623  pige0  26624  pine0  26625  pirp  26626  sinhalfpilem  26628  halfpire  26629  sincosq1lem  26662  sincosq2sgn  26664  sincosq3sgn  26665  sincosq4sgn  26666  coseq00topi  26667  coseq0negpitopi  26668  tangtx  26670  sinq12gt0  26672  sinq12ge0  26673  sinq34lt0t  26674  cosq14gt0  26675  cosq14ge0  26676  sincos4thpi  26678  tan4thpiOLD  26680  sincos6thpi  26681  pigt3  26683  pige3  26684  pige3ALT  26685  coskpi  26688  sineq0  26689  coseq1  26690  cos02pilt1  26691  cosq34lt1  26692  efeq1  26693  cosne0  26694  cosordlem  26695  cosord  26696  cos0pilt1  26697  cos11  26698  sinord  26699  recosf1o  26700  resinf1o  26701  tanord1  26702  negpitopissre  26705  efif1olem1  26707  efif1olem2  26708  efif1olem4  26710  efif1o  26711  efifo  26712  eff1o  26714  ellogrn  26724  relogrn  26726  logimclad  26737  abslogimle  26738  logi  26752  logneg  26753  lognegb  26755  eflogeq  26767  logcj  26771  argregt0  26775  argrege0  26776  argimgt0  26777  argimlt0  26778  logimul  26779  logneg2  26780  abslogle  26783  logcnlem3  26809  dvloglem  26813  logf1o2  26815  efopnlem1  26821  efopnlem2  26822  cxpsqrtlem  26867  abscxpbnd  26918  root1eq1  26920  logreclem  26927  ang180lem1  26974  ang180lem2  26975  ang180lem3  26976  ang180lem4  26977  isosctrlem1  26983  1cubrlem  27006  asinneg  27051  asinsin  27057  asin1  27059  acosbnd  27065  atanlogaddlem  27078  atanlogsublem  27080  atanlogsub  27081  atantan  27088  atanbndlem  27090  atan1  27093  o1cxp  27139  lgamgulmlem4  27196  lgamgulmlem5  27197  lgamgulmlem6  27198  lgambdd  27201  basellem1  27245  basellem4  27248  basellem8  27252  basellem9  27253  cos9thpinconstrlem1  34179  circum  36166  bj-pinftyccb  37865  bj-minftyccb  37869  bj-pinftynminfty  37871  taupi  37967  sin2h  38261  cos2h  38262  tan2h  38263  asin1half  43118  acos1half  43119  proot1ex  43923  isosctrlem1ALT  45642  sineq0ALT  45645  negpilt0  46000  coseq0  46578  sinaover2ne0  46582  itgsin0pilem1  46664  itgsinexplem1  46668  itgsinexp  46669  wallispilem1  46779  wallispilem2  46780  wallispi  46784  stirlinglem15  46802  stirlingr  46804  dirker2re  46806  dirkerval2  46808  dirkerre  46809  dirkertrigeqlem2  46813  dirkertrigeqlem3  46814  dirkertrigeq  46815  dirkeritg  46816  dirkercncflem1  46817  dirkercncflem4  46820  fourierdlem5  46826  fourierdlem9  46830  fourierdlem16  46837  fourierdlem18  46839  fourierdlem21  46842  fourierdlem22  46843  fourierdlem24  46845  fourierdlem38  46859  fourierdlem40  46861  fourierdlem43  46864  fourierdlem44  46865  fourierdlem46  46866  fourierdlem50  46870  fourierdlem58  46878  fourierdlem62  46882  fourierdlem66  46886  fourierdlem72  46892  fourierdlem74  46894  fourierdlem75  46895  fourierdlem76  46896  fourierdlem77  46897  fourierdlem78  46898  fourierdlem83  46903  fourierdlem85  46905  fourierdlem87  46907  fourierdlem88  46908  fourierdlem93  46913  fourierdlem94  46914  fourierdlem95  46915  fourierdlem101  46921  fourierdlem102  46922  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem111  46931  fourierdlem112  46932  fourierdlem113  46933  fourierdlem114  46934  sqwvfoura  46942  sqwvfourb  46943  fourierswlem  46944  fouriersw  46945  fouriercn  46946  goldrarr  47618  goldrapos  47620