Theorem pire 25043

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 25040	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 486	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 12767	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℝcr 10535  0cc0 10536  2c2 11691  4c4 11693  (,)cioo 12737  sincsin 15416  πcpi 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464

This theorem is referenced by:  picn  25044  pipos  25045  pirp  25046  sinhalfpilem  25048  halfpire  25049  sincosq1lem  25082  sincosq2sgn  25084  sincosq3sgn  25085  sincosq4sgn  25086  coseq00topi  25087  coseq0negpitopi  25088  tangtx  25090  sinq12gt0  25092  sinq12ge0  25093  sinq34lt0t  25094  cosq14gt0  25095  cosq14ge0  25096  sincos4thpi  25098  tan4thpi  25099  sincos6thpi  25100  pigt3  25102  pige3  25103  pige3ALT  25104  coskpi  25107  sineq0  25108  coseq1  25109  cos02pilt1  25110  cosq34lt1  25111  efeq1  25112  cosne0  25113  cosordlem  25114  cosord  25115  cos11  25116  sinord  25117  recosf1o  25118  resinf1o  25119  tanord1  25120  negpitopissre  25123  efif1olem1  25125  efif1olem2  25126  efif1olem4  25128  efif1o  25129  efifo  25130  eff1o  25132  ellogrn  25142  relogrn  25144  logimclad  25155  abslogimle  25156  logneg  25170  lognegb  25172  eflogeq  25184  logcj  25188  argregt0  25192  argrege0  25193  argimgt0  25194  argimlt0  25195  logimul  25196  logneg2  25197  abslogle  25200  logcnlem3  25226  dvloglem  25230  logf1o2  25232  efopnlem1  25238  efopnlem2  25239  cxpsqrtlem  25284  abscxpbnd  25333  root1eq1  25335  logreclem  25339  ang180lem1  25386  ang180lem2  25387  ang180lem3  25388  ang180lem4  25389  isosctrlem1  25395  1cubrlem  25418  asinneg  25463  asinsin  25469  asin1  25471  acosbnd  25477  atanlogaddlem  25490  atanlogsublem  25492  atanlogsub  25493  atantan  25500  atanbndlem  25502  atan1  25505  o1cxp  25551  lgamgulmlem4  25608  lgamgulmlem5  25609  lgamgulmlem6  25610  lgambdd  25613  basellem1  25657  basellem4  25660  basellem8  25664  basellem9  25665  circum  32917  logi  32966  bj-pinftyccb  34502  bj-minftyccb  34506  bj-pinftynminfty  34508  taupi  34603  sin2h  34881  cos2h  34882  tan2h  34883  proot1ex  39799  isosctrlem1ALT  41266  sineq0ALT  41269  negpilt0  41544  coseq0  42143  sinaover2ne0  42147  itgsin0pilem1  42233  itgsinexplem1  42237  itgsinexp  42238  wallispilem1  42349  wallispilem2  42350  wallispi  42354  stirlinglem15  42372  stirlingr  42374  dirker2re  42376  dirkerval2  42378  dirkerre  42379  dirkerper  42380  dirkertrigeqlem2  42383  dirkertrigeqlem3  42384  dirkertrigeq  42385  dirkeritg  42386  dirkercncflem1  42387  dirkercncflem2  42388  dirkercncflem4  42390  fourierdlem5  42396  fourierdlem9  42400  fourierdlem16  42407  fourierdlem18  42409  fourierdlem21  42412  fourierdlem22  42413  fourierdlem24  42415  fourierdlem38  42429  fourierdlem40  42431  fourierdlem43  42434  fourierdlem44  42435  fourierdlem46  42436  fourierdlem50  42440  fourierdlem58  42448  fourierdlem62  42452  fourierdlem66  42456  fourierdlem72  42462  fourierdlem74  42464  fourierdlem75  42465  fourierdlem76  42466  fourierdlem77  42467  fourierdlem78  42468  fourierdlem83  42473  fourierdlem85  42475  fourierdlem87  42477  fourierdlem88  42478  fourierdlem93  42483  fourierdlem94  42484  fourierdlem95  42485  fourierdlem101  42491  fourierdlem102  42492  fourierdlem103  42493  fourierdlem104  42494  fourierdlem111  42501  fourierdlem112  42502  fourierdlem113  42503  fourierdlem114  42504  sqwvfoura  42512  sqwvfourb  42513  fourierswlem  42514  fouriersw  42515  fouriercn  42516