Theorem pire 25520

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 25517	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13038	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  2c2 11958  4c4 11960  (,)cioo 13008  sincsin 15701  πcpi 15704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  picn  25521  pipos  25522  pirp  25523  sinhalfpilem  25525  halfpire  25526  sincosq1lem  25559  sincosq2sgn  25561  sincosq3sgn  25562  sincosq4sgn  25563  coseq00topi  25564  coseq0negpitopi  25565  tangtx  25567  sinq12gt0  25569  sinq12ge0  25570  sinq34lt0t  25571  cosq14gt0  25572  cosq14ge0  25573  sincos4thpi  25575  tan4thpi  25576  sincos6thpi  25577  pigt3  25579  pige3  25580  pige3ALT  25581  coskpi  25584  sineq0  25585  coseq1  25586  cos02pilt1  25587  cosq34lt1  25588  efeq1  25589  cosne0  25590  cosordlem  25591  cosord  25592  cos0pilt1  25593  cos11  25594  sinord  25595  recosf1o  25596  resinf1o  25597  tanord1  25598  negpitopissre  25601  efif1olem1  25603  efif1olem2  25604  efif1olem4  25606  efif1o  25607  efifo  25608  eff1o  25610  ellogrn  25620  relogrn  25622  logimclad  25633  abslogimle  25634  logneg  25648  lognegb  25650  eflogeq  25662  logcj  25666  argregt0  25670  argrege0  25671  argimgt0  25672  argimlt0  25673  logimul  25674  logneg2  25675  abslogle  25678  logcnlem3  25704  dvloglem  25708  logf1o2  25710  efopnlem1  25716  efopnlem2  25717  cxpsqrtlem  25762  abscxpbnd  25811  root1eq1  25813  logreclem  25817  ang180lem1  25864  ang180lem2  25865  ang180lem3  25866  ang180lem4  25867  isosctrlem1  25873  1cubrlem  25896  asinneg  25941  asinsin  25947  asin1  25949  acosbnd  25955  atanlogaddlem  25968  atanlogsublem  25970  atanlogsub  25971  atantan  25978  atanbndlem  25980  atan1  25983  o1cxp  26029  lgamgulmlem4  26086  lgamgulmlem5  26087  lgamgulmlem6  26088  lgambdd  26091  basellem1  26135  basellem4  26138  basellem8  26142  basellem9  26143  circum  33532  logi  33606  bj-pinftyccb  35319  bj-minftyccb  35323  bj-pinftynminfty  35325  taupi  35421  sin2h  35694  cos2h  35695  tan2h  35696  acos1half  40098  proot1ex  40942  isosctrlem1ALT  42443  sineq0ALT  42446  negpilt0  42708  coseq0  43295  sinaover2ne0  43299  itgsin0pilem1  43381  itgsinexplem1  43385  itgsinexp  43386  wallispilem1  43496  wallispilem2  43497  wallispi  43501  stirlinglem15  43519  stirlingr  43521  dirker2re  43523  dirkerval2  43525  dirkerre  43526  dirkerper  43527  dirkertrigeqlem2  43530  dirkertrigeqlem3  43531  dirkertrigeq  43532  dirkeritg  43533  dirkercncflem1  43534  dirkercncflem2  43535  dirkercncflem4  43537  fourierdlem5  43543  fourierdlem9  43547  fourierdlem16  43554  fourierdlem18  43556  fourierdlem21  43559  fourierdlem22  43560  fourierdlem24  43562  fourierdlem38  43576  fourierdlem40  43578  fourierdlem43  43581  fourierdlem44  43582  fourierdlem46  43583  fourierdlem50  43587  fourierdlem58  43595  fourierdlem62  43599  fourierdlem66  43603  fourierdlem72  43609  fourierdlem74  43611  fourierdlem75  43612  fourierdlem76  43613  fourierdlem77  43614  fourierdlem78  43615  fourierdlem83  43620  fourierdlem85  43622  fourierdlem87  43624  fourierdlem88  43625  fourierdlem93  43630  fourierdlem94  43631  fourierdlem95  43632  fourierdlem101  43638  fourierdlem102  43639  fourierdlem103  43640  fourierdlem104  43641  fourierdlem111  43648  fourierdlem112  43649  fourierdlem113  43650  fourierdlem114  43651  sqwvfoura  43659  sqwvfourb  43660  fourierswlem  43661  fouriersw  43662  fouriercn  43663