Theorem pire 26650

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26647	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 489	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13414	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℝcr 11110  0cc0 11111  2c2 12306  4c4 12308  (,)cioo 13384  sincsin 16135  πcpi 16138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057

This theorem is used by:  2pire  26651  picn  26652  pipos  26654  pige0  26655  pine0  26656  pirp  26657  sinhalfpilem  26659  halfpire  26660  sincosq1lem  26693  sincosq2sgn  26695  sincosq3sgn  26696  sincosq4sgn  26697  coseq00topi  26698  coseq0negpitopi  26699  tangtx  26701  sinq12gt0  26703  sinq12ge0  26704  sinq34lt0t  26705  cosq14gt0  26706  cosq14ge0  26707  sincos4thpi  26709  tan4thpiOLD  26711  sincos6thpi  26712  pigt3  26714  pige3  26715  pige3ALT  26716  coskpi  26719  sineq0  26720  coseq1  26721  cos02pilt1  26722  cosq34lt1  26723  efeq1  26724  cosne0  26725  cosordlem  26726  cosord  26727  cos0pilt1  26728  cos11  26729  sinord  26730  recosf1o  26731  resinf1o  26732  tanord1  26733  negpitopissre  26736  efif1olem1  26738  efif1olem2  26739  efif1olem4  26741  efif1o  26742  efifo  26743  eff1o  26745  ellogrn  26755  relogrn  26757  logimclad  26768  abslogimle  26769  logi  26783  logneg  26784  lognegb  26786  eflogeq  26798  logcj  26802  argregt0  26806  argrege0  26807  argimgt0  26808  argimlt0  26809  logimul  26810  logneg2  26811  abslogle  26814  logcnlem3  26840  dvloglem  26844  logf1o2  26846  efopnlem1  26852  efopnlem2  26853  cxpsqrtlem  26898  abscxpbnd  26949  root1eq1  26951  logreclem  26958  ang180lem1  27005  ang180lem2  27006  ang180lem3  27007  ang180lem4  27008  isosctrlem1  27014  1cubrlem  27037  asinneg  27082  asinsin  27088  asin1  27090  acosbnd  27096  atanlogaddlem  27109  atanlogsublem  27111  atanlogsub  27112  atantan  27119  atanbndlem  27121  atan1  27124  o1cxp  27170  lgamgulmlem4  27227  lgamgulmlem5  27228  lgamgulmlem6  27229  lgambdd  27232  basellem1  27276  basellem4  27279  basellem8  27283  basellem9  27284  cos9thpinconstrlem1  34219  circum  36179  bj-pinftyccb  37898  bj-minftyccb  37902  bj-pinftynminfty  37904  taupi  38000  sin2h  38294  cos2h  38295  tan2h  38296  asin1half  43151  acos1half  43152  proot1ex  43956  isosctrlem1ALT  45675  sineq0ALT  45678  negpilt0  46033  coseq0  46611  sinaover2ne0  46615  itgsin0pilem1  46697  itgsinexplem1  46701  itgsinexp  46702  wallispilem1  46812  wallispilem2  46813  wallispi  46817  stirlinglem15  46835  stirlingr  46837  dirker2re  46839  dirkerval2  46841  dirkerre  46842  dirkertrigeqlem2  46846  dirkertrigeqlem3  46847  dirkertrigeq  46848  dirkeritg  46849  dirkercncflem1  46850  dirkercncflem4  46853  fourierdlem5  46859  fourierdlem9  46863  fourierdlem16  46870  fourierdlem18  46872  fourierdlem21  46875  fourierdlem22  46876  fourierdlem24  46878  fourierdlem38  46892  fourierdlem40  46894  fourierdlem43  46897  fourierdlem44  46898  fourierdlem46  46899  fourierdlem50  46903  fourierdlem58  46911  fourierdlem62  46915  fourierdlem66  46919  fourierdlem72  46925  fourierdlem74  46927  fourierdlem75  46928  fourierdlem76  46929  fourierdlem77  46930  fourierdlem78  46931  fourierdlem83  46936  fourierdlem85  46938  fourierdlem87  46940  fourierdlem88  46941  fourierdlem93  46946  fourierdlem94  46947  fourierdlem95  46948  fourierdlem101  46954  fourierdlem102  46955  fourierdlem103  46956  fourierdlem104  46957  fourierdlem111  46964  fourierdlem112  46965  fourierdlem113  46966  fourierdlem114  46967  sqwvfoura  46975  sqwvfourb  46976  fourierswlem  46977  fouriersw  46978  fouriercn  46979  goldrarr  47651  goldrapos  47653