Theorem pire 26364

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26361	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13278	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  2c2 12183  4c4 12185  (,)cioo 13248  sincsin 15970  πcpi 15973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-haus 23200  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-limc 25765  df-dv 25766

This theorem is referenced by:  picn  26365  pipos  26366  pine0  26367  pirp  26368  sinhalfpilem  26370  halfpire  26371  sincosq1lem  26404  sincosq2sgn  26406  sincosq3sgn  26407  sincosq4sgn  26408  coseq00topi  26409  coseq0negpitopi  26410  tangtx  26412  sinq12gt0  26414  sinq12ge0  26415  sinq34lt0t  26416  cosq14gt0  26417  cosq14ge0  26418  sincos4thpi  26420  tan4thpiOLD  26422  sincos6thpi  26423  pigt3  26425  pige3  26426  pige3ALT  26427  coskpi  26430  sineq0  26431  coseq1  26432  cos02pilt1  26433  cosq34lt1  26434  efeq1  26435  cosne0  26436  cosordlem  26437  cosord  26438  cos0pilt1  26439  cos11  26440  sinord  26441  recosf1o  26442  resinf1o  26443  tanord1  26444  negpitopissre  26447  efif1olem1  26449  efif1olem2  26450  efif1olem4  26452  efif1o  26453  efifo  26454  eff1o  26456  ellogrn  26466  relogrn  26468  logimclad  26479  abslogimle  26480  logi  26494  logneg  26495  lognegb  26497  eflogeq  26509  logcj  26513  argregt0  26517  argrege0  26518  argimgt0  26519  argimlt0  26520  logimul  26521  logneg2  26522  abslogle  26525  logcnlem3  26551  dvloglem  26555  logf1o2  26557  efopnlem1  26563  efopnlem2  26564  cxpsqrtlem  26609  abscxpbnd  26661  root1eq1  26663  logreclem  26670  ang180lem1  26717  ang180lem2  26718  ang180lem3  26719  ang180lem4  26720  isosctrlem1  26726  1cubrlem  26749  asinneg  26794  asinsin  26800  asin1  26802  acosbnd  26808  atanlogaddlem  26821  atanlogsublem  26823  atanlogsub  26824  atantan  26831  atanbndlem  26833  atan1  26836  o1cxp  26883  lgamgulmlem4  26940  lgamgulmlem5  26941  lgamgulmlem6  26942  lgambdd  26945  basellem1  26989  basellem4  26992  basellem8  26996  basellem9  26997  cos9thpinconstrlem1  33756  circum  35647  bj-pinftyccb  37195  bj-minftyccb  37199  bj-pinftynminfty  37201  taupi  37297  sin2h  37590  cos2h  37591  tan2h  37592  asin1half  42330  acos1half  42331  proot1ex  43169  isosctrlem1ALT  44907  sineq0ALT  44910  negpilt0  45263  coseq0  45845  sinaover2ne0  45849  itgsin0pilem1  45931  itgsinexplem1  45935  itgsinexp  45936  wallispilem1  46046  wallispilem2  46047  wallispi  46051  stirlinglem15  46069  stirlingr  46071  dirker2re  46073  dirkerval2  46075  dirkerre  46076  dirkerper  46077  dirkertrigeqlem2  46080  dirkertrigeqlem3  46081  dirkertrigeq  46082  dirkeritg  46083  dirkercncflem1  46084  dirkercncflem2  46085  dirkercncflem4  46087  fourierdlem5  46093  fourierdlem9  46097  fourierdlem16  46104  fourierdlem18  46106  fourierdlem21  46109  fourierdlem22  46110  fourierdlem24  46112  fourierdlem38  46126  fourierdlem40  46128  fourierdlem43  46131  fourierdlem44  46132  fourierdlem46  46133  fourierdlem50  46137  fourierdlem58  46145  fourierdlem62  46149  fourierdlem66  46153  fourierdlem72  46159  fourierdlem74  46161  fourierdlem75  46162  fourierdlem76  46163  fourierdlem77  46164  fourierdlem78  46165  fourierdlem83  46170  fourierdlem85  46172  fourierdlem87  46174  fourierdlem88  46175  fourierdlem93  46180  fourierdlem94  46181  fourierdlem95  46182  fourierdlem101  46188  fourierdlem102  46189  fourierdlem103  46190  fourierdlem104  46191  fourierdlem111  46198  fourierdlem112  46199  fourierdlem113  46200  fourierdlem114  46201  sqwvfoura  46209  sqwvfourb  46210  fourierswlem  46211  fouriersw  46212  fouriercn  46213