Theorem pire 26692

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26689	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 489	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13428	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  2c2 12319  4c4 12321  (,)cioo 13398  sincsin 16149  πcpi 16152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ioc 13403  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-fac 14338  df-bc 14367  df-hash 14395  df-shft 15140  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-limsup 15558  df-clim 15575  df-rlim 15576  df-sum 15774  df-ef 16153  df-sin 16155  df-cos 16156  df-pi 16158  df-struct 17239  df-sets 17256  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-ress 17323  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-starv 17357  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-unif 17365  df-hom 17366  df-cco 17367  df-rest 17507  df-topn 17508  df-0g 17526  df-gsum 17527  df-topgen 17528  df-pt 17529  df-prds 17532  df-xrs 17588  df-qtop 17593  df-imas 17594  df-xps 17596  df-mre 17670  df-mrc 17671  df-acs 17673  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18892  df-mulg 19191  df-cntz 19444  df-cmn 19909  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-fbas 21582  df-fg 21583  df-cnfld 21586  df-top 23119  df-topon 23136  df-topsp 23158  df-bases 23171  df-cld 23244  df-ntr 23245  df-cls 23246  df-nei 23323  df-lp 23361  df-perf 23362  df-cn 23452  df-cnp 23453  df-haus 23540  df-tx 23788  df-hmeo 23981  df-fil 24072  df-fm 24164  df-flim 24165  df-flf 24166  df-xms 24546  df-ms 24547  df-tms 24548  df-cncf 25106  df-limc 26093  df-dv 26094

This theorem is used by:  2pire  26693  picn  26694  pipos  26696  pige0  26697  pine0  26698  pirp  26699  sinhalfpilem  26701  halfpire  26702  sincosq1lem  26735  sincosq2sgn  26737  sincosq3sgn  26738  sincosq4sgn  26739  coseq00topi  26740  coseq0negpitopi  26741  tangtx  26743  sinq12gt0  26745  sinq12ge0  26746  sinq34lt0t  26747  cosq14gt0  26748  cosq14ge0  26749  sincos4thpi  26751  sincos6thpi  26753  pigt3  26755  pige3  26756  pige3ALT  26757  coskpi  26760  sineq0  26761  coseq1  26762  cos02pilt1  26763  cosq34lt1  26764  efeq1  26765  cosne0  26766  cosordlem  26767  cosord  26768  cos0pilt1  26769  cos11  26770  sinord  26771  recosf1o  26772  resinf1o  26773  tanord1  26774  negpitopissre  26777  efif1olem1  26779  efif1olem2  26780  efif1olem4  26782  efif1o  26783  efifo  26784  eff1o  26786  ellogrn  26796  relogrn  26798  logimclad  26809  abslogimle  26810  logi  26824  logneg  26825  lognegb  26827  eflogeq  26839  logcj  26843  argregt0  26847  argrege0  26848  argimgt0  26849  argimlt0  26850  logimul  26851  logneg2  26852  abslogle  26855  logcnlem3  26881  dvloglem  26885  logf1o2  26887  efopnlem1  26893  efopnlem2  26894  cxpsqrtlem  26939  abscxpbnd  26990  root1eq1  26992  logreclem  26999  ang180lem1  27046  ang180lem2  27047  ang180lem3  27048  ang180lem4  27049  isosctrlem1  27055  1cubrlem  27078  asinneg  27123  asinsin  27129  asin1  27131  acosbnd  27137  atanlogaddlem  27150  atanlogsublem  27152  atanlogsub  27153  atantan  27160  atanbndlem  27162  atan1  27165  o1cxp  27211  lgamgulmlem4  27268  lgamgulmlem5  27269  lgamgulmlem6  27270  lgambdd  27273  basellem1  27317  basellem4  27320  basellem8  27324  basellem9  27325  cos9thpinconstrlem1  34299  circum  36253  bj-pinftyccb  37973  bj-minftyccb  37977  bj-pinftynminfty  37979  taupi  38075  sin2h  38364  cos2h  38365  tan2h  38366  asin1half  43232  acos1half  43233  proot1ex  44037  isosctrlem1ALT  45756  sineq0ALT  45759  negpilt0  46114  coseq0  46692  sinaover2ne0  46696  itgsin0pilem1  46778  itgsinexplem1  46782  itgsinexp  46783  wallispilem1  46893  wallispilem2  46894  wallispi  46898  stirlinglem15  46916  stirlingr  46918  dirker2re  46920  dirkerval2  46922  dirkerre  46923  dirkertrigeqlem2  46927  dirkertrigeqlem3  46928  dirkertrigeq  46929  dirkeritg  46930  dirkercncflem1  46931  dirkercncflem4  46934  fourierdlem5  46940  fourierdlem9  46944  fourierdlem16  46951  fourierdlem18  46953  fourierdlem21  46956  fourierdlem22  46957  fourierdlem24  46959  fourierdlem38  46973  fourierdlem40  46975  fourierdlem43  46978  fourierdlem44  46979  fourierdlem46  46980  fourierdlem50  46984  fourierdlem58  46992  fourierdlem62  46996  fourierdlem66  47000  fourierdlem72  47006  fourierdlem74  47008  fourierdlem75  47009  fourierdlem76  47010  fourierdlem77  47011  fourierdlem78  47012  fourierdlem83  47017  fourierdlem85  47019  fourierdlem87  47021  fourierdlem88  47022  fourierdlem93  47027  fourierdlem94  47028  fourierdlem95  47029  fourierdlem101  47035  fourierdlem102  47036  fourierdlem103  47037  fourierdlem104  47038  fourierdlem111  47045  fourierdlem112  47046  fourierdlem113  47047  fourierdlem114  47048  sqwvfoura  47056  sqwvfourb  47057  fourierswlem  47058  fouriersw  47059  fouriercn  47060  goldrarr  47746  goldrapos  47748