MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pire 25055
Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
pire π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire
StepHypRef Expression
1 pilem3 25052 . . 3 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
21simpli 487 . 2 π ∈ (2(,)4)
3 elioore 12760 . 2 (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 1 π ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2112  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  2c2 11684  4c4 11686  (,)cioo 12730  sincsin 15413  πcpi 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-submnd 17953  df-mulg 18221  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474
This theorem is referenced by:  picn  25056  pipos  25057  pirp  25058  sinhalfpilem  25060  halfpire  25061  sincosq1lem  25094  sincosq2sgn  25096  sincosq3sgn  25097  sincosq4sgn  25098  coseq00topi  25099  coseq0negpitopi  25100  tangtx  25102  sinq12gt0  25104  sinq12ge0  25105  sinq34lt0t  25106  cosq14gt0  25107  cosq14ge0  25108  sincos4thpi  25110  tan4thpi  25111  sincos6thpi  25112  pigt3  25114  pige3  25115  pige3ALT  25116  coskpi  25119  sineq0  25120  coseq1  25121  cos02pilt1  25122  cosq34lt1  25123  efeq1  25124  cosne0  25125  cosordlem  25126  cosord  25127  cos0pilt1  25128  cos11  25129  sinord  25130  recosf1o  25131  resinf1o  25132  tanord1  25133  negpitopissre  25136  efif1olem1  25138  efif1olem2  25139  efif1olem4  25141  efif1o  25142  efifo  25143  eff1o  25145  ellogrn  25155  relogrn  25157  logimclad  25168  abslogimle  25169  logneg  25183  lognegb  25185  eflogeq  25197  logcj  25201  argregt0  25205  argrege0  25206  argimgt0  25207  argimlt0  25208  logimul  25209  logneg2  25210  abslogle  25213  logcnlem3  25239  dvloglem  25243  logf1o2  25245  efopnlem1  25251  efopnlem2  25252  cxpsqrtlem  25297  abscxpbnd  25346  root1eq1  25348  logreclem  25352  ang180lem1  25399  ang180lem2  25400  ang180lem3  25401  ang180lem4  25402  isosctrlem1  25408  1cubrlem  25431  asinneg  25476  asinsin  25482  asin1  25484  acosbnd  25490  atanlogaddlem  25503  atanlogsublem  25505  atanlogsub  25506  atantan  25513  atanbndlem  25515  atan1  25518  o1cxp  25564  lgamgulmlem4  25621  lgamgulmlem5  25622  lgamgulmlem6  25623  lgambdd  25626  basellem1  25670  basellem4  25673  basellem8  25677  basellem9  25678  circum  33031  logi  33080  bj-pinftyccb  34637  bj-minftyccb  34641  bj-pinftynminfty  34643  taupi  34738  sin2h  35046  cos2h  35047  tan2h  35048  proot1ex  40142  isosctrlem1ALT  41637  sineq0ALT  41640  negpilt0  41908  coseq0  42503  sinaover2ne0  42507  itgsin0pilem1  42589  itgsinexplem1  42593  itgsinexp  42594  wallispilem1  42704  wallispilem2  42705  wallispi  42709  stirlinglem15  42727  stirlingr  42729  dirker2re  42731  dirkerval2  42733  dirkerre  42734  dirkerper  42735  dirkertrigeqlem2  42738  dirkertrigeqlem3  42739  dirkertrigeq  42740  dirkeritg  42741  dirkercncflem1  42742  dirkercncflem2  42743  dirkercncflem4  42745  fourierdlem5  42751  fourierdlem9  42755  fourierdlem16  42762  fourierdlem18  42764  fourierdlem21  42767  fourierdlem22  42768  fourierdlem24  42770  fourierdlem38  42784  fourierdlem40  42786  fourierdlem43  42789  fourierdlem44  42790  fourierdlem46  42791  fourierdlem50  42795  fourierdlem58  42803  fourierdlem62  42807  fourierdlem66  42811  fourierdlem72  42817  fourierdlem74  42819  fourierdlem75  42820  fourierdlem76  42821  fourierdlem77  42822  fourierdlem78  42823  fourierdlem83  42828  fourierdlem85  42830  fourierdlem87  42832  fourierdlem88  42833  fourierdlem93  42838  fourierdlem94  42839  fourierdlem95  42840  fourierdlem101  42846  fourierdlem102  42847  fourierdlem103  42848  fourierdlem104  42849  fourierdlem111  42856  fourierdlem112  42857  fourierdlem113  42858  fourierdlem114  42859  sqwvfoura  42867  sqwvfourb  42868  fourierswlem  42869  fouriersw  42870  fouriercn  42871
  Copyright terms: Public domain W3C validator