Theorem pire 26500

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26497	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13417	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  2c2 12321  4c4 12323  (,)cioo 13387  sincsin 16099  πcpi 16102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  picn  26501  pipos  26502  pirp  26503  sinhalfpilem  26505  halfpire  26506  sincosq1lem  26539  sincosq2sgn  26541  sincosq3sgn  26542  sincosq4sgn  26543  coseq00topi  26544  coseq0negpitopi  26545  tangtx  26547  sinq12gt0  26549  sinq12ge0  26550  sinq34lt0t  26551  cosq14gt0  26552  cosq14ge0  26553  sincos4thpi  26555  tan4thpiOLD  26557  sincos6thpi  26558  pigt3  26560  pige3  26561  pige3ALT  26562  coskpi  26565  sineq0  26566  coseq1  26567  cos02pilt1  26568  cosq34lt1  26569  efeq1  26570  cosne0  26571  cosordlem  26572  cosord  26573  cos0pilt1  26574  cos11  26575  sinord  26576  recosf1o  26577  resinf1o  26578  tanord1  26579  negpitopissre  26582  efif1olem1  26584  efif1olem2  26585  efif1olem4  26587  efif1o  26588  efifo  26589  eff1o  26591  ellogrn  26601  relogrn  26603  logimclad  26614  abslogimle  26615  logi  26629  logneg  26630  lognegb  26632  eflogeq  26644  logcj  26648  argregt0  26652  argrege0  26653  argimgt0  26654  argimlt0  26655  logimul  26656  logneg2  26657  abslogle  26660  logcnlem3  26686  dvloglem  26690  logf1o2  26692  efopnlem1  26698  efopnlem2  26699  cxpsqrtlem  26744  abscxpbnd  26796  root1eq1  26798  logreclem  26805  ang180lem1  26852  ang180lem2  26853  ang180lem3  26854  ang180lem4  26855  isosctrlem1  26861  1cubrlem  26884  asinneg  26929  asinsin  26935  asin1  26937  acosbnd  26943  atanlogaddlem  26956  atanlogsublem  26958  atanlogsub  26959  atantan  26966  atanbndlem  26968  atan1  26971  o1cxp  27018  lgamgulmlem4  27075  lgamgulmlem5  27076  lgamgulmlem6  27077  lgambdd  27080  basellem1  27124  basellem4  27127  basellem8  27131  basellem9  27132  circum  35679  bj-pinftyccb  37222  bj-minftyccb  37226  bj-pinftynminfty  37228  taupi  37324  sin2h  37617  cos2h  37618  tan2h  37619  pine0  42348  asin1half  42387  acos1half  42388  proot1ex  43208  isosctrlem1ALT  44954  sineq0ALT  44957  negpilt0  45292  coseq0  45879  sinaover2ne0  45883  itgsin0pilem1  45965  itgsinexplem1  45969  itgsinexp  45970  wallispilem1  46080  wallispilem2  46081  wallispi  46085  stirlinglem15  46103  stirlingr  46105  dirker2re  46107  dirkerval2  46109  dirkerre  46110  dirkerper  46111  dirkertrigeqlem2  46114  dirkertrigeqlem3  46115  dirkertrigeq  46116  dirkeritg  46117  dirkercncflem1  46118  dirkercncflem2  46119  dirkercncflem4  46121  fourierdlem5  46127  fourierdlem9  46131  fourierdlem16  46138  fourierdlem18  46140  fourierdlem21  46143  fourierdlem22  46144  fourierdlem24  46146  fourierdlem38  46160  fourierdlem40  46162  fourierdlem43  46165  fourierdlem44  46166  fourierdlem46  46167  fourierdlem50  46171  fourierdlem58  46179  fourierdlem62  46183  fourierdlem66  46187  fourierdlem72  46193  fourierdlem74  46195  fourierdlem75  46196  fourierdlem76  46197  fourierdlem77  46198  fourierdlem78  46199  fourierdlem83  46204  fourierdlem85  46206  fourierdlem87  46208  fourierdlem88  46209  fourierdlem93  46214  fourierdlem94  46215  fourierdlem95  46216  fourierdlem101  46222  fourierdlem102  46223  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  fourierdlem113  46234  fourierdlem114  46235  sqwvfoura  46243  sqwvfourb  46244  fourierswlem  46245  fouriersw  46246  fouriercn  46247