Theorem pire 26342

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26339	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13312	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  2c2 12217  4c4 12219  (,)cioo 13282  sincsin 16005  πcpi 16008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744

This theorem is referenced by:  picn  26343  pipos  26344  pine0  26345  pirp  26346  sinhalfpilem  26348  halfpire  26349  sincosq1lem  26382  sincosq2sgn  26384  sincosq3sgn  26385  sincosq4sgn  26386  coseq00topi  26387  coseq0negpitopi  26388  tangtx  26390  sinq12gt0  26392  sinq12ge0  26393  sinq34lt0t  26394  cosq14gt0  26395  cosq14ge0  26396  sincos4thpi  26398  tan4thpiOLD  26400  sincos6thpi  26401  pigt3  26403  pige3  26404  pige3ALT  26405  coskpi  26408  sineq0  26409  coseq1  26410  cos02pilt1  26411  cosq34lt1  26412  efeq1  26413  cosne0  26414  cosordlem  26415  cosord  26416  cos0pilt1  26417  cos11  26418  sinord  26419  recosf1o  26420  resinf1o  26421  tanord1  26422  negpitopissre  26425  efif1olem1  26427  efif1olem2  26428  efif1olem4  26430  efif1o  26431  efifo  26432  eff1o  26434  ellogrn  26444  relogrn  26446  logimclad  26457  abslogimle  26458  logi  26472  logneg  26473  lognegb  26475  eflogeq  26487  logcj  26491  argregt0  26495  argrege0  26496  argimgt0  26497  argimlt0  26498  logimul  26499  logneg2  26500  abslogle  26503  logcnlem3  26529  dvloglem  26533  logf1o2  26535  efopnlem1  26541  efopnlem2  26542  cxpsqrtlem  26587  abscxpbnd  26639  root1eq1  26641  logreclem  26648  ang180lem1  26695  ang180lem2  26696  ang180lem3  26697  ang180lem4  26698  isosctrlem1  26704  1cubrlem  26727  asinneg  26772  asinsin  26778  asin1  26780  acosbnd  26786  atanlogaddlem  26799  atanlogsublem  26801  atanlogsub  26802  atantan  26809  atanbndlem  26811  atan1  26814  o1cxp  26861  lgamgulmlem4  26918  lgamgulmlem5  26919  lgamgulmlem6  26920  lgambdd  26923  basellem1  26967  basellem4  26970  basellem8  26974  basellem9  26975  cos9thpinconstrlem1  33752  circum  35634  bj-pinftyccb  37182  bj-minftyccb  37186  bj-pinftynminfty  37188  taupi  37284  sin2h  37577  cos2h  37578  tan2h  37579  asin1half  42318  acos1half  42319  proot1ex  43158  isosctrlem1ALT  44896  sineq0ALT  44899  negpilt0  45252  coseq0  45835  sinaover2ne0  45839  itgsin0pilem1  45921  itgsinexplem1  45925  itgsinexp  45926  wallispilem1  46036  wallispilem2  46037  wallispi  46041  stirlinglem15  46059  stirlingr  46061  dirker2re  46063  dirkerval2  46065  dirkerre  46066  dirkerper  46067  dirkertrigeqlem2  46070  dirkertrigeqlem3  46071  dirkertrigeq  46072  dirkeritg  46073  dirkercncflem1  46074  dirkercncflem2  46075  dirkercncflem4  46077  fourierdlem5  46083  fourierdlem9  46087  fourierdlem16  46094  fourierdlem18  46096  fourierdlem21  46099  fourierdlem22  46100  fourierdlem24  46102  fourierdlem38  46116  fourierdlem40  46118  fourierdlem43  46121  fourierdlem44  46122  fourierdlem46  46123  fourierdlem50  46127  fourierdlem58  46135  fourierdlem62  46139  fourierdlem66  46143  fourierdlem72  46149  fourierdlem74  46151  fourierdlem75  46152  fourierdlem76  46153  fourierdlem77  46154  fourierdlem78  46155  fourierdlem83  46160  fourierdlem85  46162  fourierdlem87  46164  fourierdlem88  46165  fourierdlem93  46170  fourierdlem94  46171  fourierdlem95  46172  fourierdlem101  46178  fourierdlem102  46179  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem111  46188  fourierdlem112  46189  fourierdlem113  46190  fourierdlem114  46191  sqwvfoura  46199  sqwvfourb  46200  fourierswlem  46201  fouriersw  46202  fouriercn  46203