Theorem pire 26366

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26363	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13336	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  2c2 12241  4c4 12243  (,)cioo 13306  sincsin 16029  πcpi 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  picn  26367  pipos  26368  pine0  26369  pirp  26370  sinhalfpilem  26372  halfpire  26373  sincosq1lem  26406  sincosq2sgn  26408  sincosq3sgn  26409  sincosq4sgn  26410  coseq00topi  26411  coseq0negpitopi  26412  tangtx  26414  sinq12gt0  26416  sinq12ge0  26417  sinq34lt0t  26418  cosq14gt0  26419  cosq14ge0  26420  sincos4thpi  26422  tan4thpiOLD  26424  sincos6thpi  26425  pigt3  26427  pige3  26428  pige3ALT  26429  coskpi  26432  sineq0  26433  coseq1  26434  cos02pilt1  26435  cosq34lt1  26436  efeq1  26437  cosne0  26438  cosordlem  26439  cosord  26440  cos0pilt1  26441  cos11  26442  sinord  26443  recosf1o  26444  resinf1o  26445  tanord1  26446  negpitopissre  26449  efif1olem1  26451  efif1olem2  26452  efif1olem4  26454  efif1o  26455  efifo  26456  eff1o  26458  ellogrn  26468  relogrn  26470  logimclad  26481  abslogimle  26482  logi  26496  logneg  26497  lognegb  26499  eflogeq  26511  logcj  26515  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  argimlt0  26522  logimul  26523  logneg2  26524  abslogle  26527  logcnlem3  26553  dvloglem  26557  logf1o2  26559  efopnlem1  26565  efopnlem2  26566  cxpsqrtlem  26611  abscxpbnd  26663  root1eq1  26665  logreclem  26672  ang180lem1  26719  ang180lem2  26720  ang180lem3  26721  ang180lem4  26722  isosctrlem1  26728  1cubrlem  26751  asinneg  26796  asinsin  26802  asin1  26804  acosbnd  26810  atanlogaddlem  26823  atanlogsublem  26825  atanlogsub  26826  atantan  26833  atanbndlem  26835  atan1  26838  o1cxp  26885  lgamgulmlem4  26942  lgamgulmlem5  26943  lgamgulmlem6  26944  lgambdd  26947  basellem1  26991  basellem4  26994  basellem8  26998  basellem9  26999  cos9thpinconstrlem1  33779  circum  35661  bj-pinftyccb  37209  bj-minftyccb  37213  bj-pinftynminfty  37215  taupi  37311  sin2h  37604  cos2h  37605  tan2h  37606  asin1half  42345  acos1half  42346  proot1ex  43185  isosctrlem1ALT  44923  sineq0ALT  44926  negpilt0  45279  coseq0  45862  sinaover2ne0  45866  itgsin0pilem1  45948  itgsinexplem1  45952  itgsinexp  45953  wallispilem1  46063  wallispilem2  46064  wallispi  46068  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  dirker2re  46090  dirkerval2  46092  dirkerre  46093  dirkerper  46094  dirkertrigeqlem2  46097  dirkertrigeqlem3  46098  dirkertrigeq  46099  dirkeritg  46100  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem2  46102  dirkercncflem4  46104  fourierdlem5  46110  fourierdlem9  46114  fourierdlem16  46121  fourierdlem18  46123  fourierdlem21  46126  fourierdlem22  46127  fourierdlem24  46129  fourierdlem38  46143  fourierdlem40  46145  fourierdlem43  46148  fourierdlem44  46149  fourierdlem46  46150  fourierdlem50  46154  fourierdlem58  46162  fourierdlem62  46166  fourierdlem66  46170  fourierdlem72  46176  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem77  46181  fourierdlem78  46182  fourierdlem83  46187  fourierdlem85  46189  fourierdlem87  46191  fourierdlem88  46192  fourierdlem93  46197  fourierdlem94  46198  fourierdlem95  46199  fourierdlem101  46205  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  fourierdlem113  46217  fourierdlem114  46218  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fourierswlem  46228  fouriersw  46229  fouriercn  46230