Theorem pire 26416

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26413	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13390	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  ℝcr 11126  0cc0 11127  2c2 12293  4c4 12295  (,)cioo 13360  sincsin 16077  πcpi 16080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8717  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-fi 9421  df-sup 9452  df-inf 9453  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12851  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13126  df-xadd 13127  df-xmul 13128  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-fl 13807  df-seq 14018  df-exp 14078  df-fac 14290  df-bc 14319  df-hash 14347  df-shft 15084  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15485  df-clim 15502  df-rlim 15503  df-sum 15701  df-ef 16081  df-sin 16083  df-cos 16084  df-pi 16086  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17514  df-qtop 17519  df-imas 17520  df-xps 17522  df-mre 17596  df-mrc 17597  df-acs 17599  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-submnd 18760  df-mulg 19049  df-cntz 19298  df-cmn 19761  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-top 22830  df-topon 22847  df-topsp 22869  df-bases 22882  df-cld 22955  df-ntr 22956  df-cls 22957  df-nei 23034  df-lp 23072  df-perf 23073  df-cn 23163  df-cnp 23164  df-haus 23251  df-tx 23498  df-hmeo 23691  df-fil 23782  df-fm 23874  df-flim 23875  df-flf 23876  df-xms 24257  df-ms 24258  df-tms 24259  df-cncf 24820  df-limc 25817  df-dv 25818

This theorem is referenced by:  picn  26417  pipos  26418  pine0  26419  pirp  26420  sinhalfpilem  26422  halfpire  26423  sincosq1lem  26456  sincosq2sgn  26458  sincosq3sgn  26459  sincosq4sgn  26460  coseq00topi  26461  coseq0negpitopi  26462  tangtx  26464  sinq12gt0  26466  sinq12ge0  26467  sinq34lt0t  26468  cosq14gt0  26469  cosq14ge0  26470  sincos4thpi  26472  tan4thpiOLD  26474  sincos6thpi  26475  pigt3  26477  pige3  26478  pige3ALT  26479  coskpi  26482  sineq0  26483  coseq1  26484  cos02pilt1  26485  cosq34lt1  26486  efeq1  26487  cosne0  26488  cosordlem  26489  cosord  26490  cos0pilt1  26491  cos11  26492  sinord  26493  recosf1o  26494  resinf1o  26495  tanord1  26496  negpitopissre  26499  efif1olem1  26501  efif1olem2  26502  efif1olem4  26504  efif1o  26505  efifo  26506  eff1o  26508  ellogrn  26518  relogrn  26520  logimclad  26531  abslogimle  26532  logi  26546  logneg  26547  lognegb  26549  eflogeq  26561  logcj  26565  argregt0  26569  argrege0  26570  argimgt0  26571  argimlt0  26572  logimul  26573  logneg2  26574  abslogle  26577  logcnlem3  26603  dvloglem  26607  logf1o2  26609  efopnlem1  26615  efopnlem2  26616  cxpsqrtlem  26661  abscxpbnd  26713  root1eq1  26715  logreclem  26722  ang180lem1  26769  ang180lem2  26770  ang180lem3  26771  ang180lem4  26772  isosctrlem1  26778  1cubrlem  26801  asinneg  26846  asinsin  26852  asin1  26854  acosbnd  26860  atanlogaddlem  26873  atanlogsublem  26875  atanlogsub  26876  atantan  26883  atanbndlem  26885  atan1  26888  o1cxp  26935  lgamgulmlem4  26992  lgamgulmlem5  26993  lgamgulmlem6  26994  lgambdd  26997  basellem1  27041  basellem4  27044  basellem8  27048  basellem9  27049  cos9thpinconstrlem1  33769  circum  35642  bj-pinftyccb  37185  bj-minftyccb  37189  bj-pinftynminfty  37191  taupi  37287  sin2h  37580  cos2h  37581  tan2h  37582  asin1half  42347  acos1half  42348  proot1ex  43167  isosctrlem1ALT  44906  sineq0ALT  44909  negpilt0  45257  coseq0  45841  sinaover2ne0  45845  itgsin0pilem1  45927  itgsinexplem1  45931  itgsinexp  45932  wallispilem1  46042  wallispilem2  46043  wallispi  46047  stirlinglem15  46065  stirlingr  46067  dirker2re  46069  dirkerval2  46071  dirkerre  46072  dirkerper  46073  dirkertrigeqlem2  46076  dirkertrigeqlem3  46077  dirkertrigeq  46078  dirkeritg  46079  dirkercncflem1  46080  dirkercncflem2  46081  dirkercncflem4  46083  fourierdlem5  46089  fourierdlem9  46093  fourierdlem16  46100  fourierdlem18  46102  fourierdlem21  46105  fourierdlem22  46106  fourierdlem24  46108  fourierdlem38  46122  fourierdlem40  46124  fourierdlem43  46127  fourierdlem44  46128  fourierdlem46  46129  fourierdlem50  46133  fourierdlem58  46141  fourierdlem62  46145  fourierdlem66  46149  fourierdlem72  46155  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem76  46159  fourierdlem77  46160  fourierdlem78  46161  fourierdlem83  46166  fourierdlem85  46168  fourierdlem87  46170  fourierdlem88  46171  fourierdlem93  46176  fourierdlem94  46177  fourierdlem95  46178  fourierdlem101  46184  fourierdlem102  46185  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fourierdlem111  46194  fourierdlem112  46195  fourierdlem113  46196  fourierdlem114  46197  sqwvfoura  46205  sqwvfourb  46206  fourierswlem  46207  fouriersw  46208  fouriercn  46209