Theorem pire 26514

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26511	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13413	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  ℝcr 11151  0cc0 11152  2c2 12318  4c4 12320  (,)cioo 13383  sincsin 16095  πcpi 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  picn  26515  pipos  26516  pirp  26517  sinhalfpilem  26519  halfpire  26520  sincosq1lem  26553  sincosq2sgn  26555  sincosq3sgn  26556  sincosq4sgn  26557  coseq00topi  26558  coseq0negpitopi  26559  tangtx  26561  sinq12gt0  26563  sinq12ge0  26564  sinq34lt0t  26565  cosq14gt0  26566  cosq14ge0  26567  sincos4thpi  26569  tan4thpiOLD  26571  sincos6thpi  26572  pigt3  26574  pige3  26575  pige3ALT  26576  coskpi  26579  sineq0  26580  coseq1  26581  cos02pilt1  26582  cosq34lt1  26583  efeq1  26584  cosne0  26585  cosordlem  26586  cosord  26587  cos0pilt1  26588  cos11  26589  sinord  26590  recosf1o  26591  resinf1o  26592  tanord1  26593  negpitopissre  26596  efif1olem1  26598  efif1olem2  26599  efif1olem4  26601  efif1o  26602  efifo  26603  eff1o  26605  ellogrn  26615  relogrn  26617  logimclad  26628  abslogimle  26629  logi  26643  logneg  26644  lognegb  26646  eflogeq  26658  logcj  26662  argregt0  26666  argrege0  26667  argimgt0  26668  argimlt0  26669  logimul  26670  logneg2  26671  abslogle  26674  logcnlem3  26700  dvloglem  26704  logf1o2  26706  efopnlem1  26712  efopnlem2  26713  cxpsqrtlem  26758  abscxpbnd  26810  root1eq1  26812  logreclem  26819  ang180lem1  26866  ang180lem2  26867  ang180lem3  26868  ang180lem4  26869  isosctrlem1  26875  1cubrlem  26898  asinneg  26943  asinsin  26949  asin1  26951  acosbnd  26957  atanlogaddlem  26970  atanlogsublem  26972  atanlogsub  26973  atantan  26980  atanbndlem  26982  atan1  26985  o1cxp  27032  lgamgulmlem4  27089  lgamgulmlem5  27090  lgamgulmlem6  27091  lgambdd  27094  basellem1  27138  basellem4  27141  basellem8  27145  basellem9  27146  circum  35658  bj-pinftyccb  37203  bj-minftyccb  37207  bj-pinftynminfty  37209  taupi  37305  sin2h  37596  cos2h  37597  tan2h  37598  pine0  42326  asin1half  42365  acos1half  42366  proot1ex  43184  isosctrlem1ALT  44931  sineq0ALT  44934  negpilt0  45230  coseq0  45819  sinaover2ne0  45823  itgsin0pilem1  45905  itgsinexplem1  45909  itgsinexp  45910  wallispilem1  46020  wallispilem2  46021  wallispi  46025  stirlinglem15  46043  stirlingr  46045  dirker2re  46047  dirkerval2  46049  dirkerre  46050  dirkerper  46051  dirkertrigeqlem2  46054  dirkertrigeqlem3  46055  dirkertrigeq  46056  dirkeritg  46057  dirkercncflem1  46058  dirkercncflem2  46059  dirkercncflem4  46061  fourierdlem5  46067  fourierdlem9  46071  fourierdlem16  46078  fourierdlem18  46080  fourierdlem21  46083  fourierdlem22  46084  fourierdlem24  46086  fourierdlem38  46100  fourierdlem40  46102  fourierdlem43  46105  fourierdlem44  46106  fourierdlem46  46107  fourierdlem50  46111  fourierdlem58  46119  fourierdlem62  46123  fourierdlem66  46127  fourierdlem72  46133  fourierdlem74  46135  fourierdlem75  46136  fourierdlem76  46137  fourierdlem77  46138  fourierdlem78  46139  fourierdlem83  46144  fourierdlem85  46146  fourierdlem87  46148  fourierdlem88  46149  fourierdlem93  46154  fourierdlem94  46155  fourierdlem95  46156  fourierdlem101  46162  fourierdlem102  46163  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem111  46172  fourierdlem112  46173  fourierdlem113  46174  fourierdlem114  46175  sqwvfoura  46183  sqwvfourb  46184  fourierswlem  46185  fouriersw  46186  fouriercn  46187