Theorem pire 26840

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26837	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 489	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13546	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  2c2 12437  4c4 12439  (,)cioo 13516  sincsin 16273  πcpi 16276

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-haus 23688  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  2pire  26841  picn  26842  pipos  26844  pige0  26845  pine0  26846  pirp  26847  sinhalfpilem  26849  halfpire  26850  sincosq1lem  26883  sincosq2sgn  26885  sincosq3sgn  26886  sincosq4sgn  26887  coseq00topi  26888  coseq0negpitopi  26889  tangtx  26891  sinq12gt0  26893  sinq12ge0  26894  sinq34lt0t  26895  cosq14gt0  26896  cosq14ge0  26897  sincos4thpi  26899  sincos6thpi  26901  pigt3  26903  pige3  26904  pige3ALT  26905  coskpi  26908  sineq0  26909  coseq1  26910  cos02pilt1  26911  cosq34lt1  26912  cosne0  26914  cosordlem  26915  cosord  26916  cos0pilt1  26917  cos11  26918  sinord  26919  recosf1o  26920  resinf1o  26921  tanord1  26922  negpitopissre  26925  efif1olem1  26927  efif1olem2  26928  efif1olem4  26930  efif1o  26931  efifo  26932  eff1o  26934  ellogrn  26944  relogrn  26946  logimclad  26957  abslogimle  26958  logi  26972  logneg  26973  lognegb  26975  eflogeq  26987  logcj  26991  argregt0  26995  argrege0  26996  argimgt0  26997  argimlt0  26998  logimul  26999  logneg2  27000  abslogle  27003  logcnlem3  27029  dvloglem  27033  logf1o2  27035  efopnlem1  27041  efopnlem2  27042  cxpsqrtlem  27087  abscxpbnd  27138  root1eq1  27140  logreclem  27147  ang180lem1  27194  ang180lem2  27195  ang180lem4  27197  isosctrlem1  27203  1cubrlem  27226  asinneg  27271  asinsin  27277  asin1  27279  acosbnd  27285  atanlogaddlem  27298  atanlogsublem  27300  atanlogsub  27301  atantan  27308  atanbndlem  27310  atan1  27313  o1cxp  27359  lgamgulmlem4  27416  lgamgulmlem5  27417  lgamgulmlem6  27418  lgambdd  27421  basellem1  27465  basellem4  27468  basellem8  27472  basellem9  27473  cos9thpinconstrlem1  34532  circum  36647  bj-pinftyccb  38410  bj-minftyccb  38414  bj-pinftynminfty  38416  taupi  38512  sin2h  38801  cos2h  38802  tan2h  38803  asin1half  43674  acos1half  43675  proot1ex  44459  isosctrlem1ALT  46176  sineq0ALT  46179  negpilt0  46570  coseq0  47147  sinaover2ne0  47151  itgsin0pilem1  47233  itgsinexplem1  47237  itgsinexp  47238  wallispilem1  47348  wallispilem2  47349  wallispi  47353  stirlinglem15  47371  stirlingr  47373  dirker2re  47375  dirkerval2  47377  dirkerre  47378  dirkertrigeqlem2  47382  dirkertrigeqlem3  47383  dirkertrigeq  47384  dirkeritg  47385  dirkercncflem1  47386  dirkercncflem4  47389  fourierdlem5  47395  fourierdlem9  47399  fourierdlem16  47406  fourierdlem18  47408  fourierdlem21  47411  fourierdlem22  47412  fourierdlem24  47414  fourierdlem38  47428  fourierdlem40  47430  fourierdlem43  47433  fourierdlem44  47434  fourierdlem46  47435  fourierdlem50  47439  fourierdlem58  47447  fourierdlem62  47451  fourierdlem66  47455  fourierdlem72  47461  fourierdlem74  47463  fourierdlem75  47464  fourierdlem76  47465  fourierdlem77  47466  fourierdlem78  47467  fourierdlem83  47472  fourierdlem85  47474  fourierdlem87  47476  fourierdlem88  47477  fourierdlem93  47482  fourierdlem94  47483  fourierdlem95  47484  fourierdlem101  47490  fourierdlem102  47491  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem111  47500  fourierdlem112  47501  fourierdlem113  47502  fourierdlem114  47503  sqwvfoura  47511  sqwvfourb  47512  fourierswlem  47513  fouriersw  47514  fouriercn  47515  goldrarr  48201  goldrapos  48203