Theorem pire 25302

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 25299	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 487	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 12930	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  0cc0 10694  2c2 11850  4c4 11852  (,)cioo 12900  sincsin 15588  πcpi 15591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772  ax-addf 10773  ax-mulf 10774

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-of 7447  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-supp 7882  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-2o 8181  df-er 8369  df-map 8488  df-pm 8489  df-ixp 8557  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-fsupp 8964  df-fi 9005  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-q 12510  df-rp 12552  df-xneg 12669  df-xadd 12670  df-xmul 12671  df-ioo 12904  df-ioc 12905  df-ico 12906  df-icc 12907  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-fl 13332  df-seq 13540  df-exp 13601  df-fac 13805  df-bc 13834  df-hash 13862  df-shft 14595  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-limsup 14997  df-clim 15014  df-rlim 15015  df-sum 15215  df-ef 15592  df-sin 15594  df-cos 15595  df-pi 15597  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-sets 16673  df-ress 16674  df-plusg 16762  df-mulr 16763  df-starv 16764  df-sca 16765  df-vsca 16766  df-ip 16767  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ds 16771  df-unif 16772  df-hom 16773  df-cco 16774  df-rest 16881  df-topn 16882  df-0g 16900  df-gsum 16901  df-topgen 16902  df-pt 16903  df-prds 16906  df-xrs 16961  df-qtop 16966  df-imas 16967  df-xps 16969  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-mgm 18068  df-sgrp 18117  df-mnd 18128  df-submnd 18173  df-mulg 18443  df-cntz 18665  df-cmn 19126  df-psmet 20309  df-xmet 20310  df-met 20311  df-bl 20312  df-mopn 20313  df-fbas 20314  df-fg 20315  df-cnfld 20318  df-top 21745  df-topon 21762  df-topsp 21784  df-bases 21797  df-cld 21870  df-ntr 21871  df-cls 21872  df-nei 21949  df-lp 21987  df-perf 21988  df-cn 22078  df-cnp 22079  df-haus 22166  df-tx 22413  df-hmeo 22606  df-fil 22697  df-fm 22789  df-flim 22790  df-flf 22791  df-xms 23172  df-ms 23173  df-tms 23174  df-cncf 23729  df-limc 24717  df-dv 24718

This theorem is referenced by:  picn  25303  pipos  25304  pirp  25305  sinhalfpilem  25307  halfpire  25308  sincosq1lem  25341  sincosq2sgn  25343  sincosq3sgn  25344  sincosq4sgn  25345  coseq00topi  25346  coseq0negpitopi  25347  tangtx  25349  sinq12gt0  25351  sinq12ge0  25352  sinq34lt0t  25353  cosq14gt0  25354  cosq14ge0  25355  sincos4thpi  25357  tan4thpi  25358  sincos6thpi  25359  pigt3  25361  pige3  25362  pige3ALT  25363  coskpi  25366  sineq0  25367  coseq1  25368  cos02pilt1  25369  cosq34lt1  25370  efeq1  25371  cosne0  25372  cosordlem  25373  cosord  25374  cos0pilt1  25375  cos11  25376  sinord  25377  recosf1o  25378  resinf1o  25379  tanord1  25380  negpitopissre  25383  efif1olem1  25385  efif1olem2  25386  efif1olem4  25388  efif1o  25389  efifo  25390  eff1o  25392  ellogrn  25402  relogrn  25404  logimclad  25415  abslogimle  25416  logneg  25430  lognegb  25432  eflogeq  25444  logcj  25448  argregt0  25452  argrege0  25453  argimgt0  25454  argimlt0  25455  logimul  25456  logneg2  25457  abslogle  25460  logcnlem3  25486  dvloglem  25490  logf1o2  25492  efopnlem1  25498  efopnlem2  25499  cxpsqrtlem  25544  abscxpbnd  25593  root1eq1  25595  logreclem  25599  ang180lem1  25646  ang180lem2  25647  ang180lem3  25648  ang180lem4  25649  isosctrlem1  25655  1cubrlem  25678  asinneg  25723  asinsin  25729  asin1  25731  acosbnd  25737  atanlogaddlem  25750  atanlogsublem  25752  atanlogsub  25753  atantan  25760  atanbndlem  25762  atan1  25765  o1cxp  25811  lgamgulmlem4  25868  lgamgulmlem5  25869  lgamgulmlem6  25870  lgambdd  25873  basellem1  25917  basellem4  25920  basellem8  25924  basellem9  25925  circum  33299  logi  33369  bj-pinftyccb  35076  bj-minftyccb  35080  bj-pinftynminfty  35082  taupi  35177  sin2h  35453  cos2h  35454  tan2h  35455  acos1half  39833  proot1ex  40670  isosctrlem1ALT  42168  sineq0ALT  42171  negpilt0  42432  coseq0  43023  sinaover2ne0  43027  itgsin0pilem1  43109  itgsinexplem1  43113  itgsinexp  43114  wallispilem1  43224  wallispilem2  43225  wallispi  43229  stirlinglem15  43247  stirlingr  43249  dirker2re  43251  dirkerval2  43253  dirkerre  43254  dirkerper  43255  dirkertrigeqlem2  43258  dirkertrigeqlem3  43259  dirkertrigeq  43260  dirkeritg  43261  dirkercncflem1  43262  dirkercncflem2  43263  dirkercncflem4  43265  fourierdlem5  43271  fourierdlem9  43275  fourierdlem16  43282  fourierdlem18  43284  fourierdlem21  43287  fourierdlem22  43288  fourierdlem24  43290  fourierdlem38  43304  fourierdlem40  43306  fourierdlem43  43309  fourierdlem44  43310  fourierdlem46  43311  fourierdlem50  43315  fourierdlem58  43323  fourierdlem62  43327  fourierdlem66  43331  fourierdlem72  43337  fourierdlem74  43339  fourierdlem75  43340  fourierdlem76  43341  fourierdlem77  43342  fourierdlem78  43343  fourierdlem83  43348  fourierdlem85  43350  fourierdlem87  43352  fourierdlem88  43353  fourierdlem93  43358  fourierdlem94  43359  fourierdlem95  43360  fourierdlem101  43366  fourierdlem102  43367  fourierdlem103  43368  fourierdlem104  43369  fourierdlem111  43376  fourierdlem112  43377  fourierdlem113  43378  fourierdlem114  43379  sqwvfoura  43387  sqwvfourb  43388  fourierswlem  43389  fouriersw  43390  fouriercn  43391