Theorem pire 26790

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26787	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 489	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13511	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℝcr 11204  0cc0 11205  2c2 12402  4c4 12404  (,)cioo 13481  sincsin 16236  πcpi 16239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194

This theorem is used by:  2pire  26791  picn  26792  pipos  26794  pige0  26795  pine0  26796  pirp  26797  sinhalfpilem  26799  halfpire  26800  sincosq1lem  26833  sincosq2sgn  26835  sincosq3sgn  26836  sincosq4sgn  26837  coseq00topi  26838  coseq0negpitopi  26839  tangtx  26841  sinq12gt0  26843  sinq12ge0  26844  sinq34lt0t  26845  cosq14gt0  26846  cosq14ge0  26847  sincos4thpi  26849  sincos6thpi  26851  pigt3  26853  pige3  26854  pige3ALT  26855  coskpi  26858  sineq0  26859  coseq1  26860  cos02pilt1  26861  cosq34lt1  26862  cosne0  26864  cosordlem  26865  cosord  26866  cos0pilt1  26867  cos11  26868  sinord  26869  recosf1o  26870  resinf1o  26871  tanord1  26872  negpitopissre  26875  efif1olem1  26877  efif1olem2  26878  efif1olem4  26880  efif1o  26881  efifo  26882  eff1o  26884  ellogrn  26894  relogrn  26896  logimclad  26907  abslogimle  26908  logi  26922  logneg  26923  lognegb  26925  eflogeq  26937  logcj  26941  argregt0  26945  argrege0  26946  argimgt0  26947  argimlt0  26948  logimul  26949  logneg2  26950  abslogle  26953  logcnlem3  26979  dvloglem  26983  logf1o2  26985  efopnlem1  26991  efopnlem2  26992  cxpsqrtlem  27037  abscxpbnd  27088  root1eq1  27090  logreclem  27097  ang180lem1  27144  ang180lem2  27145  ang180lem4  27147  isosctrlem1  27153  1cubrlem  27176  asinneg  27221  asinsin  27227  asin1  27229  acosbnd  27235  atanlogaddlem  27248  atanlogsublem  27250  atanlogsub  27251  atantan  27258  atanbndlem  27260  atan1  27263  o1cxp  27309  lgamgulmlem4  27366  lgamgulmlem5  27367  lgamgulmlem6  27368  lgambdd  27371  basellem1  27415  basellem4  27418  basellem8  27422  basellem9  27423  cos9thpinconstrlem1  34469  circum  36527  bj-pinftyccb  38249  bj-minftyccb  38253  bj-pinftynminfty  38255  taupi  38351  sin2h  38640  cos2h  38641  tan2h  38642  asin1half  43515  acos1half  43516  proot1ex  44305  isosctrlem1ALT  46023  sineq0ALT  46026  negpilt0  46404  coseq0  46981  sinaover2ne0  46985  itgsin0pilem1  47067  itgsinexplem1  47071  itgsinexp  47072  wallispilem1  47182  wallispilem2  47183  wallispi  47187  stirlinglem15  47205  stirlingr  47207  dirker2re  47209  dirkerval2  47211  dirkerre  47212  dirkertrigeqlem2  47216  dirkertrigeqlem3  47217  dirkertrigeq  47218  dirkeritg  47219  dirkercncflem1  47220  dirkercncflem4  47223  fourierdlem5  47229  fourierdlem9  47233  fourierdlem16  47240  fourierdlem18  47242  fourierdlem21  47245  fourierdlem22  47246  fourierdlem24  47248  fourierdlem38  47262  fourierdlem40  47264  fourierdlem43  47267  fourierdlem44  47268  fourierdlem46  47269  fourierdlem50  47273  fourierdlem58  47281  fourierdlem62  47285  fourierdlem66  47289  fourierdlem72  47295  fourierdlem74  47297  fourierdlem75  47298  fourierdlem76  47299  fourierdlem77  47300  fourierdlem78  47301  fourierdlem83  47306  fourierdlem85  47308  fourierdlem87  47310  fourierdlem88  47311  fourierdlem93  47316  fourierdlem94  47317  fourierdlem95  47318  fourierdlem101  47324  fourierdlem102  47325  fourierdlem103  47326  fourierdlem104  47327  fourierdlem111  47334  fourierdlem112  47335  fourierdlem113  47336  fourierdlem114  47337  sqwvfoura  47345  sqwvfourb  47346  fourierswlem  47347  fouriersw  47348  fouriercn  47349  goldrarr  48035  goldrapos  48037