Theorem pire 24731

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 24728	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 484	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 12622	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  ℝcr 10389  0cc0 10390  2c2 11546  4c4 11548  (,)cioo 12592  sincsin 15254  πcpi 15257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-inf2 8957  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467  ax-pre-sup 10468  ax-addf 10469  ax-mulf 10470

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-fal 1538  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-iin 4834  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-se 5410  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-isom 6241  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-supp 7689  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-2o 7961  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-pm 8266  df-ixp 8318  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-fsupp 8687  df-fi 8728  df-sup 8759  df-inf 8760  df-oi 8827  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-div 11152  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-9 11561  df-n0 11752  df-z 11836  df-dec 11953  df-uz 12098  df-q 12202  df-rp 12244  df-xneg 12361  df-xadd 12362  df-xmul 12363  df-ioo 12596  df-ioc 12597  df-ico 12598  df-icc 12599  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-fl 13016  df-seq 13224  df-exp 13284  df-fac 13488  df-bc 13517  df-hash 13545  df-shft 14264  df-cj 14296  df-re 14297  df-im 14298  df-sqrt 14432  df-abs 14433  df-limsup 14666  df-clim 14683  df-rlim 14684  df-sum 14881  df-ef 15258  df-sin 15260  df-cos 15261  df-pi 15263  df-struct 16318  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-starv 16413  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-tset 16417  df-ple 16418  df-ds 16420  df-unif 16421  df-hom 16422  df-cco 16423  df-rest 16529  df-topn 16530  df-0g 16548  df-gsum 16549  df-topgen 16550  df-pt 16551  df-prds 16554  df-xrs 16608  df-qtop 16613  df-imas 16614  df-xps 16616  df-mre 16690  df-mrc 16691  df-acs 16693  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-submnd 17779  df-mulg 17986  df-cntz 18192  df-cmn 18639  df-psmet 20223  df-xmet 20224  df-met 20225  df-bl 20226  df-mopn 20227  df-fbas 20228  df-fg 20229  df-cnfld 20232  df-top 21190  df-topon 21207  df-topsp 21229  df-bases 21242  df-cld 21315  df-ntr 21316  df-cls 21317  df-nei 21394  df-lp 21432  df-perf 21433  df-cn 21523  df-cnp 21524  df-haus 21611  df-tx 21858  df-hmeo 22051  df-fil 22142  df-fm 22234  df-flim 22235  df-flf 22236  df-xms 22617  df-ms 22618  df-tms 22619  df-cncf 23173  df-limc 24151  df-dv 24152

This theorem is referenced by:  picn  24732  pipos  24733  pirp  24734  sinhalfpilem  24736  halfpire  24737  sincosq1lem  24770  sincosq2sgn  24772  sincosq3sgn  24773  sincosq4sgn  24774  coseq00topi  24775  coseq0negpitopi  24776  tangtx  24778  sinq12gt0  24780  sinq12ge0  24781  sinq34lt0t  24782  cosq14gt0  24783  cosq14ge0  24784  sincos4thpi  24786  tan4thpi  24787  sincos6thpi  24788  pigt3  24790  pige3  24791  pige3ALT  24792  coskpi  24795  sineq0  24796  coseq1  24797  efeq1  24798  cosne0  24799  cosordlem  24800  cosord  24801  cos11  24802  sinord  24803  recosf1o  24804  resinf1o  24805  tanord1  24806  negpitopissre  24809  efif1olem1  24811  efif1olem2  24812  efif1olem4  24814  efif1o  24815  efifo  24816  eff1o  24818  ellogrn  24828  relogrn  24830  logimclad  24841  abslogimle  24842  logneg  24856  lognegb  24858  eflogeq  24870  logcj  24874  argregt0  24878  argrege0  24879  argimgt0  24880  argimlt0  24881  logimul  24882  logneg2  24883  abslogle  24886  logcnlem3  24912  dvloglem  24916  logf1o2  24918  efopnlem1  24924  efopnlem2  24925  cxpsqrtlem  24970  abscxpbnd  25019  root1eq1  25021  logreclem  25025  ang180lem1  25072  ang180lem2  25073  ang180lem3  25074  ang180lem4  25075  isosctrlem1  25081  1cubrlem  25104  asinneg  25149  asinsin  25155  asin1  25157  acosbnd  25163  atanlogaddlem  25176  atanlogsublem  25178  atanlogsub  25179  atantan  25186  atanbndlem  25188  atan1  25191  o1cxp  25238  lgamgulmlem4  25295  lgamgulmlem5  25296  lgamgulmlem6  25297  lgambdd  25300  basellem1  25344  basellem4  25347  basellem8  25351  basellem9  25352  circum  32527  logi  32576  bj-pinftyccb  34082  bj-minftyccb  34086  bj-pinftynminfty  34088  taupi  34156  sin2h  34434  cos2h  34435  tan2h  34436  proot1ex  39307  isosctrlem1ALT  40828  sineq0ALT  40831  negpilt0  41108  coseq0  41708  sinaover2ne0  41712  itgsin0pilem1  41798  itgsinexplem1  41802  itgsinexp  41803  wallispilem1  41914  wallispilem2  41915  wallispi  41919  stirlinglem15  41937  stirlingr  41939  dirker2re  41941  dirkerval2  41943  dirkerre  41944  dirkerper  41945  dirkertrigeqlem2  41948  dirkertrigeqlem3  41949  dirkertrigeq  41950  dirkeritg  41951  dirkercncflem1  41952  dirkercncflem2  41953  dirkercncflem4  41955  fourierdlem5  41961  fourierdlem9  41965  fourierdlem16  41972  fourierdlem18  41974  fourierdlem21  41977  fourierdlem22  41978  fourierdlem24  41980  fourierdlem38  41994  fourierdlem40  41996  fourierdlem43  41999  fourierdlem44  42000  fourierdlem46  42001  fourierdlem50  42005  fourierdlem58  42013  fourierdlem62  42017  fourierdlem66  42021  fourierdlem72  42027  fourierdlem74  42029  fourierdlem75  42030  fourierdlem76  42031  fourierdlem77  42032  fourierdlem78  42033  fourierdlem83  42038  fourierdlem85  42040  fourierdlem87  42042  fourierdlem88  42043  fourierdlem93  42048  fourierdlem94  42049  fourierdlem95  42050  fourierdlem101  42056  fourierdlem102  42057  fourierdlem103  42058  fourierdlem104  42059  fourierdlem111  42066  fourierdlem112  42067  fourierdlem113  42068  fourierdlem114  42069  sqwvfoura  42077  sqwvfourb  42078  fourierswlem  42079  fouriersw  42080  fouriercn  42081