Theorem pire 26422

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26419	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 483	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13291	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  2c2 12200  4c4 12202  (,)cioo 13261  sincsin 15986  πcpi 15989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824

This theorem is referenced by:  picn  26423  pipos  26424  pine0  26425  pirp  26426  sinhalfpilem  26428  halfpire  26429  sincosq1lem  26462  sincosq2sgn  26464  sincosq3sgn  26465  sincosq4sgn  26466  coseq00topi  26467  coseq0negpitopi  26468  tangtx  26470  sinq12gt0  26472  sinq12ge0  26473  sinq34lt0t  26474  cosq14gt0  26475  cosq14ge0  26476  sincos4thpi  26478  tan4thpiOLD  26480  sincos6thpi  26481  pigt3  26483  pige3  26484  pige3ALT  26485  coskpi  26488  sineq0  26489  coseq1  26490  cos02pilt1  26491  cosq34lt1  26492  efeq1  26493  cosne0  26494  cosordlem  26495  cosord  26496  cos0pilt1  26497  cos11  26498  sinord  26499  recosf1o  26500  resinf1o  26501  tanord1  26502  negpitopissre  26505  efif1olem1  26507  efif1olem2  26508  efif1olem4  26510  efif1o  26511  efifo  26512  eff1o  26514  ellogrn  26524  relogrn  26526  logimclad  26537  abslogimle  26538  logi  26552  logneg  26553  lognegb  26555  eflogeq  26567  logcj  26571  argregt0  26575  argrege0  26576  argimgt0  26577  argimlt0  26578  logimul  26579  logneg2  26580  abslogle  26583  logcnlem3  26609  dvloglem  26613  logf1o2  26615  efopnlem1  26621  efopnlem2  26622  cxpsqrtlem  26667  abscxpbnd  26719  root1eq1  26721  logreclem  26728  ang180lem1  26775  ang180lem2  26776  ang180lem3  26777  ang180lem4  26778  isosctrlem1  26784  1cubrlem  26807  asinneg  26852  asinsin  26858  asin1  26860  acosbnd  26866  atanlogaddlem  26879  atanlogsublem  26881  atanlogsub  26882  atantan  26889  atanbndlem  26891  atan1  26894  o1cxp  26941  lgamgulmlem4  26998  lgamgulmlem5  26999  lgamgulmlem6  27000  lgambdd  27003  basellem1  27047  basellem4  27050  basellem8  27054  basellem9  27055  cos9thpinconstrlem1  33946  circum  35868  bj-pinftyccb  37426  bj-minftyccb  37430  bj-pinftynminfty  37432  taupi  37528  sin2h  37811  cos2h  37812  tan2h  37813  asin1half  42612  acos1half  42613  proot1ex  43438  isosctrlem1ALT  45174  sineq0ALT  45177  negpilt0  45529  coseq0  46108  sinaover2ne0  46112  itgsin0pilem1  46194  itgsinexplem1  46198  itgsinexp  46199  wallispilem1  46309  wallispilem2  46310  wallispi  46314  stirlinglem15  46332  stirlingr  46334  dirker2re  46336  dirkerval2  46338  dirkerre  46339  dirkerper  46340  dirkertrigeqlem2  46343  dirkertrigeqlem3  46344  dirkertrigeq  46345  dirkeritg  46346  dirkercncflem1  46347  dirkercncflem2  46348  dirkercncflem4  46350  fourierdlem5  46356  fourierdlem9  46360  fourierdlem16  46367  fourierdlem18  46369  fourierdlem21  46372  fourierdlem22  46373  fourierdlem24  46375  fourierdlem38  46389  fourierdlem40  46391  fourierdlem43  46394  fourierdlem44  46395  fourierdlem46  46396  fourierdlem50  46400  fourierdlem58  46408  fourierdlem62  46412  fourierdlem66  46416  fourierdlem72  46422  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426  fourierdlem77  46427  fourierdlem78  46428  fourierdlem83  46433  fourierdlem85  46435  fourierdlem87  46437  fourierdlem88  46438  fourierdlem93  46443  fourierdlem94  46444  fourierdlem95  46445  fourierdlem101  46451  fourierdlem102  46452  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fourierdlem111  46461  fourierdlem112  46462  fourierdlem113  46463  fourierdlem114  46464  sqwvfoura  46472  sqwvfourb  46473  fourierswlem  46474  fouriersw  46475  fouriercn  46476