Theorem pire 25624

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 25621	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 484	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13118	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880  2c2 12037  4c4 12039  (,)cioo 13088  sincsin 15782  πcpi 15785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958  ax-addf 10959  ax-mulf 10960

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-supp 7987  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fsupp 9138  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ioc 13093  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-fac 13997  df-bc 14026  df-hash 14054  df-shft 14787  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-limsup 15189  df-clim 15206  df-rlim 15207  df-sum 15407  df-ef 15786  df-sin 15788  df-cos 15789  df-pi 15791  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-rest 17142  df-topn 17143  df-0g 17161  df-gsum 17162  df-topgen 17163  df-pt 17164  df-prds 17167  df-xrs 17222  df-qtop 17227  df-imas 17228  df-xps 17230  df-mre 17304  df-mrc 17305  df-acs 17307  df-mgm 18335  df-sgrp 18384  df-mnd 18395  df-submnd 18440  df-mulg 18710  df-cntz 18932  df-cmn 19397  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-fbas 20603  df-fg 20604  df-cnfld 20607  df-top 22052  df-topon 22069  df-topsp 22091  df-bases 22105  df-cld 22179  df-ntr 22180  df-cls 22181  df-nei 22258  df-lp 22296  df-perf 22297  df-cn 22387  df-cnp 22388  df-haus 22475  df-tx 22722  df-hmeo 22915  df-fil 23006  df-fm 23098  df-flim 23099  df-flf 23100  df-xms 23482  df-ms 23483  df-tms 23484  df-cncf 24050  df-limc 25039  df-dv 25040

This theorem is referenced by:  picn  25625  pipos  25626  pirp  25627  sinhalfpilem  25629  halfpire  25630  sincosq1lem  25663  sincosq2sgn  25665  sincosq3sgn  25666  sincosq4sgn  25667  coseq00topi  25668  coseq0negpitopi  25669  tangtx  25671  sinq12gt0  25673  sinq12ge0  25674  sinq34lt0t  25675  cosq14gt0  25676  cosq14ge0  25677  sincos4thpi  25679  tan4thpi  25680  sincos6thpi  25681  pigt3  25683  pige3  25684  pige3ALT  25685  coskpi  25688  sineq0  25689  coseq1  25690  cos02pilt1  25691  cosq34lt1  25692  efeq1  25693  cosne0  25694  cosordlem  25695  cosord  25696  cos0pilt1  25697  cos11  25698  sinord  25699  recosf1o  25700  resinf1o  25701  tanord1  25702  negpitopissre  25705  efif1olem1  25707  efif1olem2  25708  efif1olem4  25710  efif1o  25711  efifo  25712  eff1o  25714  ellogrn  25724  relogrn  25726  logimclad  25737  abslogimle  25738  logneg  25752  lognegb  25754  eflogeq  25766  logcj  25770  argregt0  25774  argrege0  25775  argimgt0  25776  argimlt0  25777  logimul  25778  logneg2  25779  abslogle  25782  logcnlem3  25808  dvloglem  25812  logf1o2  25814  efopnlem1  25820  efopnlem2  25821  cxpsqrtlem  25866  abscxpbnd  25915  root1eq1  25917  logreclem  25921  ang180lem1  25968  ang180lem2  25969  ang180lem3  25970  ang180lem4  25971  isosctrlem1  25977  1cubrlem  26000  asinneg  26045  asinsin  26051  asin1  26053  acosbnd  26059  atanlogaddlem  26072  atanlogsublem  26074  atanlogsub  26075  atantan  26082  atanbndlem  26084  atan1  26087  o1cxp  26133  lgamgulmlem4  26190  lgamgulmlem5  26191  lgamgulmlem6  26192  lgambdd  26195  basellem1  26239  basellem4  26242  basellem8  26246  basellem9  26247  circum  33641  logi  33709  bj-pinftyccb  35401  bj-minftyccb  35405  bj-pinftynminfty  35407  taupi  35503  sin2h  35776  cos2h  35777  tan2h  35778  acos1half  40177  proot1ex  41033  isosctrlem1ALT  42561  sineq0ALT  42564  negpilt0  42826  coseq0  43412  sinaover2ne0  43416  itgsin0pilem1  43498  itgsinexplem1  43502  itgsinexp  43503  wallispilem1  43613  wallispilem2  43614  wallispi  43618  stirlinglem15  43636  stirlingr  43638  dirker2re  43640  dirkerval2  43642  dirkerre  43643  dirkerper  43644  dirkertrigeqlem2  43647  dirkertrigeqlem3  43648  dirkertrigeq  43649  dirkeritg  43650  dirkercncflem1  43651  dirkercncflem2  43652  dirkercncflem4  43654  fourierdlem5  43660  fourierdlem9  43664  fourierdlem16  43671  fourierdlem18  43673  fourierdlem21  43676  fourierdlem22  43677  fourierdlem24  43679  fourierdlem38  43693  fourierdlem40  43695  fourierdlem43  43698  fourierdlem44  43699  fourierdlem46  43700  fourierdlem50  43704  fourierdlem58  43712  fourierdlem62  43716  fourierdlem66  43720  fourierdlem72  43726  fourierdlem74  43728  fourierdlem75  43729  fourierdlem76  43730  fourierdlem77  43731  fourierdlem78  43732  fourierdlem83  43737  fourierdlem85  43739  fourierdlem87  43741  fourierdlem88  43742  fourierdlem93  43747  fourierdlem94  43748  fourierdlem95  43749  fourierdlem101  43755  fourierdlem102  43756  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  fourierdlem111  43765  fourierdlem112  43766  fourierdlem113  43767  fourierdlem114  43768  sqwvfoura  43776  sqwvfourb  43777  fourierswlem  43778  fouriersw  43779  fouriercn  43780