Theorem pire 26507

Description: π is a real number. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
pire	⊢ π ∈ ℝ

Proof of Theorem pire

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pilem3 26504	. . 3 ⊢ (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
2	1	simpli 487	. 2 ⊢ π ∈ (2(,)4)
3		elioore 13373	. 2 ⊢ (π ∈ (2(,)4) → π ∈ ℝ)
4	2, 3	ax-mp 5	1 ⊢ π ∈ ℝ

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  2c2 12266  4c4 12268  (,)cioo 13343  sincsin 16084  πcpi 16087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  2pire  26508  picn  26509  pipos  26511  pige0  26512  pine0  26513  pirp  26514  sinhalfpilem  26516  halfpire  26517  sincosq1lem  26550  sincosq2sgn  26552  sincosq3sgn  26553  sincosq4sgn  26554  coseq00topi  26555  coseq0negpitopi  26556  tangtx  26558  sinq12gt0  26560  sinq12ge0  26561  sinq34lt0t  26562  cosq14gt0  26563  cosq14ge0  26564  sincos4thpi  26566  tan4thpiOLD  26568  sincos6thpi  26569  pigt3  26571  pige3  26572  pige3ALT  26573  coskpi  26576  sineq0  26577  coseq1  26578  cos02pilt1  26579  cosq34lt1  26580  efeq1  26581  cosne0  26582  cosordlem  26583  cosord  26584  cos0pilt1  26585  cos11  26586  sinord  26587  recosf1o  26588  resinf1o  26589  tanord1  26590  negpitopissre  26593  efif1olem1  26595  efif1olem2  26596  efif1olem4  26598  efif1o  26599  efifo  26600  eff1o  26602  ellogrn  26612  relogrn  26614  logimclad  26625  abslogimle  26626  logi  26640  logneg  26641  lognegb  26643  eflogeq  26655  logcj  26659  argregt0  26663  argrege0  26664  argimgt0  26665  argimlt0  26666  logimul  26667  logneg2  26668  abslogle  26671  logcnlem3  26697  dvloglem  26701  logf1o2  26703  efopnlem1  26709  efopnlem2  26710  cxpsqrtlem  26755  abscxpbnd  26806  root1eq1  26808  logreclem  26815  ang180lem1  26862  ang180lem2  26863  ang180lem3  26864  ang180lem4  26865  isosctrlem1  26871  1cubrlem  26894  asinneg  26939  asinsin  26945  asin1  26947  acosbnd  26953  atanlogaddlem  26966  atanlogsublem  26968  atanlogsub  26969  atantan  26976  atanbndlem  26978  atan1  26981  o1cxp  27027  lgamgulmlem4  27084  lgamgulmlem5  27085  lgamgulmlem6  27086  lgambdd  27089  basellem1  27133  basellem4  27136  basellem8  27140  basellem9  27141  cos9thpinconstrlem1  34047  circum  35985  bj-pinftyccb  37674  bj-minftyccb  37678  bj-pinftynminfty  37680  taupi  37776  sin2h  38070  cos2h  38071  tan2h  38072  asin1half  42927  acos1half  42928  proot1ex  43734  isosctrlem1ALT  45470  sineq0ALT  45473  negpilt0  45821  coseq0  46399  sinaover2ne0  46403  itgsin0pilem1  46485  itgsinexplem1  46489  itgsinexp  46490  wallispilem1  46600  wallispilem2  46601  wallispi  46605  stirlinglem15  46623  stirlingr  46625  dirker2re  46627  dirkerval2  46629  dirkerre  46630  dirkertrigeqlem2  46634  dirkertrigeqlem3  46635  dirkertrigeq  46636  dirkeritg  46637  dirkercncflem1  46638  dirkercncflem4  46641  fourierdlem5  46647  fourierdlem9  46651  fourierdlem16  46658  fourierdlem18  46660  fourierdlem21  46663  fourierdlem22  46664  fourierdlem24  46666  fourierdlem38  46680  fourierdlem40  46682  fourierdlem43  46685  fourierdlem44  46686  fourierdlem46  46687  fourierdlem50  46691  fourierdlem58  46699  fourierdlem62  46703  fourierdlem66  46707  fourierdlem72  46713  fourierdlem74  46715  fourierdlem75  46716  fourierdlem76  46717  fourierdlem77  46718  fourierdlem78  46719  fourierdlem83  46724  fourierdlem85  46726  fourierdlem87  46728  fourierdlem88  46729  fourierdlem93  46734  fourierdlem94  46735  fourierdlem95  46736  fourierdlem101  46742  fourierdlem102  46743  fourierdlem103  46744  fourierdlem104  46745  fourierdlem111  46752  fourierdlem112  46753  fourierdlem113  46754  fourierdlem114  46755  sqwvfoura  46763  sqwvfourb  46764  fourierswlem  46765  fouriersw  46766  fouriercn  46767  goldrarr  47436  goldrapos  47438