Theorem prmringnzring 49254

Description: A prime ring is a nonzero ring. (Contributed by AV, 26-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
prmringnzring	⊢ (𝑅 ∈ PrmRing → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem prmringnzring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
3	1, 2	isprmrng 49253	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
4		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	0ringprmidl 21544	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
6		eleq2 2851	. . . . . . 7 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = ∅ → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ {(0g‘𝑅)} ∈ ∅))
7		noel 4287	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {(0g‘𝑅)} ∈ ∅
8	7	pm2.21i 120	. . . . . . 7 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ ∅ → 𝑅 ∈ NzRing)
9	6, 8	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = ∅ → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
11	10	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing)))
12		0ringnnzr 20690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
13	12	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
14	13	con1bid 358	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
15		ax1w 13	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing)))
16	14, 15	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing)))
17	11, 16	pm2.61d 181	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
18	17	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
19	3, 18	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∅c0 4282  {csn 4587  ‘cfv 6537  1c1 11128  ♯chash 14396  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Ringcrg 20376  NzRingcnzr 20676  PrmIdealcprmidl 21527  PrmRingcprmrng 49251

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-hash 14397  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18825  df-mnd 18841  df-grp 19064  df-minusg 19065  df-sbg 19066  df-subg 19250  df-cmn 19913  df-abl 19914  df-mgp 20278  df-rng 20292  df-ur 20325  df-ring 20378  df-nzr 20677  df-subrg 20736  df-lmod 21050  df-lss 21120  df-sra 21361  df-rgmod 21362  df-lidl 21399  df-prmidl 21528  df-prmring 49252

This theorem is used by:  prmrngring  49255