Theorem prmringnzring 49510

Description: A prime ring is a nonzero ring. (Contributed by AV, 26-Jun-2026.)

Assertion

Ref	Expression
prmringnzring	⊢ (𝑅 ∈ PrmRing → 𝑅 ∈ NzRing)

Proof of Theorem prmringnzring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (PrmIdeal‘𝑅) = (PrmIdeal‘𝑅)
3	1, 2	isprmrng 49509	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅)))
4		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	0ringprmidl 21634	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → (PrmIdeal‘𝑅) = ∅)
6		eleq2 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = ∅ → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) ↔ {(0g‘𝑅)} ∈ ∅))
7		noel 4283	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ {(0g‘𝑅)} ∈ ∅
8	7	pm2.21i 120	. . . . . . 7 ⊢ ({(0g‘𝑅)} ∈ ∅ → 𝑅 ∈ NzRing)
9	6, 8	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ ((PrmIdeal‘𝑅) = ∅ → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1) → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
11	10	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing)))
12		0ringnnzr 20777	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ ¬ 𝑅 ∈ NzRing))
13	12	bicomd 226	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ 𝑅 ∈ NzRing ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1))
14	13	con1bid 358	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1 ↔ 𝑅 ∈ NzRing))
15		ax1w 13	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑅 ∈ NzRing → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing)))
16	14, 15	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (¬ (♯‘(Base‘𝑅)) = 1 → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing)))
17	11, 16	pm2.61d 181	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ({(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅) → 𝑅 ∈ NzRing))
18	17	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ {(0g‘𝑅)} ∈ (PrmIdeal‘𝑅)) → 𝑅 ∈ NzRing)
19	3, 18	sylbi 220	1 ⊢ (𝑅 ∈ PrmRing → 𝑅 ∈ NzRing)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278  {csn 4583  ‘cfv 6538  1c1 11202  ♯chash 14475  Basecbs 17388  0_gc0g 17611  Ringcrg 20460  NzRingcnzr 20763  PrmIdealcprmidl 21617  PrmRingcprmrng 49507

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-0g 17613  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-grp 19148  df-minusg 19149  df-sbg 19150  df-subg 19334  df-cmn 19997  df-abl 19998  df-mgp 20362  df-rng 20376  df-ur 20409  df-ring 20462  df-nzr 20764  df-subrg 20823  df-lmod 21138  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487  df-prmidl 21618  df-prmring 49508

This theorem is used by:  prmrngring  49511