MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgneldm2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgneldm2i 18395
Description: A sequence of transpositions describes a finitary permutation. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnval.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnval.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnval.n 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
psgneldm2i ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)

Proof of Theorem psgneldm2i
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2779 . . 3 (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊)
2 oveq2 6984 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (𝐺 Σg 𝑤) = (𝐺 Σg 𝑊))
32rspceeqv 3554 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇 ∧ (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑊)) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤))
41, 3mpan2 678 . 2 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤))
5 psgnval.g . . . 4 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
6 psgnval.t . . . 4 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
7 psgnval.n . . . 4 𝑁 = (pmSgn‘𝐷)
85, 6, 7psgneldm2 18394 . . 3 (𝐷𝑉 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤)))
98biimpar 470 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ ∃𝑤 ∈ Word 𝑇(𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg 𝑤)) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)
104, 9sylan2 583 1 ((𝐷𝑉𝑊 ∈ Word 𝑇) → (𝐺 Σg 𝑊) ∈ dom 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  wrex 3090  dom cdm 5407  ran crn 5408  cfv 6188  (class class class)co 6976  Word cword 13672   Σg cgsu 16570  SymGrpcsymg 18266  pmTrspcpmtr 18330  pmSgncpsgn 18378
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-pss 3846  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-iin 4795  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-2o 7906  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-5 11506  df-6 11507  df-7 11508  df-8 11509  df-9 11510  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-hash 13506  df-word 13673  df-concat 13734  df-s1 13759  df-struct 16341  df-ndx 16342  df-slot 16343  df-base 16345  df-sets 16346  df-ress 16347  df-plusg 16434  df-tset 16440  df-0g 16571  df-gsum 16572  df-mre 16715  df-mrc 16716  df-acs 16718  df-mgm 17710  df-sgrp 17752  df-mnd 17763  df-submnd 17804  df-grp 17894  df-minusg 17895  df-subg 18060  df-symg 18267  df-pmtr 18331  df-psgn 18380
This theorem is referenced by:  psgnvalii  18399  gsmtrcl  18406
  Copyright terms: Public domain W3C validator