Theorem qusscaval 31454

Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
qusscaval.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusscaval.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
qusscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusscaval

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusscaval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		eqgvscpbl.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovex 7288	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8		eqgvscpbl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
9	2, 4, 5, 7, 8	qusval 17170	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
10	2, 4, 5, 7, 8	quslem 17171	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐵–onto→(𝐵 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
12		eqgvscpbl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
13		eqgvscpbl.p	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
14		qusscaval.m	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)
15		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
16	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
17		eqgvscpbl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
19		simpr1 1192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
20		simpr2 1193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
21		simpr3 1194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ 𝐵)
22	3, 15, 12, 13, 16, 18, 19, 1, 14, 5, 20, 21	qusvscpbl 31453	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑢) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑣) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑢)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑣))))
23	9, 4, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 22	imasvscaval 17166	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
24		eceq1 8494	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
25		ecexg 8460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
26	6, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
27	24, 5, 26	fvmpt 6857	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28	27	3ad2ant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
29	28	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
30	3, 11, 13, 12	lmodvscl 20055	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	8, 30	syl3an1 1161	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
32		eceq1 8494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑋) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
33		ecexg 8460	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
34	6, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
35	32, 5, 34	fvmpt 6857	. . 3 ⊢ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36	31, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
37	23, 29, 36	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  [cec 8454   / cqs 8455  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892   /_s cqus 17133   ~_QG cqg 18666  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-0g 17069  df-imas 17136  df-qus 17137  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-eqg 18669  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109

This theorem is referenced by: (None)