Theorem qusscaval 31552

Description: Value of the scalar multiplication operation on the quotient structure. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqgvscpbl.v	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
eqgvscpbl.e	⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
eqgvscpbl.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
eqgvscpbl.p	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
eqgvscpbl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
eqgvscpbl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
eqgvscpbl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑆)
qusscaval.n	⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
qusscaval.m	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
qusscaval	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Proof of Theorem qusscaval

Dummy variables 𝑘 𝑢 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusscaval.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺))
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (𝑀 /s (𝑀 ~QG 𝐺)))
3		eqgvscpbl.v	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑀))
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))
6		ovex 7308	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
8		eqgvscpbl.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ LMod)
9	2, 4, 5, 7, 8	qusval 17253	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)) “s 𝑀))
10	2, 4, 5, 7, 8	quslem 17254	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺)):𝐵–onto→(𝐵 / (𝑀 ~QG 𝐺)))
11		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
12		eqgvscpbl.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
13		eqgvscpbl.p	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
14		qusscaval.m	. . 3 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑁)
15		eqgvscpbl.e	. . . 4 ⊢ ∼ = (𝑀 ~QG 𝐺)
16	8	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
17		eqgvscpbl.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
18	17	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ (LSubSp‘𝑀))
19		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑘 ∈ 𝑆)
20		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑢 ∈ 𝐵)
21		simpr3 1195	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → 𝑣 ∈ 𝐵)
22	3, 15, 12, 13, 16, 18, 19, 1, 14, 5, 20, 21	qusvscpbl 31551	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ 𝑢 ∈ 𝐵 ∧ 𝑣 ∈ 𝐵)) → (((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑢) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑣) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑢)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝑘 · 𝑣))))
23	9, 4, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 22	imasvscaval 17249	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)))
24		eceq1 8536	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
25		ecexg 8502	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
26	6, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
27	24, 5, 26	fvmpt 6875	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
28	27	3ad2ant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋) = [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺))
29	28	oveq2d 7291	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘𝑋)) = (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)))
30	3, 11, 13, 12	lmodvscl 20140	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	8, 30	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵)
32		eceq1 8536	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐾 · 𝑋) → [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
33		ecexg 8502	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V → [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V)
34	6, 33	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺) ∈ V
35	32, 5, 34	fvmpt 6875	. . 3 ⊢ ((𝐾 · 𝑋) ∈ 𝐵 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
36	31, 35	syl 17	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ [𝑥](𝑀 ~QG 𝐺))‘(𝐾 · 𝑋)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))
37	23, 29, 36	3eqtr3d 2786	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐾 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐾 ∙ [𝑋](𝑀 ~QG 𝐺)) = [(𝐾 · 𝑋)](𝑀 ~QG 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  [cec 8496   / cqs 8497  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966   /_s cqus 17216   ~_QG cqg 18751  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-ec 8500  df-qs 8504  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-0g 17152  df-imas 17219  df-qus 17220  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194

This theorem is referenced by: (None)