Theorem retancld 15757

Description: Closure of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
resincld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
retancld.2	⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
retancld	⊢ (𝜑 → (tan‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem retancld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		retancld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ≠ 0)
3		retancl 15754	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	1 ⊢ (𝜑 → (tan‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2943  ‘cfv 6415  ℝcr 10776  0cc0 10777  cosccos 15677  tanctan 15678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5203  ax-sep 5216  ax-nul 5223  ax-pow 5282  ax-pr 5346  ax-un 7563  ax-inf2 9304  ax-cnex 10833  ax-resscn 10834  ax-1cn 10835  ax-icn 10836  ax-addcl 10837  ax-addrcl 10838  ax-mulcl 10839  ax-mulrcl 10840  ax-mulcom 10841  ax-addass 10842  ax-mulass 10843  ax-distr 10844  ax-i2m1 10845  ax-1ne0 10846  ax-1rid 10847  ax-rnegex 10848  ax-rrecex 10849  ax-cnre 10850  ax-pre-lttri 10851  ax-pre-lttrn 10852  ax-pre-ltadd 10853  ax-pre-mulgt0 10854  ax-pre-sup 10855

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3713  df-csb 3830  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5186  df-id 5479  df-eprel 5485  df-po 5493  df-so 5494  df-fr 5534  df-se 5535  df-we 5536  df-xp 5585  df-rel 5586  df-cnv 5587  df-co 5588  df-dm 5589  df-rn 5590  df-res 5591  df-ima 5592  df-pred 6189  df-ord 6251  df-on 6252  df-lim 6253  df-suc 6254  df-iota 6373  df-fun 6417  df-fn 6418  df-f 6419  df-f1 6420  df-fo 6421  df-f1o 6422  df-fv 6423  df-isom 6424  df-riota 7209  df-ov 7255  df-oprab 7256  df-mpo 7257  df-om 7685  df-1st 7801  df-2nd 7802  df-wrecs 8089  df-recs 8150  df-rdg 8188  df-1o 8244  df-er 8433  df-pm 8553  df-en 8669  df-dom 8670  df-sdom 8671  df-fin 8672  df-sup 9106  df-inf 9107  df-oi 9174  df-card 9603  df-pnf 10917  df-mnf 10918  df-xr 10919  df-ltxr 10920  df-le 10921  df-sub 11112  df-neg 11113  df-div 11538  df-nn 11879  df-2 11941  df-3 11942  df-n0 12139  df-z 12225  df-uz 12487  df-rp 12635  df-ico 12989  df-fz 13144  df-fzo 13287  df-fl 13415  df-seq 13625  df-exp 13686  df-fac 13891  df-hash 13948  df-shft 14681  df-cj 14713  df-re 14714  df-im 14715  df-sqrt 14849  df-abs 14850  df-limsup 15083  df-clim 15100  df-rlim 15101  df-sum 15301  df-ef 15680  df-sin 15682  df-cos 15683  df-tan 15684

This theorem is referenced by:  tanabsge  25543  tanord1  25573  tanord  25574  tanregt0  25575  logcnlem4  25680