Theorem hash7g 14541

Description: The size of an unordered set of seven different elements. (Contributed by AV, 2-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
hash7g	⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)

Proof of Theorem hash7g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tpfi 9292	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
2		snfi 9047	. . . 4 ⊢ {𝐷} ∈ Fin
3		unfi 9162	. . . 4 ⊢ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐷} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin
5		tpfi 9292	. . 3 ⊢ {𝐸, 𝐹, 𝐺} ∈ Fin
6		simpr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐸)
7		simpr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) → 𝐵 ≠ 𝐸)
8		simpr1 1213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺)) → 𝐶 ≠ 𝐸)
9	6, 7, 8	3anim123i 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸))
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸))
11		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐹)
12		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) → 𝐵 ≠ 𝐹)
13		simpr2 1214	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺)) → 𝐶 ≠ 𝐹)
14	11, 12, 13	3anim123i 1169	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹))
15	14	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹))
16		simp1r3 1290	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → 𝐴 ≠ 𝐺)
17	16	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → 𝐴 ≠ 𝐺)
18		simp2r3 1296	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → 𝐵 ≠ 𝐺)
19	18	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → 𝐵 ≠ 𝐺)
20		simp3r3 1302	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → 𝐶 ≠ 𝐺)
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → 𝐶 ≠ 𝐺)
22		disjtp2 4684	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐸) ∧ (𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹) ∧ (𝐴 ≠ 𝐺 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
23	10, 15, 17, 19, 21, 22	syl113anc 1409	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
24	23	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
25		incom 4162	. . . . . 6 ⊢ ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷})
26		necom 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ≠ 𝐸 ↔ 𝐸 ≠ 𝐷)
27		necom 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ≠ 𝐹 ↔ 𝐹 ≠ 𝐷)
28		necom 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐷 ≠ 𝐺 ↔ 𝐺 ≠ 𝐷)
29	26, 27, 28	3anbi123i 1173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ↔ (𝐸 ≠ 𝐷 ∧ 𝐹 ≠ 𝐷 ∧ 𝐺 ≠ 𝐷))
30	29	birani 509	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)) → (𝐸 ≠ 𝐷 ∧ 𝐹 ≠ 𝐷 ∧ 𝐺 ≠ 𝐷))
31	30	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → (𝐸 ≠ 𝐷 ∧ 𝐹 ≠ 𝐷 ∧ 𝐺 ≠ 𝐷))
32		disjtpsn 4683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ≠ 𝐷 ∧ 𝐹 ≠ 𝐷 ∧ 𝐺 ≠ 𝐷) → ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷}) = ∅)
33	31, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷}) = ∅)
34	33	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷}) = ∅)
35	25, 34	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
36	24, 35	jca 521	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅ ∧ ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅))
37		undisj1 4422	. . . 4 ⊢ ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅ ∧ ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
38	36, 37	sylib 221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
39		hashun 14436	. . 3 ⊢ ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin ∧ {𝐸, 𝐹, 𝐺} ∈ Fin ∧ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})))
40	4, 5, 38, 39	mp3an12i 1494	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})))
41		simp3 1156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝐷)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) → 𝐴 ≠ 𝐷)
43		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) → 𝐵 ≠ 𝐷)
44		simpl 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺)) → 𝐶 ≠ 𝐷)
45	42, 43, 44	3anim123i 1169	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
46	45	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷))
47		disjtpsn 4683	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐷 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷 ∧ 𝐶 ≠ 𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
49	48	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
50		hashun 14436	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐷} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) → (♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) + (♯‘{𝐷})))
51	1, 2, 49, 50	mp3an12i 1494	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) + (♯‘{𝐷})))
52		simp1l1 1285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
53		simp2ll 1259	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → 𝐵 ≠ 𝐶)
54		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → 𝐴 ≠ 𝐶)
55	54	necomd 3015	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) → 𝐶 ≠ 𝐴)
56	55	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) → 𝐶 ≠ 𝐴)
57	56	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → 𝐶 ≠ 𝐴)
58	52, 53, 57	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
59	58	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
60	59	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴))
61		hashtpg 14540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
62	61	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
63	62	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
64	60, 63	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
65		hashsng 14423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐷}) = 1)
66	65	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → (♯‘{𝐷}) = 1)
67	66	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘{𝐷}) = 1)
68	64, 67	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) + (♯‘{𝐷})) = (3 + 1))
69	51, 68	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = (3 + 1))
70		simp1 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺) → 𝐸 ≠ 𝐹)
71		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺) → 𝐹 ≠ 𝐺)
72		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺) → 𝐸 ≠ 𝐺)
73	72	necomd 3015	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺) → 𝐺 ≠ 𝐸)
74	70, 71, 73	3jca 1146	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺) → (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸))
75	74	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)) → (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸))
76	75	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺))) → (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸))
77	76	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸))
78		hashtpg 14540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉) → ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸) ↔ (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3))
79	78	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) → ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸) ↔ (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3))
80	79	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ((𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺 ∧ 𝐺 ≠ 𝐸) ↔ (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3))
81	77, 80	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3)
82	69, 81	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})) = ((3 + 1) + 3))
83		3p1e4 12400	. . . . 5 ⊢ (3 + 1) = 4
84	83	oveq1i 7429	. . . 4 ⊢ ((3 + 1) + 3) = (4 + 3)
85		4p3e7 12409	. . . 4 ⊢ (4 + 3) = 7
86	84, 85	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((3 + 1) + 3) = 7
87	82, 86	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)
88	40, 87	eqtrd 2800	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐷 ∈ 𝑉 ∧ (𝐸 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝑉)) ∧ ((((𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐷) ∧ (𝐴 ≠ 𝐸 ∧ 𝐴 ≠ 𝐹 ∧ 𝐴 ≠ 𝐺)) ∧ ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐷) ∧ (𝐵 ≠ 𝐸 ∧ 𝐵 ≠ 𝐹 ∧ 𝐵 ≠ 𝐺)) ∧ (𝐶 ≠ 𝐷 ∧ (𝐶 ≠ 𝐸 ∧ 𝐶 ≠ 𝐹 ∧ 𝐶 ≠ 𝐺))) ∧ ((𝐷 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐹 ∧ 𝐷 ≠ 𝐺) ∧ (𝐸 ≠ 𝐹 ∧ 𝐸 ≠ 𝐺 ∧ 𝐹 ≠ 𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∪ cun 3904   ∩ cin 3905  ∅c0 4286  {csn 4591  {ctp 4595  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  1c1 11116   + caddc 11118  3c3 12311  4c4 12312  7c7 12315  ♯chash 14384

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-hash 14385

This theorem is used by:  s7f1o  15027