MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash7g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash7g 14531
Description: The size of an unordered set of seven different elements. (Contributed by AV, 2-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
hash7g ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)

Proof of Theorem hash7g
StepHypRef Expression
1 tpfi 9389 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin
2 snfi 9105 . . . 4 {𝐷} ∈ Fin
3 unfi 9234 . . . 4 (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐷} ∈ Fin) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin)
41, 2, 3mp2an 691 . . 3 ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin
5 tpfi 9389 . . 3 {𝐸, 𝐹, 𝐺} ∈ Fin
6 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) → 𝐴𝐸)
7 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) → 𝐵𝐸)
8 simpr1 1194 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺)) → 𝐶𝐸)
96, 7, 83anim123i 1151 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → (𝐴𝐸𝐵𝐸𝐶𝐸))
109adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → (𝐴𝐸𝐵𝐸𝐶𝐸))
11 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) → 𝐴𝐹)
12 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) → 𝐵𝐹)
13 simpr2 1195 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺)) → 𝐶𝐹)
1411, 12, 133anim123i 1151 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → (𝐴𝐹𝐵𝐹𝐶𝐹))
1514adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → (𝐴𝐹𝐵𝐹𝐶𝐹))
16 simp1r3 1271 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → 𝐴𝐺)
1716adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → 𝐴𝐺)
18 simp2r3 1277 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → 𝐵𝐺)
1918adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → 𝐵𝐺)
20 simp3r3 1283 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → 𝐶𝐺)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → 𝐶𝐺)
22 disjtp2 4741 . . . . . . 7 (((𝐴𝐸𝐵𝐸𝐶𝐸) ∧ (𝐴𝐹𝐵𝐹𝐶𝐹) ∧ (𝐴𝐺𝐵𝐺𝐶𝐺)) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
2310, 15, 17, 19, 21, 22syl113anc 1382 . . . . . 6 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
2423adantl 481 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
25 incom 4224 . . . . . 6 ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷})
26 necom 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐸𝐸𝐷)
27 necom 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐹𝐹𝐷)
28 necom 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝐺𝐺𝐷)
2926, 27, 283anbi123i 1155 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ↔ (𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺𝐷))
3029biimpi 216 . . . . . . . . . 10 ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) → (𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺𝐷))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)) → (𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺𝐷))
3231adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → (𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺𝐷))
33 disjtpsn 4740 . . . . . . . 8 ((𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺𝐷) → ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷}) = ∅)
3432, 33syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷}) = ∅)
3534adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ({𝐸, 𝐹, 𝐺} ∩ {𝐷}) = ∅)
3625, 35eqtrid 2786 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
3724, 36jca 511 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅ ∧ ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅))
38 undisj1 4481 . . . 4 ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅ ∧ ({𝐷} ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅) ↔ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
3937, 38sylib 218 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅)
40 hashun 14427 . . 3 ((({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∈ Fin ∧ {𝐸, 𝐹, 𝐺} ∈ Fin ∧ (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∩ {𝐸, 𝐹, 𝐺}) = ∅) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})))
414, 5, 39, 40mp3an12i 1465 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})))
42 simp3 1138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐷)
4342adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) → 𝐴𝐷)
44 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) → 𝐵𝐷)
45 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺)) → 𝐶𝐷)
4643, 44, 453anim123i 1151 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → (𝐴𝐷𝐵𝐷𝐶𝐷))
4746adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → (𝐴𝐷𝐵𝐷𝐶𝐷))
48 disjtpsn 4740 . . . . . . . 8 ((𝐴𝐷𝐵𝐷𝐶𝐷) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
4947, 48syl 17 . . . . . . 7 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
5049adantl 481 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅)
51 hashun 14427 . . . . . 6 (({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝐷} ∈ Fin ∧ ({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∩ {𝐷}) = ∅) → (♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) + (♯‘{𝐷})))
521, 2, 50, 51mp3an12i 1465 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) + (♯‘{𝐷})))
53 simp1l1 1266 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → 𝐴𝐵)
54 simp2ll 1240 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → 𝐵𝐶)
55 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐴𝐶)
5655necomd 2998 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) → 𝐶𝐴)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) → 𝐶𝐴)
58573ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → 𝐶𝐴)
5953, 54, 583jca 1128 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
6059adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
6160adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴))
62 hashtpg 14530 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
63623ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
6463adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴) ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3))
6561, 64mpbid 232 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) = 3)
66 hashsng 14414 . . . . . . . 8 (𝐷𝑉 → (♯‘{𝐷}) = 1)
67663ad2ant2 1134 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) → (♯‘{𝐷}) = 1)
6867adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘{𝐷}) = 1)
6965, 68oveq12d 7463 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ((♯‘{𝐴, 𝐵, 𝐶}) + (♯‘{𝐷})) = (3 + 1))
7052, 69eqtrd 2774 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) = (3 + 1))
71 simp1 1136 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺) → 𝐸𝐹)
72 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺) → 𝐹𝐺)
73 simp2 1137 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺) → 𝐸𝐺)
7473necomd 2998 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺) → 𝐺𝐸)
7571, 72, 743jca 1128 . . . . . . . 8 ((𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺) → (𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸))
7675adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)) → (𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸))
7776adantl 481 . . . . . 6 (((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺))) → (𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸))
7877adantl 481 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸))
79 hashtpg 14530 . . . . . . 7 ((𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉) → ((𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸) ↔ (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3))
80793ad2ant3 1135 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) → ((𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸) ↔ (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3))
8180adantr 480 . . . . 5 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ((𝐸𝐹𝐹𝐺𝐺𝐸) ↔ (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3))
8278, 81mpbid 232 . . . 4 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺}) = 3)
8370, 82oveq12d 7463 . . 3 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})) = ((3 + 1) + 3))
84 3p1e4 12434 . . . . 5 (3 + 1) = 4
8584oveq1i 7455 . . . 4 ((3 + 1) + 3) = (4 + 3)
86 4p3e7 12443 . . . 4 (4 + 3) = 7
8785, 86eqtri 2762 . . 3 ((3 + 1) + 3) = 7
8883, 87eqtrdi 2790 . 2 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → ((♯‘({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷})) + (♯‘{𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)
8941, 88eqtrd 2774 1 ((((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) ∧ 𝐷𝑉 ∧ (𝐸𝑉𝐹𝑉𝐺𝑉)) ∧ ((((𝐴𝐵𝐴𝐶𝐴𝐷) ∧ (𝐴𝐸𝐴𝐹𝐴𝐺)) ∧ ((𝐵𝐶𝐵𝐷) ∧ (𝐵𝐸𝐵𝐹𝐵𝐺)) ∧ (𝐶𝐷 ∧ (𝐶𝐸𝐶𝐹𝐶𝐺))) ∧ ((𝐷𝐸𝐷𝐹𝐷𝐺) ∧ (𝐸𝐹𝐸𝐺𝐹𝐺)))) → (♯‘(({𝐴, 𝐵, 𝐶} ∪ {𝐷}) ∪ {𝐸, 𝐹, 𝐺})) = 7)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  cun 3968  cin 3969  c0 4347  {csn 4648  {ctp 4652  cfv 6572  (class class class)co 7445  Fincfn 8999  1c1 11181   + caddc 11183  3c3 12345  4c4 12346  7c7 12349  chash 14375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-oadd 8522  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-dju 9966  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-n0 12550  df-xnn0 12622  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-hash 14376
This theorem is referenced by:  s7f1o  15011
  Copyright terms: Public domain W3C validator