Theorem sge0xrcl 46740

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0xrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xrcl	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem sge0xrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13358	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		sge0xrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0xrcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0cl 46736	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3933	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  +∞cpnf 11175  ℝ^*cxr 11177  [,]cicc 13276  Σ^{^}csumge0 46717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-sumge0 46718

This theorem is referenced by:  sge0repnf  46741  sge0fsum  46742  sge0sup  46746  sge0less  46747  sge0gerp  46750  sge0pnffigt  46751  sge0ssre  46752  sge0lefi  46753  sge0le  46762  sge0split  46764  sge0ss  46767  sge0iunmptlemre  46770  sge0iunmpt  46773  sge0rpcpnf  46776  sge0isum  46782  sge0xadd  46790  sge0seq  46801  ismeannd  46822  omeunle  46871  omeiunle  46872  omeiunltfirp  46874  caratheodorylem2  46882  isomenndlem  46885  hoicvrrex  46911  ovnlecvr  46913  ovnsubadd  46927  sge0hsphoire  46944  hoidmv1lelem2  46947  hoidmv1lelem3  46948  hoidmvlelem1  46950  hoidmvlelem5  46954  ovolval5lem2  47008