Theorem sge0xrcl 46831

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0xrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xrcl	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem sge0xrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13374	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		sge0xrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0xrcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0cl 46827	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3920	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  +∞cpnf 11167  ℝ^*cxr 11169  [,]cicc 13292  Σ^{^}csumge0 46808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-sum 15640  df-sumge0 46809

This theorem is referenced by:  sge0repnf  46832  sge0fsum  46833  sge0sup  46837  sge0less  46838  sge0gerp  46841  sge0pnffigt  46842  sge0ssre  46843  sge0lefi  46844  sge0le  46853  sge0split  46855  sge0ss  46858  sge0iunmptlemre  46861  sge0iunmpt  46864  sge0rpcpnf  46867  sge0isum  46873  sge0xadd  46881  sge0seq  46892  ismeannd  46913  omeunle  46962  omeiunle  46963  omeiunltfirp  46965  caratheodorylem2  46973  isomenndlem  46976  hoicvrrex  47002  ovnlecvr  47004  ovnsubadd  47018  sge0hsphoire  47035  hoidmv1lelem2  47038  hoidmv1lelem3  47039  hoidmvlelem1  47041  hoidmvlelem5  47045  ovolval5lem2  47099