Theorem sge0xrcl 46920

Description: The arbitrary sum of nonnegative extended reals is an extended real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xrcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
sge0xrcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))

Assertion

Ref	Expression
sge0xrcl	⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem sge0xrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccssxr 13428	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
2		sge0xrcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		sge0xrcl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(0[,]+∞))
4	2, 3	sge0cl 46916	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ (0[,]+∞))
5	1, 4	sselid 3932	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  +∞cpnf 11207  ℝ^*cxr 11209  [,]cicc 13346  Σ^{^}csumge0 46897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-rp 12988  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14338  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-clim 15506  df-sum 15705  df-sumge0 46898

This theorem is referenced by:  sge0repnf  46921  sge0fsum  46922  sge0sup  46926  sge0less  46927  sge0gerp  46930  sge0pnffigt  46931  sge0ssre  46932  sge0lefi  46933  sge0le  46942  sge0split  46944  sge0ss  46947  sge0iunmptlemre  46950  sge0iunmpt  46953  sge0rpcpnf  46956  sge0isum  46962  sge0xadd  46970  sge0seq  46981  ismeannd  47002  omeunle  47051  omeiunle  47052  omeiunltfirp  47054  caratheodorylem2  47062  isomenndlem  47065  hoicvrrex  47091  ovnlecvr  47093  ovnsubadd  47107  sge0hsphoire  47124  hoidmv1lelem2  47127  hoidmv1lelem3  47128  hoidmvlelem1  47130  hoidmvlelem5  47134  ovolval5lem2  47188