Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lempt 42989
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lempt.xph 𝑥𝜑
sge0lempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0lempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0lempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0lempt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0lempt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0lempt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2822 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6863 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0lempt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7 eqid 2822 . . 3 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82, 6, 7fmptdf 6863 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 nfv 1915 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
102, 9nfan 1900 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
11 nfcv 2979 . . . . . . 7 𝑥𝑦
1211nfcsb1 3878 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
13 nfcv 2979 . . . . . 6 𝑥
1411nfcsb1 3878 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
1512, 13, 14nfbr 5089 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶
1610, 15nfim 1897 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
17 eleq1w 2896 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 631 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
19 csbeq1a 3869 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
20 csbeq1a 3869 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
2119, 20breq12d 5055 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
2218, 21imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)))
23 sge0lempt.le . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
2416, 22, 23chvarfv 2243 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
25 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2612nfel1 2995 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)
2710, 26nfim 1897 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2819eleq1d 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
2918, 28imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
3027, 29, 3chvarfv 2243 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3111, 12, 19, 4fvmptf 6771 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3225, 30, 31syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
33 nfcv 2979 . . . . . . . 8 𝑥(0[,]+∞)
3414, 33nfel 2993 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)
3510, 34nfim 1897 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3620eleq1d 2898 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
3718, 36imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
3835, 37, 6chvarfv 2243 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3911, 14, 20, 7fvmptf 6771 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4025, 38, 39syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4132, 40breq12d 5055 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
4224, 41mpbird 260 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
431, 5, 8, 42sge0le 42986 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wnf 1785  wcel 2114  csb 3855   class class class wbr 5042  cmpt 5122  cfv 6334  (class class class)co 7140  0cc0 10526  +∞cpnf 10661  cle 10665  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-clim 14836  df-sum 15034  df-sumge0 42942
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  42994  sge0xadd  43014  meaiunlelem  43047  hoicvrrex  43135  ovnsubaddlem1  43149  sge0hsphoire  43168  hoidmv1lelem1  43170  hoidmv1lelem2  43171  hoidmv1lelem3  43172  hoidmvlelem1  43174  hoidmvlelem2  43175  hoidmvlelem4  43177  hspmbllem2  43206  ovolval5lem1  43231
  Copyright terms: Public domain W3C validator