Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lempt 42569
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lempt.xph 𝑥𝜑
sge0lempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0lempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0lempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0lempt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0lempt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0lempt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2818 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6873 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0lempt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7 eqid 2818 . . 3 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82, 6, 7fmptdf 6873 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 nfv 1906 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
102, 9nfan 1891 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
11 nfcv 2974 . . . . . . 7 𝑥𝑦
1211nfcsb1 3903 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
13 nfcv 2974 . . . . . 6 𝑥
1411nfcsb1 3903 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
1512, 13, 14nfbr 5104 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶
1610, 15nfim 1888 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
17 eleq1w 2892 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 628 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
19 csbeq1a 3894 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
20 csbeq1a 3894 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
2119, 20breq12d 5070 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
2218, 21imbi12d 346 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)))
23 sge0lempt.le . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
2416, 22, 23chvarfv 2232 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
25 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
2612nfel1 2991 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)
2710, 26nfim 1888 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2819eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
2918, 28imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
3027, 29, 3chvarfv 2232 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3111, 12, 19, 4fvmptf 6781 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3225, 30, 31syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
33 nfcv 2974 . . . . . . . 8 𝑥(0[,]+∞)
3414, 33nfel 2989 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)
3510, 34nfim 1888 . . . . . 6 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3620eleq1d 2894 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
3718, 36imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
3835, 37, 6chvarfv 2232 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3911, 14, 20, 7fvmptf 6781 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4025, 38, 39syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4132, 40breq12d 5070 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
4224, 41mpbird 258 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
431, 5, 8, 42sge0le 42566 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wnf 1775  wcel 2105  csb 3880   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  0cc0 10525  +∞cpnf 10660  cle 10664  [,]cicc 12729  Σ^csumge0 42521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-sumge0 42522
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  42574  sge0xadd  42594  meaiunlelem  42627  hoicvrrex  42715  ovnsubaddlem1  42729  sge0hsphoire  42748  hoidmv1lelem1  42750  hoidmv1lelem2  42751  hoidmv1lelem3  42752  hoidmvlelem1  42754  hoidmvlelem2  42755  hoidmvlelem4  42757  hspmbllem2  42786  ovolval5lem1  42811
  Copyright terms: Public domain W3C validator