Theorem sge0lempt 47238

Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lempt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lempt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lempt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sge0lempt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lempt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lempt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lempt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lempt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2, 6, 7	fmptdf 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
10	2, 9	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
11		nfcv 2922	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	11	nfcsb1 3870	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
13		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
14	11	nfcsb1 3870	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
15	12, 13, 14	nfbr 5152	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
16	10, 15	nfim 1929	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
17		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
20		csbeq1a 3861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
21	19, 20	breq12d 5116	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
23		sge0lempt.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	16, 22, 23	chvarfv 2276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
25		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
26	12	nfel1 2938	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)
27	10, 26	nfim 1929	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	19	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
29	18, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
30	27, 29, 3	chvarfv 2276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
31	11, 12, 19, 4	fvmptf 7008	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	25, 30, 31	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
34	14, 33	nfel 2936	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
35	10, 34	nfim 1929	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
36	20	eleq1d 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
37	18, 36	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
38	35, 37, 6	chvarfv 2276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
39	11, 14, 20, 7	fvmptf 7008	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
40	25, 38, 39	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
41	32, 40	breq12d 5116	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
42	24, 41	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
43	1, 5, 8, 42	sge0le 47235	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ⦋csb 3847   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  +∞cpnf 11264   ≤ cle 11268  [,]cicc 13401  Σ^{^}csumge0 47190

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-sumge0 47191

This theorem is used by:  sge0iunmptlemre  47243  sge0xadd  47263  meaiunlelem  47296  hoicvrrex  47384  ovnsubaddlem1  47398  sge0hsphoire  47417  hoidmv1lelem1  47419  hoidmv1lelem2  47420  hoidmv1lelem3  47421  hoidmvlelem1  47423  hoidmvlelem2  47424  hoidmvlelem4  47426  hspmbllem2  47455  ovolval5lem1  47480