Theorem sge0lempt 47011

Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0lempt.xph	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
sge0lempt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sge0lempt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sge0lempt	⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0lempt.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		sge0lempt.xph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		sge0lempt.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
5	2, 3, 4	fmptdf 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6		sge0lempt.c	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
8	2, 6, 7	fmptdf 7110	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐴
10	2, 9	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)
11		nfcv 2931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
12	11	nfcsb1 3884	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
13		nfcv 2931	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
14	11	nfcsb1 3884	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
15	12, 13, 14	nfbr 5159	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶
16	10, 15	nfim 1923	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
17		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴)))
19		csbeq1a 3875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
20		csbeq1a 3875	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
21	19, 20	breq12d 5123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)))
23		sge0lempt.le	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
24	16, 22, 23	chvarfv 2282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
25		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
26	12	nfel1 2947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)
27	10, 26	nfim 1923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
28	19	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
29	18, 28	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
30	27, 29, 3	chvarfv 2282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞))
31	11, 12, 19, 4	fvmptf 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
32	25, 30, 31	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
33		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(0[,]+∞)
34	14, 33	nfel 2945	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)
35	10, 34	nfim 1923	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
36	20	eleq1d 2854	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
37	18, 36	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
38	35, 37, 6	chvarfv 2282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞))
39	11, 14, 20, 7	fvmptf 7009	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
40	25, 38, 39	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶)
41	32, 40	breq12d 5123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦) ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐶))
42	24, 41	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)‘𝑦))
43	1, 5, 8, 42	sge0le 47008	1 ⊢ (𝜑 → (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  ⦋csb 3861   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  0cc0 11096  +∞cpnf 11236   ≤ cle 11240  [,]cicc 13371  Σ^{^}csumge0 46963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734  df-sumge0 46964

This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  47016  sge0xadd  47036  meaiunlelem  47069  hoicvrrex  47157  ovnsubaddlem1  47171  sge0hsphoire  47190  hoidmv1lelem1  47192  hoidmv1lelem2  47193  hoidmv1lelem3  47194  hoidmvlelem1  47196  hoidmvlelem2  47197  hoidmvlelem4  47199  hspmbllem2  47228  ovolval5lem1  47253