Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sge0lempt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sge0lempt 41565
Description: If all of the terms of sums compare, so do the sums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sge0lempt.xph 𝑥𝜑
sge0lempt.a (𝜑𝐴𝑉)
sge0lempt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.c ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
sge0lempt.le ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sge0lempt (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem sge0lempt
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sge0lempt.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
2 sge0lempt.xph . . 3 𝑥𝜑
3 sge0lempt.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞))
4 eqid 2778 . . 3 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
52, 3, 4fmptdf 6653 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶(0[,]+∞))
6 sge0lempt.c . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞))
7 eqid 2778 . . 3 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
82, 6, 7fmptdf 6653 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶):𝐴⟶(0[,]+∞))
9 nfv 1957 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
102, 9nfan 1946 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
11 nfcv 2934 . . . . . . 7 𝑥𝑦
1211nfcsb1 3766 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
13 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑥
1411nfcsb1 3766 . . . . . 6 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶
1512, 13, 14nfbr 4935 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶
1610, 15nfim 1943 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
17 eleq1w 2842 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 622 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
19 csbeq1a 3760 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
20 csbeq1a 3760 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐶)
2119, 20breq12d 4901 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
2218, 21imbi12d 336 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)))
23 sge0lempt.le . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
2416, 22, 23chvar 2360 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶)
25 simpr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
26 simpl 476 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝜑)
2712nfel1 2948 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)
2810, 27nfim 1943 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
2919eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)))
3018, 29imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))))
3128, 30, 3chvar 2360 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3226, 25, 31syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞))
3311, 12, 19, 4fvmptf 6564 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
3425, 32, 33syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐵)
35 nfcv 2934 . . . . . . . . 9 𝑥(0[,]+∞)
3614, 35nfel 2946 . . . . . . . 8 𝑥𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)
3710, 36nfim 1943 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
3820eleq1d 2844 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ∈ (0[,]+∞) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)))
3918, 38imbi12d 336 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ (0[,]+∞)) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))))
4037, 39, 6chvar 2360 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4126, 25, 40syl2anc 579 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞))
4211, 14, 20, 7fvmptf 6564 . . . . 5 ((𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐶 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4325, 41, 42syl2anc 579 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) = 𝑦 / 𝑥𝐶)
4434, 43breq12d 4901 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦) ↔ 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐶))
4524, 44mpbird 249 . 2 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) ≤ ((𝑥𝐴𝐶)‘𝑦))
461, 5, 8, 45sge0le 41562 1 (𝜑 → (Σ^‘(𝑥𝐴𝐵)) ≤ (Σ^‘(𝑥𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wnf 1827  wcel 2107  csb 3751   class class class wbr 4888  cmpt 4967  cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  +∞cpnf 10410  cle 10414  [,]cicc 12495  Σ^csumge0 41517
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-ico 12498  df-icc 12499  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-sum 14834  df-sumge0 41518
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  41570  sge0xadd  41590  meaiunlelem  41623  hoicvrrex  41711  ovnsubaddlem1  41725  sge0hsphoire  41744  hoidmv1lelem1  41746  hoidmv1lelem2  41747  hoidmv1lelem3  41748  hoidmvlelem1  41750  hoidmvlelem2  41751  hoidmvlelem4  41753  hspmbllem2  41782  ovolval5lem1  41807
  Copyright terms: Public domain W3C validator