Theorem stoweidlem30 43571

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem30.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem30	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
2	1	anbi2d 629	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)))
3		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑃‘𝑠) = (𝑃‘𝑆))
4		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
5	4	sumeq2sdv 15416	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
6	5	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
7	3, 6	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
8	2, 7	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))))
9		stoweidlem30.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
10		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
11	10	sumeq2sdv 15416	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
12	11	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
13		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ 𝑇)
14		stoweidlem30.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnrecred 12024	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17		fzfid 13693	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
18		stoweidlem30.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
19		stoweidlem30.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
20		stoweidlem30.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
21	18, 19, 20	stoweidlem15 43556	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
22	21	simp1d 1141	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
23	22	an32s 649	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
25	16, 24	remulcld 11005	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
26	9, 12, 13, 25	fvmptd3 6898	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
27	8, 26	vtoclg 3505	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
28	27	anabsi7 668	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ...cfz 13239  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  stoweidlem37  43578  stoweidlem38  43579  stoweidlem44  43585