Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem30 44357
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem30.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem30.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem30.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem30.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem30.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem30 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍   𝑖,𝑀,𝑑   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑑,𝑓,β„Ž)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2822 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
21anbi2d 630 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)))
3 fveq2 6843 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜π‘†))
4 fveq2 6843 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
54sumeq2sdv 15594 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
65oveq2d 7374 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
73, 6eqeq12d 2749 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘ ) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))))
82, 7imbi12d 345 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘ ) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))))
9 stoweidlem30.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
10 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
1110sumeq2sdv 15594 . . . . 5 (𝑑 = 𝑠 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
1211oveq2d 7374 . . . 4 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )))
13 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝑠 ∈ 𝑇)
14 stoweidlem30.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1514nnrecred 12209 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17 fzfid 13884 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
18 stoweidlem30.1 . . . . . . . . 9 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
19 stoweidlem30.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
20 stoweidlem30.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2118, 19, 20stoweidlem15 44342 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ≀ 1))
2221simp1d 1143 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2322an32s 651 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 15624 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2516, 24remulcld 11190 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
269, 12, 13, 25fvmptd3 6972 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘ ) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )))
278, 26vtoclg 3524 . 2 (𝑆 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))))
2827anabsi7 670 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   Β· cmul 11061   ≀ cle 11195   / cdiv 11817  β„•cn 12158  ...cfz 13430  Ξ£csu 15576
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  stoweidlem37  44364  stoweidlem38  44365  stoweidlem44  44371
  Copyright terms: Public domain W3C validator