Theorem stoweidlem30 47039

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem30.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem30	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, ℎ)   𝐴(𝑡, 𝑖)   𝑃(𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑖)   𝑄(𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑖)   𝑆(𝑡, 𝑓, ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓, ℎ)   𝑍(𝑡, 𝑓, 𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
2	1	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)))
3		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑃‘𝑠) = (𝑃‘𝑆))
4		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
5	4	sumeq2sdv 15870	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
6	5	oveq2d 7436	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
7	3, 6	eqeq12d 2777	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
8	2, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))))
9		stoweidlem30.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
10		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
11	10	sumeq2sdv 15870	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
12	11	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
13		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ 𝑇)
14		stoweidlem30.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnrecred 12389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17		fzfid 14116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
18		stoweidlem30.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
19		stoweidlem30.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
20		stoweidlem30.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
21	18, 19, 20	stoweidlem15 47024	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
22	21	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
23	22	an32s 665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
25	16, 24	remulcld 11339	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
26	9, 12, 13, 25	fvmptd3 7017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
27	8, 26	vtoclg 3518	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
28	27	anabsi7 684	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  {crab 3413   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ...cfz 13639  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by:  stoweidlem37  47046  stoweidlem38  47047  stoweidlem44  47053