Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem30 40759
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺𝑖) is used for p(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem30.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem30 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2838 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑇𝑆𝑇))
21anbi2d 614 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑𝑠𝑇) ↔ (𝜑𝑆𝑇)))
3 fveq2 6333 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑃𝑠) = (𝑃𝑆))
4 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑖)‘𝑠) = ((𝐺𝑖)‘𝑆))
54sumeq2sdv 14643 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))
65oveq2d 6812 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
73, 6eqeq12d 2786 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))))
82, 7imbi12d 333 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑𝑠𝑇) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))))
9 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝑠𝑇)
10 stoweidlem30.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnrecred 11272 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
1211adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
13 fzfid 12980 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
14 stoweidlem30.1 . . . . . . . . 9 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
15 stoweidlem30.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
16 stoweidlem30.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
1714, 15, 16stoweidlem15 40744 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠𝑇) → (((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
1817simp1d 1136 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
1918an32s 631 . . . . . 6 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2013, 19fsumrecl 14673 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2112, 20remulcld 10276 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
22 fveq2 6333 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺𝑖)‘𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑠))
2322sumeq2sdv 14643 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
2423oveq2d 6812 . . . . 5 (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
25 stoweidlem30.2 . . . . 5 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
2624, 25fvmptg 6424 . . . 4 ((𝑠𝑇 ∧ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
279, 21, 26syl2anc 573 . . 3 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
288, 27vtoclg 3417 . 2 (𝑆𝑇 → ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))))
2928anabsi7 650 1 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065   class class class wbr 4787  cmpt 4864  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142  1c1 10143   · cmul 10147  cle 10281   / cdiv 10890  cn 11226  ...cfz 12533  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  stoweidlem37  40766  stoweidlem38  40767  stoweidlem44  40773
  Copyright terms: Public domain W3C validator