Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem30 46050
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺𝑖) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem30.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem30 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2828 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑠𝑇𝑆𝑇))
21anbi2d 630 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑𝑠𝑇) ↔ (𝜑𝑆𝑇)))
3 fveq2 6905 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → (𝑃𝑠) = (𝑃𝑆))
4 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺𝑖)‘𝑠) = ((𝐺𝑖)‘𝑆))
54sumeq2sdv 15740 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))
65oveq2d 7448 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
73, 6eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))))
82, 7imbi12d 344 . . 3 (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑𝑠𝑇) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))))
9 stoweidlem30.2 . . . 4 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
10 fveq2 6905 . . . . . 6 (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺𝑖)‘𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑠))
1110sumeq2sdv 15740 . . . . 5 (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠))
1211oveq2d 7448 . . . 4 (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
13 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑇) → 𝑠𝑇)
14 stoweidlem30.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1514nnrecred 12318 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17 fzfid 14015 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
18 stoweidlem30.1 . . . . . . . . 9 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
19 stoweidlem30.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
20 stoweidlem30.5 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
2118, 19, 20stoweidlem15 46035 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠𝑇) → (((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
2221simp1d 1142 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2322an32s 652 . . . . . 6 (((𝜑𝑠𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 15771 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
2516, 24remulcld 11292 . . . 4 ((𝜑𝑠𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
269, 12, 13, 25fvmptd3 7038 . . 3 ((𝜑𝑠𝑇) → (𝑃𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑠)))
278, 26vtoclg 3553 . 2 (𝑆𝑇 → ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))))
2827anabsi7 671 1 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  {crab 3435   class class class wbr 5142  cmpt 5224  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161  cle 11297   / cdiv 11921  cn 12267  ...cfz 13548  Σcsu 15723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724
This theorem is referenced by:  stoweidlem37  46057  stoweidlem38  46058  stoweidlem44  46064
  Copyright terms: Public domain W3C validator