Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem30 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem30 45477
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem30.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem30.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem30.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem30.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem30.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem30 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍   𝑖,𝑀,𝑑   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑑,𝑓,β„Ž)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2813 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
21anbi2d 628 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)))
3 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘ ) = (π‘ƒβ€˜π‘†))
4 fveq2 6890 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
54sumeq2sdv 15677 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑆 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
65oveq2d 7429 . . . . 5 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
73, 6eqeq12d 2741 . . . 4 (𝑠 = 𝑆 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘ ) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )) ↔ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))))
82, 7imbi12d 343 . . 3 (𝑠 = 𝑆 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘ ) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))))
9 stoweidlem30.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
10 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
1110sumeq2sdv 15677 . . . . 5 (𝑑 = 𝑠 β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ))
1211oveq2d 7429 . . . 4 (𝑑 = 𝑠 β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )))
13 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ 𝑠 ∈ 𝑇)
14 stoweidlem30.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1514nnrecred 12288 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
1615adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17 fzfid 13965 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
18 stoweidlem30.1 . . . . . . . . 9 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
19 stoweidlem30.4 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
20 stoweidlem30.5 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
2118, 19, 20stoweidlem15 45462 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ≀ 1))
2221simp1d 1139 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2322an32s 650 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2417, 23fsumrecl 15707 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2516, 24remulcld 11269 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
269, 12, 13, 25fvmptd3 7021 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘ ) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘ )))
278, 26vtoclg 3533 . 2 (𝑆 ∈ 𝑇 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))))
2827anabsi7 669 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   Β· cmul 11138   ≀ cle 11274   / cdiv 11896  β„•cn 12237  ...cfz 13511  Ξ£csu 15659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-exp 14054  df-hash 14317  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-clim 15459  df-sum 15660
This theorem is referenced by:  stoweidlem37  45484  stoweidlem38  45485  stoweidlem44  45491
  Copyright terms: Public domain W3C validator