Theorem stoweidlem30 46026

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem30.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem30	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
2	1	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)))
3		fveq2 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑃‘𝑠) = (𝑃‘𝑆))
4		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
5	4	sumeq2sdv 15724	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
6	5	oveq2d 7426	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
7	3, 6	eqeq12d 2752	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
8	2, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))))
9		stoweidlem30.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
10		fveq2 6881	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
11	10	sumeq2sdv 15724	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
12	11	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ 𝑇)
14		stoweidlem30.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnrecred 12296	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17		fzfid 13996	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
18		stoweidlem30.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
19		stoweidlem30.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
20		stoweidlem30.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
21	18, 19, 20	stoweidlem15 46011	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
22	21	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
23	22	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15755	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
25	16, 24	remulcld 11270	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
26	9, 12, 13, 25	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
27	8, 26	vtoclg 3538	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
28	27	anabsi7 671	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  {crab 3420   class class class wbr 5124   ↦ cmpt 5206  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   · cmul 11139   ≤ cle 11275   / cdiv 11899  ℕcn 12245  ...cfz 13529  Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708

This theorem is referenced by:  stoweidlem37  46033  stoweidlem38  46034  stoweidlem44  46040