Theorem stoweidlem30 46021

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem30.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem30.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem30.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem30.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem30.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem30	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem30

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑠 ∈ 𝑇 ↔ 𝑆 ∈ 𝑇))
2	1	anbi2d 630	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ↔ (𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇)))
3		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑃‘𝑠) = (𝑃‘𝑆))
4		fveq2 6822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
5	4	sumeq2sdv 15610	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
6	5	oveq2d 7365	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
7	3, 6	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ↔ (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
8	2, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))))
9		stoweidlem30.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
10		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
11	10	sumeq2sdv 15610	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠))
12	11	oveq2d 7365	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 𝑠 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
13		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → 𝑠 ∈ 𝑇)
14		stoweidlem30.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
15	14	nnrecred 12179	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
17		fzfid 13880	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
18		stoweidlem30.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
19		stoweidlem30.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
20		stoweidlem30.5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
21	18, 19, 20	stoweidlem15 46006	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ≤ 1))
22	21	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
23	22	an32s 652	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
24	17, 23	fsumrecl 15641	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠) ∈ ℝ)
25	16, 24	remulcld 11145	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)) ∈ ℝ)
26	9, 12, 13, 25	fvmptd3 6953	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑠) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑠)))
27	8, 26	vtoclg 3509	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑇 → ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))))
28	27	anabsi7 671	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3394   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   · cmul 11014   ≤ cle 11150   / cdiv 11777  ℕcn 12128  ...cfz 13410  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  stoweidlem37  46028  stoweidlem38  46029  stoweidlem44  46035