Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem38 40824
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺𝑖) is used for p(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem38.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem38.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem38.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem38.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem38.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem38 ((𝜑𝑆𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑆) ∧ (𝑃𝑆) ≤ 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem38
StepHypRef Expression
1 stoweidlem38.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnrecred 11323 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
32adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4 fzfid 12980 . . . . 5 ((𝜑𝑆𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
5 stoweidlem38.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
6 stoweidlem38.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
7 stoweidlem38.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
85, 6, 7stoweidlem15 40801 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → (((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑆) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 1))
98simp1d 1172 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
109an32s 642 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
114, 10fsumrecl 14752 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
12 1red 10294 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13 0le1 10805 . . . . . . 7 0 ≤ 1
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
151nnred 11291 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
161nngt0d 11321 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
17 divge0 11146 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
1812, 14, 15, 16, 17syl22anc 867 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑀))
1918adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
208simp2d 1173 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑆))
2120an32s 642 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑆))
224, 10, 21fsumge0 14813 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))
233, 11, 19, 22mulge0d 10858 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
24 stoweidlem38.2 . . . 4 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
255, 24, 1, 6, 7stoweidlem30 40816 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
2623, 25breqtrrd 4837 . 2 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ (𝑃𝑆))
27 1red 10294 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
288simp3d 1174 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
2928an32s 642 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
304, 10, 27, 29fsumle 14817 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31 fzfid 12980 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
32 ax-1cn 10247 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
33 fsumconst 14808 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
3431, 32, 33sylancl 580 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
351nnnn0d 11598 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
36 hashfz1 13338 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
3837oveq1d 6857 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
391nncnd 11292 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4039mulid1d 10311 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
4134, 38, 403eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4241adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4330, 42breqtrd 4835 . . . . 5 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀)
4415adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → 𝑀 ∈ ℝ)
45 1red 10294 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝑇) → 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 10804 . . . . . . . 8 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 < 1)
4815, 16jca 507 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
4948adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50 divgt0 11145 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < (1 / 𝑀))
5145, 47, 49, 50syl21anc 866 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 < (1 / 𝑀))
52 lemul2 11130 . . . . . 6 ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
5311, 44, 3, 51, 52syl112anc 1493 . . . . 5 ((𝜑𝑆𝑇) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
5443, 53mpbid 223 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
5525, 54eqbrtrd 4831 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
5632a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
571nnne0d 11322 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5856, 39, 573jca 1158 . . . . 5 (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
5958adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
60 divcan1 10948 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
6159, 60syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
6255, 61breqtrd 4835 . 2 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) ≤ 1)
6326, 62jca 507 1 ((𝜑𝑆𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑆) ∧ (𝑃𝑆) ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  {crab 3059   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  Fincfn 8160  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   · cmul 10194   < clt 10328  cle 10329   / cdiv 10938  cn 11274  0cn0 11538  ...cfz 12533  chash 13321  Σcsu 14703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-ico 12383  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-sum 14704
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  40830
  Copyright terms: Public domain W3C validator