Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stoweidlem38 44754
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem38.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem38.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem38.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem38.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem38.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem38 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍   𝑖,𝑀,𝑑   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑑,𝑓,β„Ž)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑖)
Proof of Theorem stoweidlem38
StepHypRef Expression
1 stoweidlem38.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21nnrecred 12263 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
32adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4 fzfid 13938 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
5 stoweidlem38.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
6 stoweidlem38.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
7 stoweidlem38.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
85, 6, 7stoweidlem15 44731 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1))
98simp1d 1143 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
109an32s 651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
114, 10fsumrecl 15680 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
12 1red 11215 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
13 0le1 11737 . . . . . . 7 0 ≀ 1
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
151nnred 12227 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
161nngt0d 12261 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
17 divge0 12083 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
1812, 14, 15, 16, 17syl22anc 838 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
1918adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
208simp2d 1144 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
2120an32s 651 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
224, 10, 21fsumge0 15741 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
233, 11, 19, 22mulge0d 11791 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
24 stoweidlem38.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
255, 24, 1, 6, 7stoweidlem30 44746 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
2623, 25breqtrrd 5177 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†))
27 1red 11215 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 1 ∈ ℝ)
288simp3d 1145 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1)
2928an32s 651 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1)
304, 10, 27, 29fsumle 15745 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31 fzfid 13938 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
32 ax-1cn 11168 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
33 fsumconst 15736 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
3431, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
351nnnn0d 12532 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
36 hashfz1 14306 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
3837oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1) = (𝑀 Β· 1))
391nncnd 12228 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4039mulridd 11231 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4134, 38, 403eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4241adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4330, 42breqtrd 5175 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀)
4415adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
45 1red 11215 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 11736 . . . . . . . 8 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 1)
4815, 16jca 513 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50 divgt0 12082 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ 0 < (1 / 𝑀))
5145, 47, 49, 50syl21anc 837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 < (1 / 𝑀))
52 lemul2 12067 . . . . . 6 ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀)))
5311, 44, 3, 51, 52syl112anc 1375 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀)))
5443, 53mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀))
5525, 54eqbrtrd 5171 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀))
5632a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
571nnne0d 12262 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
5856, 39, 573jca 1129 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
5958adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
60 divcan1 11881 . . . 4 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀) = 1)
6159, 60syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀) = 1)
6255, 61breqtrd 5175 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1)
6326, 62jca 513 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  {crab 3433   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   < clt 11248   ≀ cle 11249   / cdiv 11871  β„•cn 12212  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β™―chash 14290  Ξ£csu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  44760
  Copyright terms: Public domain W3C validator