Theorem stoweidlem38 46880

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem38.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem38.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem38.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem38.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem38.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem38	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, ℎ)   𝐴(𝑡, 𝑖)   𝑃(𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑖)   𝑄(𝑡, 𝑓, ℎ, 𝑖)   𝑆(𝑡, 𝑓, ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓, ℎ)   𝑍(𝑡, 𝑓, 𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem38

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem38.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnrecred 12333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4		fzfid 14059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
5		stoweidlem38.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
6		stoweidlem38.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
7		stoweidlem38.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8	5, 6, 7	stoweidlem15 46857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1))
9	8	simp1d 1160	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
10	9	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
11	4, 10	fsumrecl 15842	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
12		1red 11255	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13		0le1 11783	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	1	nnred 12294	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	1	nngt0d 12331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
17		divge0 12130	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑀))
19	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
20	8	simp2d 1161	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
21	20	an32s 665	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
22	4, 10, 21	fsumge0 15904	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
23	3, 11, 19, 22	mulge0d 11837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
24		stoweidlem38.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
25	5, 24, 1, 6, 7	stoweidlem30 46872	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
26	23, 25	breqtrrd 5133	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑆))
27		1red 11255	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
28	8	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
29	28	an32s 665	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
30	4, 10, 27, 29	fsumle 15908	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31		fzfid 14059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
32		ax-1cn 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		fsumconst 15898	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
35	1	nnnn0d 12611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
36		hashfz1 14432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
38	37	oveq1d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
39	1	nncnd 12295	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	mulridd 11272	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
41	34, 38, 40	3eqtrd 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
42	41	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
43	30, 42	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀)
44	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		1red 11255	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
46		0lt1 11782	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < 1)
48	15, 16	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50		divgt0 12129	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < (1 / 𝑀))
51	45, 47, 49, 50	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < (1 / 𝑀))
52		lemul2 12114	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
53	11, 44, 3, 51, 52	syl112anc 1401	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
54	43, 53	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
55	25, 54	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
56	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	1	nnne0d 12332	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
58	56, 39, 57	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
59	58	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
60		divcan1 11927	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
61	59, 60	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
62	55, 61	breqtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ 1)
63	26, 62	jca 521	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  Fincfn 8956  ℂcc 11144  ℝcr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   · cmul 11151   < clt 11289   ≤ cle 11290   / cdiv 11917  ℕcn 12279  ℕ₀cn0 12550  ...cfz 13583  ♯chash 14416  Σcsu 15795

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-inf2 9624  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-oi 9486  df-card 9966  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-div 11918  df-nn 12280  df-2 12349  df-3 12350  df-n0 12551  df-z 12638  df-uz 12910  df-rp 13065  df-ico 13426  df-fz 13584  df-fzo 13732  df-seq 14088  df-exp 14148  df-hash 14417  df-cj 15208  df-re 15209  df-im 15210  df-sqrt 15344  df-abs 15345  df-clim 15597  df-sum 15796

This theorem is used by:  stoweidlem44  46886