Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem38 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem38 43548
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺𝑖) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem38.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem38.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem38.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem38.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem38.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem38 ((𝜑𝑆𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑆) ∧ (𝑃𝑆) ≤ 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem38
StepHypRef Expression
1 stoweidlem38.3 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
21nnrecred 12022 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
32adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4 fzfid 13689 . . . . 5 ((𝜑𝑆𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
5 stoweidlem38.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
6 stoweidlem38.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
7 stoweidlem38.5 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
85, 6, 7stoweidlem15 43525 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → (((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑆) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 1))
98simp1d 1141 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
109an32s 649 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
114, 10fsumrecl 15442 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
12 1red 10975 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13 0le1 11496 . . . . . . 7 0 ≤ 1
1413a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 1)
151nnred 11986 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
161nngt0d 12020 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝑀)
17 divge0 11842 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
1812, 14, 15, 16, 17syl22anc 836 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑀))
1918adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
208simp2d 1142 . . . . . 6 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑆))
2120an32s 649 . . . . 5 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑆))
224, 10, 21fsumge0 15503 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆))
233, 11, 19, 22mulge0d 11550 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
24 stoweidlem38.2 . . . 4 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
255, 24, 1, 6, 7stoweidlem30 43540 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)))
2623, 25breqtrrd 5107 . 2 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 ≤ (𝑃𝑆))
27 1red 10975 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
288simp3d 1143 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆𝑇) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
2928an32s 649 . . . . . . 7 (((𝜑𝑆𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
304, 10, 27, 29fsumle 15507 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31 fzfid 13689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
32 ax-1cn 10928 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
33 fsumconst 15498 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
351nnnn0d 12291 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
36 hashfz1 14056 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
3837oveq1d 7284 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
391nncnd 11987 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4039mulid1d 10991 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
4134, 38, 403eqtrd 2784 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4241adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4330, 42breqtrd 5105 . . . . 5 ((𝜑𝑆𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀)
4415adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → 𝑀 ∈ ℝ)
45 1red 10975 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝑇) → 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 11495 . . . . . . . 8 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 < 1)
4815, 16jca 512 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50 divgt0 11841 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < (1 / 𝑀))
5145, 47, 49, 50syl21anc 835 . . . . . 6 ((𝜑𝑆𝑇) → 0 < (1 / 𝑀))
52 lemul2 11826 . . . . . 6 ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
5311, 44, 3, 51, 52syl112anc 1373 . . . . 5 ((𝜑𝑆𝑇) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
5443, 53mpbid 231 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
5525, 54eqbrtrd 5101 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
5632a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
571nnne0d 12021 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ≠ 0)
5856, 39, 573jca 1127 . . . . 5 (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
5958adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑆𝑇) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
60 divcan1 11640 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
6159, 60syl 17 . . 3 ((𝜑𝑆𝑇) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
6255, 61breqtrd 5105 . 2 ((𝜑𝑆𝑇) → (𝑃𝑆) ≤ 1)
6326, 62jca 512 1 ((𝜑𝑆𝑇) → (0 ≤ (𝑃𝑆) ∧ (𝑃𝑆) ≤ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  wral 3066  {crab 3070   class class class wbr 5079  cmpt 5162  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  Fincfn 8714  cc 10868  cr 10869  0cc0 10870  1c1 10871   · cmul 10875   < clt 11008  cle 11009   / cdiv 11630  cn 11971  0cn0 12231  ...cfz 13236  chash 14040  Σcsu 15393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-inf2 9375  ax-cnex 10926  ax-resscn 10927  ax-1cn 10928  ax-icn 10929  ax-addcl 10930  ax-addrcl 10931  ax-mulcl 10932  ax-mulrcl 10933  ax-mulcom 10934  ax-addass 10935  ax-mulass 10936  ax-distr 10937  ax-i2m1 10938  ax-1ne0 10939  ax-1rid 10940  ax-rnegex 10941  ax-rrecex 10942  ax-cnre 10943  ax-pre-lttri 10944  ax-pre-lttrn 10945  ax-pre-ltadd 10946  ax-pre-mulgt0 10947  ax-pre-sup 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-isom 6440  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8479  df-en 8715  df-dom 8716  df-sdom 8717  df-fin 8718  df-sup 9177  df-oi 9245  df-card 9696  df-pnf 11010  df-mnf 11011  df-xr 11012  df-ltxr 11013  df-le 11014  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12580  df-rp 12728  df-ico 13082  df-fz 13237  df-fzo 13380  df-seq 13718  df-exp 13779  df-hash 14041  df-cj 14806  df-re 14807  df-im 14808  df-sqrt 14942  df-abs 14943  df-clim 15193  df-sum 15394
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  43554
  Copyright terms: Public domain W3C validator