Theorem stoweidlem38 43579

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem38.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem38.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem38.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem38.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem38.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem38	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem38

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem38.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnrecred 12024	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4		fzfid 13693	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
5		stoweidlem38.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
6		stoweidlem38.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
7		stoweidlem38.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8	5, 6, 7	stoweidlem15 43556	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1))
9	8	simp1d 1141	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
10	9	an32s 649	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
11	4, 10	fsumrecl 15446	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
12		1red 10976	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13		0le1 11498	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	1	nnred 11988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	1	nngt0d 12022	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
17		divge0 11844	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑀))
19	18	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
20	8	simp2d 1142	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
21	20	an32s 649	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
22	4, 10, 21	fsumge0 15507	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
23	3, 11, 19, 22	mulge0d 11552	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
24		stoweidlem38.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
25	5, 24, 1, 6, 7	stoweidlem30 43571	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
26	23, 25	breqtrrd 5102	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑆))
27		1red 10976	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
28	8	simp3d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
29	28	an32s 649	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
30	4, 10, 27, 29	fsumle 15511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31		fzfid 13693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
32		ax-1cn 10929	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		fsumconst 15502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
34	31, 32, 33	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
35	1	nnnn0d 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
36		hashfz1 14060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
38	37	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
39	1	nncnd 11989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	mulid1d 10992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
41	34, 38, 40	3eqtrd 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
42	41	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
43	30, 42	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀)
44	15	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		1red 10976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
46		0lt1 11497	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < 1)
48	15, 16	jca 512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49	48	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50		divgt0 11843	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < (1 / 𝑀))
51	45, 47, 49, 50	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < (1 / 𝑀))
52		lemul2 11828	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
53	11, 44, 3, 51, 52	syl112anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
54	43, 53	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
55	25, 54	eqbrtrd 5096	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
56	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	1	nnne0d 12023	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
58	56, 39, 57	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
59	58	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
60		divcan1 11642	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
61	59, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
62	55, 61	breqtrd 5100	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ 1)
63	26, 62	jca 512	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   / cdiv 11632  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ...cfz 13239  ♯chash 14044  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  43585