Theorem stoweidlem38 46425

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem38.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem38.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem38.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem38.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem38.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem38	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem38

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem38.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnrecred 12210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4		fzfid 13910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
5		stoweidlem38.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
6		stoweidlem38.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
7		stoweidlem38.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8	5, 6, 7	stoweidlem15 46402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1))
9	8	simp1d 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
10	9	an32s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
11	4, 10	fsumrecl 15671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
12		1red 11147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13		0le1 11674	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	1	nnred 12174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	1	nngt0d 12208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
17		divge0 12025	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑀))
19	18	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
20	8	simp2d 1144	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
21	20	an32s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
22	4, 10, 21	fsumge0 15732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
23	3, 11, 19, 22	mulge0d 11728	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
24		stoweidlem38.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
25	5, 24, 1, 6, 7	stoweidlem30 46417	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
26	23, 25	breqtrrd 5128	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑆))
27		1red 11147	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
28	8	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
29	28	an32s 653	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
30	4, 10, 27, 29	fsumle 15736	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31		fzfid 13910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
32		ax-1cn 11098	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		fsumconst 15727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
34	31, 32, 33	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
35	1	nnnn0d 12476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
36		hashfz1 14283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
38	37	oveq1d 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
39	1	nncnd 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	mulridd 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
41	34, 38, 40	3eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
42	41	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
43	30, 42	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀)
44	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		1red 11147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
46		0lt1 11673	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < 1)
48	15, 16	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50		divgt0 12024	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < (1 / 𝑀))
51	45, 47, 49, 50	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < (1 / 𝑀))
52		lemul2 12008	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
53	11, 44, 3, 51, 52	syl112anc 1377	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
54	43, 53	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
55	25, 54	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
56	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	1	nnne0d 12209	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
58	56, 39, 57	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
59	58	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
60		divcan1 11819	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
61	59, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
62	55, 61	breqtrd 5126	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ 1)
63	26, 62	jca 511	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3401   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  ℂcc 11038  ℝcr 11039  0cc0 11040  1c1 11041   · cmul 11045   < clt 11180   ≤ cle 11181   / cdiv 11808  ℕcn 12159  ℕ₀cn0 12415  ...cfz 13437  ♯chash 14267  Σcsu 15623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-inf2 9564  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-ico 13281  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-exp 13999  df-hash 14268  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-clim 15425  df-sum 15624

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  46431