Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stoweidlem38 44744
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem38.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem38.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem38.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem38.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem38.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem38 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍   𝑖,𝑀,𝑑   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑑,𝑓,β„Ž)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑖)
Proof of Theorem stoweidlem38
StepHypRef Expression
1 stoweidlem38.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21nnrecred 12262 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
32adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4 fzfid 13937 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
5 stoweidlem38.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
6 stoweidlem38.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
7 stoweidlem38.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
85, 6, 7stoweidlem15 44721 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1))
98simp1d 1142 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
109an32s 650 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
114, 10fsumrecl 15679 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
12 1red 11214 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
13 0le1 11736 . . . . . . 7 0 ≀ 1
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
151nnred 12226 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
161nngt0d 12260 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
17 divge0 12082 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
1812, 14, 15, 16, 17syl22anc 837 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
1918adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
208simp2d 1143 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
2120an32s 650 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
224, 10, 21fsumge0 15740 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
233, 11, 19, 22mulge0d 11790 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
24 stoweidlem38.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
255, 24, 1, 6, 7stoweidlem30 44736 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
2623, 25breqtrrd 5176 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†))
27 1red 11214 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 1 ∈ ℝ)
288simp3d 1144 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1)
2928an32s 650 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1)
304, 10, 27, 29fsumle 15744 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31 fzfid 13937 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
32 ax-1cn 11167 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
33 fsumconst 15735 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
351nnnn0d 12531 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
36 hashfz1 14305 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
3837oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1) = (𝑀 Β· 1))
391nncnd 12227 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4039mulridd 11230 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4134, 38, 403eqtrd 2776 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4241adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4330, 42breqtrd 5174 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀)
4415adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
45 1red 11214 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 11735 . . . . . . . 8 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 1)
4815, 16jca 512 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50 divgt0 12081 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ 0 < (1 / 𝑀))
5145, 47, 49, 50syl21anc 836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 < (1 / 𝑀))
52 lemul2 12066 . . . . . 6 ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀)))
5311, 44, 3, 51, 52syl112anc 1374 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀)))
5443, 53mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀))
5525, 54eqbrtrd 5170 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀))
5632a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
571nnne0d 12261 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
5856, 39, 573jca 1128 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
5958adantr 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
60 divcan1 11880 . . . 4 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀) = 1)
6159, 60syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀) = 1)
6255, 61breqtrd 5174 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1)
6326, 62jca 512 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  {crab 3432   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114   < clt 11247   ≀ cle 11248   / cdiv 11870  β„•cn 12211  β„•0cn0 12471  ...cfz 13483  β™―chash 14289  Ξ£csu 15631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12974  df-ico 13329  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-sum 15632
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  44750
  Copyright terms: Public domain W3C validator