Theorem stoweidlem38 42343

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem38.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem38.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem38.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem38.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem38.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem38	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍   𝑖,𝑀,𝑡   𝑆,𝑖

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑡,𝑓,ℎ)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑡,𝑓,𝑖)

Proof of Theorem stoweidlem38

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem38.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
2	1	nnrecred 11689	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
3	2	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4		fzfid 13342	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1...𝑀) ∈ Fin)
5		stoweidlem38.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
6		stoweidlem38.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
7		stoweidlem38.5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
8	5, 6, 7	stoweidlem15 42320	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1))
9	8	simp1d 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
10	9	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
11	4, 10	fsumrecl 15091	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ)
12		1red 10642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13		0le1 11163	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 1)
15	1	nnred 11653	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
16	1	nngt0d 11687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
17		divge0 11509	. . . . . 6 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
18	12, 14, 15, 16, 17	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (1 / 𝑀))
19	18	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (1 / 𝑀))
20	8	simp2d 1139	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
21	20	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
22	4, 10, 21	fsumge0 15150	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆))
23	3, 11, 19, 22	mulge0d 11217	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
24		stoweidlem38.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
25	5, 24, 1, 6, 7	stoweidlem30 42335	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)))
26	23, 25	breqtrrd 5094	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 ≤ (𝑃‘𝑆))
27		1red 10642	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
28	8	simp3d 1140	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
29	28	an32s 650	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 1)
30	4, 10, 27, 29	fsumle 15154	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31		fzfid 13342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑀) ∈ Fin)
32		ax-1cn 10595	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
33		fsumconst 15145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
34	31, 32, 33	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((♯‘(1...𝑀)) · 1))
35	1	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
36		hashfz1 13707	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
38	37	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(1...𝑀)) · 1) = (𝑀 · 1))
39	1	nncnd 11654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
40	39	mulid1d 10658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 1) = 𝑀)
41	34, 38, 40	3eqtrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
42	41	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
43	30, 42	breqtrd 5092	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀)
44	15	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 𝑀 ∈ ℝ)
45		1red 10642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 1 ∈ ℝ)
46		0lt1 11162	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 1
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < 1)
48	15, 16	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
49	48	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50		divgt0 11508	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → 0 < (1 / 𝑀))
51	45, 47, 49, 50	syl21anc 835	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → 0 < (1 / 𝑀))
52		lemul2 11493	. . . . . 6 ⊢ ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
53	11, 44, 3, 51, 52	syl112anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆) ≤ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀)))
54	43, 53	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑆)) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
55	25, 54	eqbrtrd 5088	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ ((1 / 𝑀) · 𝑀))
56	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
57	1	nnne0d 11688	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
58	56, 39, 57	3jca 1124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
59	58	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0))
60		divcan1 11307	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
61	59, 60	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → ((1 / 𝑀) · 𝑀) = 1)
62	55, 61	breqtrd 5092	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑆) ≤ 1)
63	26, 62	jca 514	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) → (0 ≤ (𝑃‘𝑆) ∧ (𝑃‘𝑆) ≤ 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {crab 3142   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Fincfn 8509  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ...cfz 12893  ♯chash 13691  Σcsu 15042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  42349