Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem38 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem stoweidlem38 45052
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem38.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem38.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem38.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem38.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem38.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem38 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍   𝑖,𝑀,𝑑   𝑆,𝑖
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑑,𝑓,β„Ž)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑑,𝑓,𝑖)
Proof of Theorem stoweidlem38
StepHypRef Expression
1 stoweidlem38.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
21nnrecred 12267 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
32adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
4 fzfid 13942 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
5 stoweidlem38.1 . . . . . . . 8 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
6 stoweidlem38.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
7 stoweidlem38.5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
85, 6, 7stoweidlem15 45029 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1))
98simp1d 1140 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
109an32s 648 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
114, 10fsumrecl 15684 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ)
12 1red 11219 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
13 0le1 11741 . . . . . . 7 0 ≀ 1
1413a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 1)
151nnred 12231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
161nngt0d 12265 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
17 divge0 12087 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
1812, 14, 15, 16, 17syl22anc 835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
1918adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (1 / 𝑀))
208simp2d 1141 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
2120an32s 648 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
224, 10, 21fsumge0 15745 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†))
233, 11, 19, 22mulge0d 11795 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
24 stoweidlem38.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
255, 24, 1, 6, 7stoweidlem30 45044 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)))
2623, 25breqtrrd 5175 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†))
27 1red 11219 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ 1 ∈ ℝ)
288simp3d 1142 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1)
2928an32s 648 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 1)
304, 10, 27, 29fsumle 15749 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1)
31 fzfid 13942 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (1...𝑀) ∈ Fin)
32 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„‚
33 fsumconst 15740 . . . . . . . . 9 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
3431, 32, 33sylancl 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1))
351nnnn0d 12536 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
36 hashfz1 14310 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜(1...𝑀)) = 𝑀)
3837oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜(1...𝑀)) Β· 1) = (𝑀 Β· 1))
391nncnd 12232 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4039mulridd 11235 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
4134, 38, 403eqtrd 2774 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4241adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)1 = 𝑀)
4330, 42breqtrd 5173 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀)
4415adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
45 1red 11219 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 1 ∈ ℝ)
46 0lt1 11740 . . . . . . . 8 0 < 1
4746a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 < 1)
4815, 16jca 510 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
4948adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀))
50 divgt0 12086 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ 0 < (1 / 𝑀))
5145, 47, 49, 50syl21anc 834 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ 0 < (1 / 𝑀))
52 lemul2 12071 . . . . . 6 ((Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((1 / 𝑀) ∈ ℝ ∧ 0 < (1 / 𝑀))) β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀)))
5311, 44, 3, 51, 52syl112anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†) ≀ 𝑀 ↔ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀)))
5443, 53mpbid 231 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘†)) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀))
5525, 54eqbrtrd 5169 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀))
5632a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
571nnne0d 12266 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
5856, 39, 573jca 1126 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
5958adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0))
60 divcan1 11885 . . . 4 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀) = 1)
6159, 60syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ ((1 / 𝑀) Β· 𝑀) = 1)
6255, 61breqtrd 5173 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1)
6326, 62jca 510 1 ((πœ‘ ∧ 𝑆 ∈ 𝑇) β†’ (0 ≀ (π‘ƒβ€˜π‘†) ∧ (π‘ƒβ€˜π‘†) ≀ 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  {crab 3430   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11252   ≀ cle 11253   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  β™―chash 14294  Ξ£csu 15636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45058
  Copyright terms: Public domain W3C validator