Theorem stoweidlem37 42679

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem37.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem37	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem37.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem37.1	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		stoweidlem37.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
4		stoweidlem37.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5		stoweidlem37.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6		stoweidlem37.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
7	2, 3, 4, 5, 6	stoweidlem30 42672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
8	1, 7	mpdan 686	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
9	5	ffvelrnda 6828	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄)
10		fveq1 6644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑍) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑍))
11	10	eqeq1d 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0))
12		fveq1 6644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
13	12	breq2d 5042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
14	12	breq1d 5040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
15	13, 14	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
16	15	ralbidv 3162	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
17	11, 16	anbi12d 633	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
18	17, 2	elrab2 3631	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
19	9, 18	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
20	19	simprld 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
21	20	sumeq2dv 15052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22		fzfi 13335	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
23		olc 865	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24		sumz 15071	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
26	21, 25	eqtrdi 2849	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
27	26	oveq2d 7151	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
28	4	nncnd 11641	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	4	nnne0d 11675	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
30	28, 29	reccld 11398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 10828	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
32	8, 27, 31	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℤ_≥cuz 12231  ...cfz 12885  Σcsu 15034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  42686