Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem37 44368
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem37.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem37.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem37.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem37.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem37.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem37.6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem37 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍,𝑖,𝑑   𝑖,𝑀,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37
StepHypRef Expression
1 stoweidlem37.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
2 stoweidlem37.1 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
3 stoweidlem37.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4 stoweidlem37.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 stoweidlem37.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
6 stoweidlem37.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
72, 3, 4, 5, 6stoweidlem30 44361 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘)))
81, 7mpdan 686 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘)))
95ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝑄)
10 fveq1 6845 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘))
1110eqeq1d 2735 . . . . . . . . 9 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0))
12 fveq1 6845 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
1312breq2d 5121 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
1412breq1d 5119 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
1513, 14anbi12d 632 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1615ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1711, 16anbi12d 632 . . . . . . . 8 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)) ↔ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))))
1817, 2elrab2 3652 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝑄 ↔ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))))
199, 18sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))))
2019simprld 771 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0)
2120sumeq2dv 15596 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22 fzfi 13886 . . . . 5 (1...𝑀) ∈ Fin
23 olc 867 . . . . 5 ((1...𝑀) ∈ Fin β†’ ((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24 sumz 15615 . . . . 5 (((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
2522, 23, 24mp2b 10 . . . 4 Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
2621, 25eqtrdi 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0)
2726oveq2d 7377 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘)) = ((1 / 𝑀) Β· 0))
284nncnd 12177 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
294nnne0d 12211 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
3028, 29reccld 11932 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
3130mul01d 11362 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝑀) Β· 0) = 0)
328, 27, 313eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {crab 3406   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   Β· cmul 11064   ≀ cle 11198   / cdiv 11820  β„•cn 12161  β„€β‰₯cuz 12771  ...cfz 13433  Ξ£csu 15579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12924  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  44375
  Copyright terms: Public domain W3C validator