Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem37 41041
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺𝑖) is used for p(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem37.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6 (𝜑𝑍𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem37 (𝜑 → (𝑃𝑍) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37
StepHypRef Expression
1 stoweidlem37.6 . . 3 (𝜑𝑍𝑇)
2 stoweidlem37.1 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 stoweidlem37.2 . . . 4 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
4 stoweidlem37.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 stoweidlem37.4 . . . 4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6 stoweidlem37.5 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
72, 3, 4, 5, 6stoweidlem30 41034 . . 3 ((𝜑𝑍𝑇) → (𝑃𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)))
81, 7mpdan 678 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)))
95ffvelrnda 6608 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖) ∈ 𝑄)
10 fveq1 6432 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐺𝑖) → (𝑍) = ((𝐺𝑖)‘𝑍))
1110eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 ( = (𝐺𝑖) → ((𝑍) = 0 ↔ ((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0))
12 fveq1 6432 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝐺𝑖) → (𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑡))
1312breq2d 4885 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝐺𝑖) → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡)))
1412breq1d 4883 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝐺𝑖) → ((𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
1513, 14anbi12d 624 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐺𝑖) → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
1615ralbidv 3195 . . . . . . . . 9 ( = (𝐺𝑖) → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
1711, 16anbi12d 624 . . . . . . . 8 ( = (𝐺𝑖) → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
1817, 2elrab2 3589 . . . . . . 7 ((𝐺𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
199, 18sylib 210 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
2019simprld 788 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0)
2120sumeq2dv 14810 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22 fzfi 13066 . . . . 5 (1...𝑀) ∈ Fin
23 olc 899 . . . . 5 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24 sumz 14830 . . . . 5 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
2522, 23, 24mp2b 10 . . . 4 Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
2621, 25syl6eq 2877 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0)
2726oveq2d 6921 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
284nncnd 11368 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
294nnne0d 11401 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
3028, 29reccld 11120 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
3130mul01d 10554 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
328, 27, 313eqtrd 2865 1 (𝜑 → (𝑃𝑍) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  wral 3117  {crab 3121  wss 3798   class class class wbr 4873  cmpt 4952  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257  cle 10392   / cdiv 11009  cn 11350  cuz 11968  ...cfz 12619  Σcsu 14793
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-clim 14596  df-sum 14794
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  41048
  Copyright terms: Public domain W3C validator