Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem37 42542
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺𝑖) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem37.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6 (𝜑𝑍𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem37 (𝜑 → (𝑃𝑍) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37
StepHypRef Expression
1 stoweidlem37.6 . . 3 (𝜑𝑍𝑇)
2 stoweidlem37.1 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 stoweidlem37.2 . . . 4 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
4 stoweidlem37.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 stoweidlem37.4 . . . 4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6 stoweidlem37.5 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
72, 3, 4, 5, 6stoweidlem30 42535 . . 3 ((𝜑𝑍𝑇) → (𝑃𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)))
81, 7mpdan 686 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)))
95ffvelrnda 6839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖) ∈ 𝑄)
10 fveq1 6657 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐺𝑖) → (𝑍) = ((𝐺𝑖)‘𝑍))
1110eqeq1d 2826 . . . . . . . . 9 ( = (𝐺𝑖) → ((𝑍) = 0 ↔ ((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0))
12 fveq1 6657 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝐺𝑖) → (𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑡))
1312breq2d 5064 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝐺𝑖) → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡)))
1412breq1d 5062 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝐺𝑖) → ((𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
1513, 14anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐺𝑖) → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
1615ralbidv 3192 . . . . . . . . 9 ( = (𝐺𝑖) → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
1711, 16anbi12d 633 . . . . . . . 8 ( = (𝐺𝑖) → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
1817, 2elrab2 3669 . . . . . . 7 ((𝐺𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
199, 18sylib 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
2019simprld 771 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0)
2120sumeq2dv 15056 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22 fzfi 13340 . . . . 5 (1...𝑀) ∈ Fin
23 olc 865 . . . . 5 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24 sumz 15075 . . . . 5 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
2522, 23, 24mp2b 10 . . . 4 Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
2621, 25syl6eq 2875 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0)
2726oveq2d 7161 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
284nncnd 11646 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
294nnne0d 11680 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
3028, 29reccld 11401 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
3130mul01d 10831 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
328, 27, 313eqtrd 2863 1 (𝜑 → (𝑃𝑍) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  {crab 3137  wss 3919   class class class wbr 5052  cmpt 5132  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7145  Fincfn 8499  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534  cle 10668   / cdiv 11289  cn 11630  cuz 12236  ...cfz 12890  Σcsu 15038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-oi 8965  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-rp 12383  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  42549
  Copyright terms: Public domain W3C validator