Theorem stoweidlem37 45325

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem37.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem37	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem37.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem37.1	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		stoweidlem37.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
4		stoweidlem37.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5		stoweidlem37.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6		stoweidlem37.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
7	2, 3, 4, 5, 6	stoweidlem30 45318	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
8	1, 7	mpdan 684	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
9	5	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄)
10		fveq1 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑍) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑍))
11	10	eqeq1d 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0))
12		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
13	12	breq2d 5153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
14	12	breq1d 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
15	13, 14	anbi12d 630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
16	15	ralbidv 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
17	11, 16	anbi12d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
18	17, 2	elrab2 3681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
19	9, 18	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
20	19	simprld 769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
21	20	sumeq2dv 15655	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22		fzfi 13943	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
23		olc 865	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24		sumz 15674	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
26	21, 25	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
27	26	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
28	4	nncnd 12232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	4	nnne0d 12266	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
30	28, 29	reccld 11987	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
32	8, 27, 31	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  {crab 3426   ⊆ wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11253   / cdiv 11875  ℕcn 12216  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13490  Σcsu 15638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45332