Theorem stoweidlem37 46035

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem37.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem37	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem37.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem37.1	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		stoweidlem37.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
4		stoweidlem37.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5		stoweidlem37.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6		stoweidlem37.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
7	2, 3, 4, 5, 6	stoweidlem30 46028	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
8	1, 7	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
9	5	ffvelcdmda 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄)
10		fveq1 6857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑍) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑍))
11	10	eqeq1d 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0))
12		fveq1 6857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
13	12	breq2d 5119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
14	12	breq1d 5117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
15	13, 14	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
16	15	ralbidv 3156	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
17	11, 16	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
18	17, 2	elrab2 3662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
19	9, 18	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
20	19	simprld 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
21	20	sumeq2dv 15668	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22		fzfi 13937	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
23		olc 868	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24		sumz 15688	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
26	21, 25	eqtrdi 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
27	26	oveq2d 7403	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
28	4	nncnd 12202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	4	nnne0d 12236	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
30	28, 29	reccld 11951	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
32	8, 27, 31	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   ≤ cle 11209   / cdiv 11835  ℕcn 12186  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  46042