Theorem stoweidlem37 46643

Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t₀) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t₀, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p_(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stoweidlem37.1	⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2	⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)

Assertion

Ref	Expression
stoweidlem37	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ℎ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,ℎ   ℎ,𝐺,𝑡   ℎ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,ℎ)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,ℎ)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		stoweidlem37.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑇)
2		stoweidlem37.1	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {ℎ ∈ 𝐴 ∣ ((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1))}
3		stoweidlem37.2	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑡 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
4		stoweidlem37.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
5		stoweidlem37.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6		stoweidlem37.5	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
7	2, 3, 4, 5, 6	stoweidlem30 46636	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
8	1, 7	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)))
9	5	ffvelcdmda 7080	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄)
10		fveq1 6881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑍) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑍))
11	10	eqeq1d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑍) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0))
12		fveq1 6881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (ℎ‘𝑡) = ((𝐺‘𝑖)‘𝑡))
13	12	breq2d 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡)))
14	12	breq1d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((ℎ‘𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
15	13, 14	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → ((0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
16	15	ralbidv 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
17	11, 16	anbi12d 643	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ = (𝐺‘𝑖) → (((ℎ‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ (ℎ‘𝑡) ∧ (ℎ‘𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
18	17, 2	elrab2 3663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
19	9, 18	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡 ∈ 𝑇 (0 ≤ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺‘𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
20	19	simprld 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
21	20	sumeq2dv 15753	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22		fzfi 14008	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ∈ Fin
23		olc 881	. . . . 5 ⊢ ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24		sumz 15773	. . . . 5 ⊢ (((1...𝑀) ⊆ (ℤ≥‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
25	22, 23, 24	mp2b 10	. . . 4 ⊢ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
26	21, 25	eqtrdi 2820	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍) = 0)
27	26	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺‘𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
28	4	nncnd 12249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	4	nnne0d 12286	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 0)
30	28, 29	reccld 11984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
31	30	mul01d 11409	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
32	8, 27, 31	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑍) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   ≤ cle 11244   / cdiv 11871  ℕcn 12233  ℤ_≥cuz 12862  ...cfz 13535  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  stoweidlem44  46650