Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem37 45488
Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p_(t0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (πΊβ€˜π‘–) is used for p_(ti). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem37.1 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
stoweidlem37.2 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
stoweidlem37.3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
stoweidlem37.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
stoweidlem37.5 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
stoweidlem37.6 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem37 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   πœ‘,𝑓,𝑖   β„Ž,𝑖,𝑑,𝑇   𝐴,β„Ž   β„Ž,𝐺,𝑑   β„Ž,𝑍,𝑖,𝑑   𝑖,𝑀,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑,β„Ž)   𝐴(𝑑,𝑖)   𝑃(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝑄(𝑑,𝑓,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,β„Ž)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37
StepHypRef Expression
1 stoweidlem37.6 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝑇)
2 stoweidlem37.1 . . . 4 𝑄 = {β„Ž ∈ 𝐴 ∣ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1))}
3 stoweidlem37.2 . . . 4 𝑃 = (𝑑 ∈ 𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
4 stoweidlem37.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5 stoweidlem37.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:(1...𝑀)βŸΆπ‘„)
6 stoweidlem37.5 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝐴) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆβ„)
72, 3, 4, 5, 6stoweidlem30 45481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑍 ∈ 𝑇) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘)))
81, 7mpdan 685 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘)))
95ffvelcdmda 7089 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ (πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝑄)
10 fveq1 6891 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘))
1110eqeq1d 2727 . . . . . . . . 9 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘) = 0 ↔ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0))
12 fveq1 6891 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (β„Žβ€˜π‘‘) = ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘))
1312breq2d 5155 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘)))
1412breq1d 5153 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1 ↔ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))
1513, 14anbi12d 630 . . . . . . . . . 10 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ ((0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1615ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1)))
1711, 16anbi12d 630 . . . . . . . 8 (β„Ž = (πΊβ€˜π‘–) β†’ (((β„Žβ€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ (β„Žβ€˜π‘‘) ∧ (β„Žβ€˜π‘‘) ≀ 1)) ↔ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))))
1817, 2elrab2 3677 . . . . . . 7 ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝑄 ↔ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))))
199, 18sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–) ∈ 𝐴 ∧ (((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0 ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 (0 ≀ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ∧ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘‘) ≀ 1))))
2019simprld 770 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑀)) β†’ ((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0)
2120sumeq2dv 15681 . . . 4 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22 fzfi 13969 . . . . 5 (1...𝑀) ∈ Fin
23 olc 866 . . . . 5 ((1...𝑀) ∈ Fin β†’ ((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24 sumz 15700 . . . . 5 (((1...𝑀) βŠ† (β„€β‰₯β€˜1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
2522, 23, 24mp2b 10 . . . 4 Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
2621, 25eqtrdi 2781 . . 3 (πœ‘ β†’ Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘) = 0)
2726oveq2d 7432 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝑀) Β· Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((πΊβ€˜π‘–)β€˜π‘)) = ((1 / 𝑀) Β· 0))
284nncnd 12258 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
294nnne0d 12292 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 β‰  0)
3028, 29reccld 12013 . . 3 (πœ‘ β†’ (1 / 𝑀) ∈ β„‚)
3130mul01d 11443 . 2 (πœ‘ β†’ ((1 / 𝑀) Β· 0) = 0)
328, 27, 313eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  {crab 3419   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  β„cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   Β· cmul 11143   ≀ cle 11279   / cdiv 11901  β„•cn 12242  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  Ξ£csu 15664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665
This theorem is referenced by:  stoweidlem44  45495
  Copyright terms: Public domain W3C validator