MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atandmtan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atandmtan 26807
Description: The tangent function has range contained in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atandmtan ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmtan
StepHypRef Expression
1 tancl 16079 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ β„‚)
2 tanval 16078 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) = ((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄)))
32oveq1d 7420 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) = (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2))
4 sincl 16076 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
54adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
6 coscl 16077 . . . . . 6 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ β„‚)
8 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (cosβ€˜π΄) β‰  0)
95, 7, 8sqdivd 14129 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄) / (cosβ€˜π΄))↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
103, 9eqtrd 2766 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) = (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)))
115sqcld 14114 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
127sqcld 14114 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
1312negcld 11562 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -((cosβ€˜π΄)↑2) ∈ β„‚)
1411, 12subnegd 11582 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) βˆ’ -((cosβ€˜π΄)↑2)) = (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)))
15 sincossq 16126 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) + ((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
1714, 16eqtrd 2766 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) βˆ’ -((cosβ€˜π΄)↑2)) = 1)
18 ax-1ne0 11181 . . . . . . . 8 1 β‰  0
1918a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ 1 β‰  0)
2017, 19eqnetrd 3002 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) βˆ’ -((cosβ€˜π΄)↑2)) β‰  0)
2111, 13, 20subne0ad 11586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  -((cosβ€˜π΄)↑2))
2212mulm1d 11670 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (-1 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2)) = -((cosβ€˜π΄)↑2))
2321, 22neeqtrrd 3009 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  (-1 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2)))
24 neg1cn 12330 . . . . . . 7 -1 ∈ β„‚
2524a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ -1 ∈ β„‚)
26 sqne0 14093 . . . . . . . 8 ((cosβ€˜π΄) ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π΄) β‰  0))
276, 26syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0 ↔ (cosβ€˜π΄) β‰  0))
2827biimpar 477 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((cosβ€˜π΄)↑2) β‰  0)
2911, 25, 12, 28divmul3d 12028 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) = -1 ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) = (-1 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2))))
3029necon3bid 2979 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) β‰  -1 ↔ ((sinβ€˜π΄)↑2) β‰  (-1 Β· ((cosβ€˜π΄)↑2))))
3123, 30mpbird 257 . . 3 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (((sinβ€˜π΄)↑2) / ((cosβ€˜π΄)↑2)) β‰  -1)
3210, 31eqnetrd 3002 . 2 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ ((tanβ€˜π΄)↑2) β‰  -1)
33 atandm3 26765 . 2 ((tanβ€˜π΄) ∈ dom arctan ↔ ((tanβ€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ ((tanβ€˜π΄)↑2) β‰  -1))
341, 32, 33sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ (cosβ€˜π΄) β‰  0) β†’ (tanβ€˜π΄) ∈ dom arctan)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  dom cdm 5669  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  2c2 12271  β†‘cexp 14032  sincsin 16013  cosccos 16014  tanctan 16015  arctancatan 26751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-atan 26754
This theorem is referenced by:  atantan  26810
  Copyright terms: Public domain W3C validator