Theorem atandmtan 27305

Description: The tangent function has range contained in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmtan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmtan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tancl 16341	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		tanval 16340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
3	2	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2))
4		sincl 16338	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
6		coscl 16339	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
8		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
9	5, 7, 8	sqdivd 14342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
10	3, 9	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
11	5	sqcld 14327	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12	7	sqcld 14327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
13	12	negcld 11695	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
14	11, 12	subnegd 11715	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) − -((cos‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
15		sincossq 16388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
16	15	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) − -((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
18		ax-1ne0 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 3026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) − -((cos‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
21	11, 13, 20	subne0ad 11719	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ -((cos‘𝐴)↑2))
22	12	mulm1d 11807	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ( -1 · ((cos‘𝐴)↑2)) = -((cos‘𝐴)↑2))
23	21, 22	neeqtrrd 3033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ ( -1 · ((cos‘𝐴)↑2)))
24		neg1cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -1 ∈ ℂ)
26		sqne0 14306	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
27	6, 26	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
28	27	biimpar 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)
29	11, 25, 12, 28	divmul3d 12167	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = -1 ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = ( -1 · ((cos‘𝐴)↑2))))
30	29	necon3bid 3003	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) ≠ -1 ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≠ ( -1 · ((cos‘𝐴)↑2))))
31	23, 30	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) ≠ -1)
32	10, 31	eqnetrd 3026	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) ≠ -1)
33		atandm3 27263	. 2 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴)↑2) ≠ -1))
34	1, 32, 33	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ↑cexp 14244  sincsin 16273  cosccos 16274  tanctan 16275  arctancatan 27249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ico 13522  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-tan 16281  df-atan 27252

This theorem is used by:  atantan  27308