Theorem tgaaddcpbllem3 29358

Description: Lemma for tgaaddcpbl 29359. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgaaddcpbl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgaaddcpbl.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgaaddcpbl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgaaddcpbl.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
tgaaddcpbl.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
tgaaddcpbl.q	⊢ 𝑄 = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑉𝐿𝑇)𝑡 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
tgaaddcpbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgaaddcpbl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑆)
tgaaddcpbl.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑇)
tgaaddcpbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑍)
tgaaddcpbl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈𝑄𝑊)
tgaaddcpbl.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
tgaaddcpbl.7	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
tgaaddcpbllem3.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
tgaaddcpbllem3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑠,𝑡   𝐺,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝐼,𝑎,𝑏,𝑠,𝑐,𝑑,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑠,𝑐,𝑑,𝑡   𝑂,𝑠   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠,𝑐,𝑑,𝑡   𝑄,𝑐,𝑑,𝑡   𝑆,𝑎,𝑏,𝑠,𝑡   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝑉,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑠,𝑡   𝑍,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝑆,𝑐,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑋,𝑐,𝑑   𝑌,𝑐,𝑑   𝑍,𝑐,𝑑   𝜑,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑄(𝑠, 𝑎, 𝑏)   ∼ (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑊(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑍(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem tgaaddcpbllem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgaaddcpbl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgaaddcpbl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tgaaddcpbl.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tgaaddcpbl.c	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
5		tgaaddcpbl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		eleq1w 2843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → (𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
7	6	cbvrexvw 3241	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏))
8	7	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
9	8	opabbii 5171	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10	5, 9	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
11		tgaaddcpbl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑉𝐿𝑇)𝑡 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
12		tgaaddcpbl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		tgaaddcpbl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑆 ∈ 𝑃)
16		tgaaddcpbl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
17	16	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑃)
18		tgaaddcpbl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
19	18	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑃)
20		tgaaddcpbl.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑉 ∈ 𝑃)
22		tgaaddcpbl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑊 ∈ 𝑃)
24		tgaaddcpbl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
25	24	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26		tgaaddcpbl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
27	26	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28		tgaaddcpbl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑍 ∈ 𝑃)
30		tgaaddcpbl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑆)
31	30	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑌 ≠ 𝑆)
32		tgaaddcpbl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑇)
33	32	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑉 ≠ 𝑇)
34		tgaaddcpbl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑍)
35	34	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑋𝑂𝑍)
36		tgaaddcpbl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝑄𝑊)
37	36	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑈𝑄𝑊)
38		tgaaddcpbl.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
39	38	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
40		tgaaddcpbl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
41	40	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
42		tgaaddcpbllem3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
43	42	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
44		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
45		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆))
46		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
47		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆)
48	1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47	tgaaddcpbllem1 29356	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
49	12	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	14	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
51	16	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
52	18	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
53	20	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
54	22	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
55	24	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	26	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
57	28	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
58	30	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑌 ≠ 𝑆)
59	32	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑉 ≠ 𝑇)
60	34	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑋𝑂𝑍)
61	36	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑈𝑄𝑊)
62	38	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
63	40	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
64	42	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
65		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆))
66		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
67		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠))
68		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑉) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑉)
69	1, 2, 3, 4, 10, 11, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 44	tgaaddcpbllem2 29357	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
70	14	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
71	26	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
72	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73	1, 2, 3, 12, 26, 14, 30	tgelrnln 29105	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
74	73	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
75		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆))
76	1, 3, 2, 72, 74, 75	tglnpt 29019	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
77	24	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
78	30	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑌)
79	78	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑆 ≠ 𝑌)
80	1, 2, 3, 72, 70, 71, 76, 79, 75	lncom 29097	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑠 ∈ (𝑆𝐿𝑌))
81	1, 2, 44, 70, 71, 76, 72, 77, 3, 80	lnhl 29088	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆 ∨ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)))
82	48, 69, 81	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
83		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
84	1, 83, 2, 5, 24, 28	islnopp 29222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑍 ↔ ((¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑆) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
85	34, 84	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑆) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
86	85	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
87	82, 86	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5651  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ⟨“cs3 14999  Basecbs 17394  distcds 17444  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  hlGchlg 29070  pInvGcmir 29131  cgrAccgra 29321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243  df-mid 29286  df-lmi 29287  df-cgra 29322

This theorem is used by:  tgaaddcpbl  29359