Theorem tgaaddcpbllem3 29344

Description: Lemma for tgaaddcpbl 29345. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgaaddcpbl.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgaaddcpbl.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgaaddcpbl.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tgaaddcpbl.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
tgaaddcpbl.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
tgaaddcpbl.q	⊢ 𝑄 = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑉𝐿𝑇)𝑡 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
tgaaddcpbl.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgaaddcpbl.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
tgaaddcpbl.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑆)
tgaaddcpbl.3	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑇)
tgaaddcpbl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑍)
tgaaddcpbl.5	⊢ (𝜑 → 𝑈𝑄𝑊)
tgaaddcpbl.6	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
tgaaddcpbl.7	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
tgaaddcpbllem3.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))

Assertion

Ref	Expression
tgaaddcpbllem3	⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)

Distinct variable groups:   ∼ ,𝑠,𝑡   𝐺,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝐼,𝑎,𝑏,𝑠,𝑐,𝑑,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑠,𝑐,𝑑,𝑡   𝑂,𝑠   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠,𝑐,𝑑,𝑡   𝑄,𝑐,𝑑,𝑡   𝑆,𝑎,𝑏,𝑠,𝑡   𝑇,𝑐,𝑑,𝑡   𝑈,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝑉,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝑊,𝑠,𝑡   𝑋,𝑠,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑠,𝑡   𝑍,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑡,𝑠   𝑆,𝑐,𝑑   𝑇,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑋,𝑐,𝑑   𝑌,𝑐,𝑑   𝑍,𝑐,𝑑   𝜑,𝑐,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝑄(𝑠, 𝑎, 𝑏)   ∼ (𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑇(𝑠)   𝑈(𝑎, 𝑏)   𝑂(𝑡, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑊(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)   𝑋(𝑎, 𝑏)   𝑍(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem tgaaddcpbllem3

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgaaddcpbl.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgaaddcpbl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tgaaddcpbl.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tgaaddcpbl.c	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
5		tgaaddcpbl.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		eleq1w 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑟 → (𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ 𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
7	6	cbvrexvw 3242	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏))
8	7	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏)) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏)))
9	8	opabbii 5172	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑎𝐼𝑏))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
10	5, 9	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑌𝐿𝑆))) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑟 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
11		tgaaddcpbl.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑉𝐿𝑇))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑉𝐿𝑇)𝑡 ∈ (𝑐𝐼𝑑))}
12		tgaaddcpbl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
13	12	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝐺 ∈ TarskiG)
14		tgaaddcpbl.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑆 ∈ 𝑃)
16		tgaaddcpbl.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑃)
17	16	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑇 ∈ 𝑃)
18		tgaaddcpbl.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
19	18	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑃)
20		tgaaddcpbl.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
21	20	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑉 ∈ 𝑃)
22		tgaaddcpbl.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑊 ∈ 𝑃)
24		tgaaddcpbl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
25	24	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑃)
26		tgaaddcpbl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
27	26	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑌 ∈ 𝑃)
28		tgaaddcpbl.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
29	28	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑍 ∈ 𝑃)
30		tgaaddcpbl.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑆)
31	30	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑌 ≠ 𝑆)
32		tgaaddcpbl.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑇)
33	32	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑉 ≠ 𝑇)
34		tgaaddcpbl.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋𝑂𝑍)
35	34	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑋𝑂𝑍)
36		tgaaddcpbl.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈𝑄𝑊)
37	36	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑈𝑄𝑊)
38		tgaaddcpbl.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
39	38	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
40		tgaaddcpbl.7	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
41	40	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
42		tgaaddcpbllem3.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
43	42	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
44		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
45		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆))
46		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
47		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆)
48	1, 2, 3, 4, 10, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 47	tgaaddcpbllem1 29342	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
49	12	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
50	14	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
51	16	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑇 ∈ 𝑃)
52	18	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
53	20	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
54	22	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
55	24	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	26	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
57	28	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
58	30	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑌 ≠ 𝑆)
59	32	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑉 ≠ 𝑇)
60	34	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑋𝑂𝑍)
61	36	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑈𝑄𝑊)
62	38	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ⟨“𝑋𝑌𝑆”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑇”⟩)
63	40	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ⟨“𝑆𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑇𝑉𝑊”⟩)
64	42	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ¬ 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
65		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆))
66		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
67		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠))
68		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑉) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑉)
69	1, 2, 3, 4, 10, 11, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 44	tgaaddcpbllem2 29343	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
70	14	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑆 ∈ 𝑃)
71	26	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
72	12	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
73	1, 2, 3, 12, 26, 14, 30	tgelrnln 29091	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
74	73	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑌𝐿𝑆) ∈ ran 𝐿)
75		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆))
76	1, 3, 2, 72, 74, 75	tglnpt 29005	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
77	24	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
78	30	necomd 3011	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≠ 𝑌)
79	78	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑆 ≠ 𝑌)
80	1, 2, 3, 72, 70, 71, 76, 79, 75	lncom 29083	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → 𝑠 ∈ (𝑆𝐿𝑌))
81	1, 2, 44, 70, 71, 76, 72, 77, 3, 80	lnhl 29074	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑆 ∨ 𝑌 ∈ (𝑆𝐼𝑠)))
82	48, 69, 81	mpjaodan 973	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ 𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
83		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
84	1, 83, 2, 5, 24, 28	islnopp 29208	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝑂𝑍 ↔ ((¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑆) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))))
85	34, 84	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑆) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑌𝐿𝑆)) ∧ ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍)))
86	85	simprd 501	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑆)𝑠 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
87	82, 86	r19.29a 3171	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103  {copab 5167  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ⟨“cs3 14986  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hlGchlg 29056  pInvGcmir 29117  cgrAccgra 29307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-mid 29272  df-lmi 29273  df-cgra 29308

This theorem is used by:  tgaaddcpbl  29345