MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znzrh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znzrh2 21440
Description: The ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znzrh2.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znzrh2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2
StepHypRef Expression
1 znzrh2.2 . 2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2 zringring 21336 . . . . 5 ring ∈ Ring
3 nn0z 12587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 znzrh2.s . . . . . . 7 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
54znlidl 21424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7 znzrh2.r . . . . . . 7 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
87oveq2i 7416 . . . . . 6 (ℤring /s ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9 zringcrng 21335 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
10 eqid 2726 . . . . . . . 8 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
1110crng2idl 21136 . . . . . . 7 (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13 zringbas 21340 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
14 eceq2 8745 . . . . . . . 8 ( = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
157, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 [𝑥] = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
1615mpteq2i 5246 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
178, 12, 13, 16qusrhm 21133 . . . . 5 ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )))
182, 6, 17sylancr 586 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )))
194, 8zncrng2 21425 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ) ∈ CRing)
20 crngring 20150 . . . . 5 ((ℤring /s ) ∈ CRing → (ℤring /s ) ∈ Ring)
21 eqid 2726 . . . . . 6 (ℤRHom‘(ℤring /s )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ))
2221zrhrhmb 21397 . . . . 5 ((ℤring /s ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ))))
233, 19, 20, 224syl 19 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ))))
2418, 23mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (ℤRHom‘(ℤring /s )))
25 znzrh2.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
264, 8, 25znzrh 21437 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s )) = (ℤRHom‘𝑌))
2724, 26eqtr2d 2767 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
281, 27eqtrid 2778 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4623  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  [cec 8703  0cn0 12476  cz 12562   /s cqus 17460   ~QG cqg 19049  Ringcrg 20138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371  LIdealclidl 21065  RSpancrsp 21066  2Idealc2idl 21106  ringczring 21333  ℤRHomczrh 21386  ℤ/nczn 21389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393
This theorem is referenced by:  znzrhval  21441  znzrhfo  21442
  Copyright terms: Public domain W3C validator