Theorem znzrh2 21851

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥, ∼   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2		zringring 21755	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		nn0z 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
5	4	znlidl 21839	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6	3, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
8	7	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ (ℤring /s ∼ ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9		zringcrng 21754	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
10		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
11	10	crng2idl 21576	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13		zringbas 21759	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eceq2 8759	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
16	15	mpteq2i 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 21570	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
18	2, 6, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
19	4, 8	zncrng2 21840	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ∼ ) ∈ CRing)
20		crngring 20472	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ CRing → (ℤring /s ∼ ) ∈ Ring)
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))
22	21	zrhrhmb 21816	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
23	3, 19, 20, 22	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
24	18, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )))
25		znzrh2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
26	4, 8, 25	znzrh 21848	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘𝑌))
27	24, 26	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
28	1, 27	eqtrid 2807	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4583   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  [cec 8715  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693   /_s cqus 17677   ~_QG cqg 19332  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699  LIdealclidl 21484  RSpancrsp 21485  2Idealc2idl 21542  ℤ_ringczring 21752  ℤRHomczrh 21805  ℤ/nℤczn 21808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-seq 14145  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-ghm 19428  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zrh 21809  df-zn 21812

This theorem is used by:  znzrhval  21852  znzrhfo  21853  aks6d1c6lem5  43228