MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znzrh2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znzrh2 20260
Description: The ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znzrh2.s 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
znzrh2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2
StepHypRef Expression
1 znzrh2.2 . 2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2 zringring 20188 . . . . 5 ring ∈ Ring
3 nn0z 11735 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 znzrh2.s . . . . . . 7 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
54znlidl 20248 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
63, 5syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7 znzrh2.r . . . . . . 7 = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
87oveq2i 6921 . . . . . 6 (ℤring /s ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9 zringcrng 20187 . . . . . . 7 ring ∈ CRing
10 eqid 2825 . . . . . . . 8 (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
1110crng2idl 19607 . . . . . . 7 (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
129, 11ax-mp 5 . . . . . 6 (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13 zringbas 20191 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
14 eceq2 8054 . . . . . . . 8 ( = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
157, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 [𝑥] = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
1615mpteq2i 4966 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
178, 12, 13, 16qusrhm 19605 . . . . 5 ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )))
182, 6, 17sylancr 581 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )))
194, 8zncrng2 20249 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ) ∈ CRing)
20 crngring 18919 . . . . 5 ((ℤring /s ) ∈ CRing → (ℤring /s ) ∈ Ring)
21 eqid 2825 . . . . . 6 (ℤRHom‘(ℤring /s )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ))
2221zrhrhmb 20226 . . . . 5 ((ℤring /s ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ))))
233, 19, 20, 224syl 19 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ))))
2418, 23mpbid 224 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ) = (ℤRHom‘(ℤring /s )))
25 znzrh2.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
264, 8, 25znzrh 20257 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s )) = (ℤRHom‘𝑌))
2724, 26eqtr2d 2862 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
281, 27syl5eq 2873 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1656  wcel 2164  {csn 4399  cmpt 4954  cfv 6127  (class class class)co 6910  [cec 8012  0cn0 11625  cz 11711   /s cqus 16525   ~QG cqg 17948  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909   RingHom crh 19075  LIdealclidl 19538  RSpancrsp 19539  2Idealc2idl 19599  ringzring 20185  ℤRHomczrh 20215  ℤ/nczn 20218
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-ec 8016  df-qs 8020  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-seq 13103  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-imas 16528  df-qus 16529  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-nsg 17950  df-eqg 17951  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542  df-rsp 19543  df-2idl 19600  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-zn 20222
This theorem is referenced by:  znzrhval  20261  znzrhfo  20262
  Copyright terms: Public domain W3C validator