Theorem znzrh2 20260

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥, ∼   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2		zringring 20188	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		nn0z 11735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
5	4	znlidl 20248	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
8	7	oveq2i 6921	. . . . . 6 ⊢ (ℤring /s ∼ ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9		zringcrng 20187	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
10		eqid 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
11	10	crng2idl 19607	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13		zringbas 20191	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eceq2 8054	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
16	15	mpteq2i 4966	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 19605	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
18	2, 6, 17	sylancr 581	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
19	4, 8	zncrng2 20249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ∼ ) ∈ CRing)
20		crngring 18919	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ CRing → (ℤring /s ∼ ) ∈ Ring)
21		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))
22	21	zrhrhmb 20226	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
23	3, 19, 20, 22	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
24	18, 23	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )))
25		znzrh2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
26	4, 8, 25	znzrh 20257	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘𝑌))
27	24, 26	eqtr2d 2862	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
28	1, 27	syl5eq 2873	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  {csn 4399   ↦ cmpt 4954  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  [cec 8012  ℕ₀cn0 11625  ℤcz 11711   /_s cqus 16525   ~_QG cqg 17948  Ringcrg 18908  CRingccrg 18909   RingHom crh 19075  LIdealclidl 19538  RSpancrsp 19539  2Idealc2idl 19599  ℤ_ringzring 20185  ℤRHomczrh 20215  ℤ/nℤczn 20218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-ec 8016  df-qs 8020  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-seq 13103  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-0g 16462  df-imas 16528  df-qus 16529  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-mulg 17902  df-subg 17949  df-nsg 17950  df-eqg 17951  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-rnghom 19078  df-subrg 19141  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-lidl 19542  df-rsp 19543  df-2idl 19600  df-cnfld 20114  df-zring 20186  df-zrh 20219  df-zn 20222

This theorem is referenced by:  znzrhval  20261  znzrhfo  20262