Theorem znzrh2 21666

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥, ∼   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2		zringring 21570	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		nn0z 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
5	4	znlidl 21654	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6	3, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
8	7	oveq2i 7424	. . . . . 6 ⊢ (ℤring /s ∼ ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9		zringcrng 21569	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
10		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
11	10	crng2idl 21393	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13		zringbas 21574	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eceq2 8738	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
16	15	mpteq2i 5211	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 21388	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
18	2, 6, 17	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
19	4, 8	zncrng2 21655	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ∼ ) ∈ CRing)
20		crngring 20329	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ CRing → (ℤring /s ∼ ) ∈ Ring)
21		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))
22	21	zrhrhmb 21631	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
23	3, 19, 20, 22	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
24	18, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )))
25		znzrh2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
26	4, 8, 25	znzrh 21663	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘𝑌))
27	24, 26	eqtr2d 2805	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
28	1, 27	eqtrid 2816	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  [cec 8694  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593   /_s cqus 17561   ~_QG cqg 19190  Ringcrg 20317  CRingccrg 20318   RingHom crh 20553  LIdealclidl 21310  RSpancrsp 21311  2Idealc2idl 21361  ℤ_ringczring 21567  ℤRHomczrh 21620  ℤ/nℤczn 21623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-addf 11181  ax-mulf 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-inf 9405  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-seq 14040  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-0g 17496  df-imas 17564  df-qus 17565  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-sbg 19007  df-mulg 19136  df-subg 19191  df-nsg 19192  df-eqg 19193  df-ghm 19286  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-oppr 20421  df-rhm 20556  df-subrng 20633  df-subrg 20657  df-lmod 20963  df-lss 21033  df-lsp 21073  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-lidl 21312  df-rsp 21313  df-2idl 21362  df-cnfld 21494  df-zring 21568  df-zrh 21624  df-zn 21627

This theorem is referenced by:  znzrhval  21667  znzrhfo  21668  aks6d1c6lem5  42871