Theorem znzrh2 21322

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥, ∼   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2		zringring 21222	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		nn0z 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
5	4	znlidl 21306	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
8	7	oveq2i 7424	. . . . . 6 ⊢ (ℤring /s ∼ ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9		zringcrng 21221	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
10		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
11	10	crng2idl 21029	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13		zringbas 21226	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eceq2 8747	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
16	15	mpteq2i 5254	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 21026	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
18	2, 6, 17	sylancr 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
19	4, 8	zncrng2 21307	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ∼ ) ∈ CRing)
20		crngring 20141	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ CRing → (ℤring /s ∼ ) ∈ Ring)
21		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))
22	21	zrhrhmb 21281	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
23	3, 19, 20, 22	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
24	18, 23	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )))
25		znzrh2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
26	4, 8, 25	znzrh 21319	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘𝑌))
27	24, 26	eqtr2d 2771	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
28	1, 27	eqtrid 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413  [cec 8705  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12564   /_s cqus 17457   ~_QG cqg 19040  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130   RingHom crh 20362  LIdealclidl 20930  RSpancrsp 20931  2Idealc2idl 21007  ℤ_ringczring 21219  ℤRHomczrh 21270  ℤ/nℤczn 21273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-ec 8709  df-qs 8713  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-seq 13973  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-0g 17393  df-imas 17460  df-qus 17461  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-nsg 19042  df-eqg 19043  df-ghm 19130  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-lidl 20934  df-rsp 20935  df-2idl 21008  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-zn 21277

This theorem is referenced by:  znzrhval  21323  znzrhfo  21324