Theorem znzrh2 21487

Description: The ℤ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
znzrh2.r	⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
znzrh2.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znzrh2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
znzrh2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥, ∼   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐿(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem znzrh2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.2	. 2 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2		zringring 21391	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Ring
3		nn0z 12530	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		znzrh2.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (RSpan‘ℤring)
5	4	znlidl 21475	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
7		znzrh2.r	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
8	7	oveq2i 7380	. . . . . 6 ⊢ (ℤring /s ∼ ) = (ℤring /s (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
9		zringcrng 21390	. . . . . . 7 ⊢ ℤring ∈ CRing
10		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
11	10	crng2idl 21223	. . . . . . 7 ⊢ (ℤring ∈ CRing → (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (2Ideal‘ℤring)
13		zringbas 21395	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
14		eceq2 8689	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∼ = (ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})) → [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
15	7, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ [𝑥] ∼ = [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁}))
16	15	mpteq2i 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥](ℤring ~QG (𝑆‘{𝑁})))
17	8, 12, 13, 16	qusrhm 21218	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ (𝑆‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
18	2, 6, 17	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )))
19	4, 8	zncrng2 21476	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s ∼ ) ∈ CRing)
20		crngring 20165	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ CRing → (ℤring /s ∼ ) ∈ Ring)
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))
22	21	zrhrhmb 21452	. . . . 5 ⊢ ((ℤring /s ∼ ) ∈ Ring → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
23	3, 19, 20, 22	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) ∈ (ℤring RingHom (ℤring /s ∼ )) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ ))))
24	18, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ) = (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )))
25		znzrh2.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
26	4, 8, 25	znzrh 21484	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘(ℤring /s ∼ )) = (ℤRHom‘𝑌))
27	24, 26	eqtr2d 2765	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))
28	1, 27	eqtrid 2776	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐿 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ [𝑥] ∼ ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  [cec 8646  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505   /_s cqus 17444   ~_QG cqg 19036  Ringcrg 20153  CRingccrg 20154   RingHom crh 20389  LIdealclidl 21148  RSpancrsp 21149  2Idealc2idl 21191  ℤ_ringczring 21388  ℤRHomczrh 21441  ℤ/nℤczn 21444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123  ax-mulf 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-imas 17447  df-qus 17448  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-mulg 18982  df-subg 19037  df-nsg 19038  df-eqg 19039  df-ghm 19127  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-cring 20156  df-oppr 20257  df-rhm 20392  df-subrng 20466  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-lidl 21150  df-rsp 21151  df-2idl 21192  df-cnfld 21297  df-zring 21389  df-zrh 21445  df-zn 21448

This theorem is referenced by:  znzrhval  21488  znzrhfo  21489  aks6d1c6lem5  42158