Theorem rplogbreexp 14511

Description: Power law for the general logarithm for real powers: The logarithm of a positive real number to the power of a real number is equal to the product of the exponent and the logarithm of the base of the power. Property 4 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by AV, 9-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
rplogbreexp	⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (𝐵 logb 𝐶)))

Proof of Theorem rplogbreexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcxp 14458	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (log‘𝐶)))
2	1	3adant1 1015	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (log‘𝐶)))
3	2	oveq1d 5893	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)) = ((𝐸 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)))
4		simp3 999	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℝ)
5	4	recnd 7989	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐸 ∈ ℂ)
6		simp2 998	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ+)
7	6	relogcld 14443	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘𝐶) ∈ ℝ)
8	7	recnd 7989	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘𝐶) ∈ ℂ)
9		simp1l 1021	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ+)
10	9	relogcld 14443	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
11	10	recnd 7989	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) ∈ ℂ)
12		simp1r 1022	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → 𝐵 # 1)
13	9, 12	logrpap0d 14439	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (log‘𝐵) # 0)
14	5, 8, 11, 13	divassapd 8786	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((𝐸 · (log‘𝐶)) / (log‘𝐵)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
15	3, 14	eqtrd 2210	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
16	6, 4	rpcxpcld 14492	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐶↑𝑐𝐸) ∈ ℝ+)
17		rplogbval 14503	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ (𝐶↑𝑐𝐸) ∈ ℝ+) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)))
18	9, 12, 16, 17	syl3anc 1238	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = ((log‘(𝐶↑𝑐𝐸)) / (log‘𝐵)))
19		rplogbval 14503	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1 ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐵 logb 𝐶) = ((log‘𝐶) / (log‘𝐵)))
20	9, 12, 6, 19	syl3anc 1238	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb 𝐶) = ((log‘𝐶) / (log‘𝐵)))
21	20	oveq2d 5894	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐸 · (𝐵 logb 𝐶)) = (𝐸 · ((log‘𝐶) / (log‘𝐵))))
22	15, 18, 21	3eqtr4d 2220	1 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 # 1) ∧ 𝐶 ∈ ℝ+ ∧ 𝐸 ∈ ℝ) → (𝐵 logb (𝐶↑𝑐𝐸)) = (𝐸 · (𝐵 logb 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878  ℝcr 7813  1c1 7815   · cmul 7819   # cap 8541   / cdiv 8632  ℝ⁺crp 9656  logclog 14417  ↑_𝑐ccxp 14418   log_b clogb 14501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-pre-suploc 7935  ax-addf 7936  ax-mulf 7937

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-disj 3983  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-map 6653  df-pm 6654  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-ioo 9895  df-ico 9897  df-icc 9898  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-bc 10731  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-e 11660  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13587  df-xmet 13588  df-met 13589  df-bl 13590  df-mopn 13591  df-top 13638  df-topon 13651  df-bases 13683  df-ntr 13736  df-cn 13828  df-cnp 13829  df-tx 13893  df-cncf 14198  df-limced 14265  df-dvap 14266  df-relog 14419  df-rpcxp 14420  df-logb 14502

This theorem is referenced by:  rplogbzexp  14512  rprelogbmulexp  14514  rplogbcxp  14521