ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rplogbreexp GIF version

Theorem rplogbreexp 14774
Description: Power law for the general logarithm for real powers: The logarithm of a positive real number to the power of a real number is equal to the product of the exponent and the logarithm of the base of the power. Property 4 of [Cohen4] p. 361. (Contributed by AV, 9-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
rplogbreexp (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต logb (๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) = (๐ธ ยท (๐ต logb ๐ถ)))

Proof of Theorem rplogbreexp
StepHypRef Expression
1 logcxp 14721 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜(๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) = (๐ธ ยท (logโ€˜๐ถ)))
213adant1 1017 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜(๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) = (๐ธ ยท (logโ€˜๐ถ)))
32oveq1d 5906 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) / (logโ€˜๐ต)) = ((๐ธ ยท (logโ€˜๐ถ)) / (logโ€˜๐ต)))
4 simp3 1001 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„)
54recnd 8005 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6 simp2 1000 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„+)
76relogcld 14706 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„)
87recnd 8005 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐ถ) โˆˆ โ„‚)
9 simp1l 1023 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„+)
109relogcld 14706 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1110recnd 8005 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
12 simp1r 1024 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ๐ต # 1)
139, 12logrpap0d 14702 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (logโ€˜๐ต) # 0)
145, 8, 11, 13divassapd 8802 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ธ ยท (logโ€˜๐ถ)) / (logโ€˜๐ต)) = (๐ธ ยท ((logโ€˜๐ถ) / (logโ€˜๐ต))))
153, 14eqtrd 2222 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ ((logโ€˜(๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) / (logโ€˜๐ต)) = (๐ธ ยท ((logโ€˜๐ถ) / (logโ€˜๐ต))))
166, 4rpcxpcld 14755 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถโ†‘๐‘๐ธ) โˆˆ โ„+)
17 rplogbval 14766 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1 โˆง (๐ถโ†‘๐‘๐ธ) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต logb (๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) = ((logโ€˜(๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) / (logโ€˜๐ต)))
189, 12, 16, 17syl3anc 1249 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต logb (๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) = ((logโ€˜(๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) / (logโ€˜๐ต)))
19 rplogbval 14766 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1 โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ต logb ๐ถ) = ((logโ€˜๐ถ) / (logโ€˜๐ต)))
209, 12, 6, 19syl3anc 1249 . . 3 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต logb ๐ถ) = ((logโ€˜๐ถ) / (logโ€˜๐ต)))
2120oveq2d 5907 . 2 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ธ ยท (๐ต logb ๐ถ)) = (๐ธ ยท ((logโ€˜๐ถ) / (logโ€˜๐ต))))
2215, 18, 213eqtr4d 2232 1 (((๐ต โˆˆ โ„+ โˆง ๐ต # 1) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ธ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต logb (๐ถโ†‘๐‘๐ธ)) = (๐ธ ยท (๐ต logb ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160   class class class wbr 4018  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891  โ„cr 7829  1c1 7831   ยท cmul 7835   # cap 8557   / cdiv 8648  โ„+crp 9672  logclog 14680  โ†‘๐‘ccxp 14681   logb clogb 14764
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-mulrcl 7929  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-precex 7940  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-apti 7945  ax-pre-ltadd 7946  ax-pre-mulgt0 7947  ax-pre-mulext 7948  ax-arch 7949  ax-caucvg 7950  ax-pre-suploc 7951  ax-addf 7952  ax-mulf 7953
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-of 6101  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-map 6668  df-pm 6669  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-sup 7002  df-inf 7003  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-reap 8551  df-ap 8558  df-div 8649  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-4 8999  df-n0 9196  df-z 9273  df-uz 9548  df-q 9639  df-rp 9673  df-xneg 9791  df-xadd 9792  df-ioo 9911  df-ico 9913  df-icc 9914  df-fz 10028  df-fzo 10162  df-seqfrec 10465  df-exp 10539  df-fac 10725  df-bc 10747  df-ihash 10775  df-shft 10843  df-cj 10870  df-re 10871  df-im 10872  df-rsqrt 11026  df-abs 11027  df-clim 11306  df-sumdc 11381  df-ef 11675  df-e 11676  df-rest 12718  df-topgen 12737  df-psmet 13823  df-xmet 13824  df-met 13825  df-bl 13826  df-mopn 13827  df-top 13901  df-topon 13914  df-bases 13946  df-ntr 13999  df-cn 14091  df-cnp 14092  df-tx 14156  df-cncf 14461  df-limced 14528  df-dvap 14529  df-relog 14682  df-rpcxp 14683  df-logb 14765
This theorem is referenced by:  rplogbzexp  14775  rprelogbmulexp  14777  rplogbcxp  14784
  Copyright terms: Public domain W3C validator