Theorem 2sqmo 27656

Description: There exists at most one decomposition of a prime as a sum of two squares. See 2sqb 27651 for the existence of such a decomposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2sqmo	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqmo

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)
2		nfre1 3292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
3	1, 2	nfan 1932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑑 ∈ ℕ0
5	3, 4	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
6		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑐 ≤ 𝑑
7	5, 6	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑)
8		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
10		simp-8l 803	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		simp-8r 804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ∈ ℕ0)
12		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑏 ∈ ℕ0)
13		simp-7r 802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ∈ ℕ0)
14		simp-6r 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑑 ∈ ℕ0)
15		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ≤ 𝑏)
16		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ≤ 𝑑)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
18		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
19	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	2sqmod 27655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
20	19	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
21	20	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
22	21	adantl5r 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
23		simp-4r 796	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
24	9, 22, 23	r19.29af 3276	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
25	24	anasss 472	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
26	25	r19.29an 3171	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
27	26	expl 463	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
28	27	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
29	28	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
30		breq12 5116	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑐 ≤ 𝑑))
31		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑎 = 𝑐)
32	31	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎↑2) = (𝑐↑2))
33		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑏 = 𝑑)
34	33	oveq1d 7434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏↑2) = (𝑑↑2))
35	32, 34	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
36	35	eqeq1d 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃))
37	30, 36	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
38	37	cbvrexdva 3248	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
39	38	rmo4 3695	. 2 ⊢ (∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
40	29, 39	sylibr 237	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091  ∃*wrmo 3370   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419   + caddc 11122   ≤ cle 11263  2c2 12314  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14119  ℙcprime 16755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12883  df-rp 13037  df-fl 13847  df-mod 13925  df-seq 14060  df-exp 14120  df-cj 15178  df-re 15179  df-im 15180  df-sqrt 15314  df-abs 15315  df-dvds 16337  df-gcd 16579  df-prm 16756

This theorem is used by:  2sqreulem1  27665  2sqreunnlem1  27668