Theorem 2sqmo 26490

Description: There exists at most one decomposition of a prime as a sum of two squares. See 2sqb 26485 for the existence of such a decomposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2sqmo	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqmo

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)
2		nfre1 3234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
3	1, 2	nfan 1903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑑 ∈ ℕ0
5	3, 4	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
6		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑐 ≤ 𝑑
7	5, 6	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑)
8		nfv 1918	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1903	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
10		simp-8l 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		simp-8r 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ∈ ℕ0)
12		simpllr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑏 ∈ ℕ0)
13		simp-7r 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ∈ ℕ0)
14		simp-6r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑑 ∈ ℕ0)
15		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ≤ 𝑏)
16		simp-5r 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ≤ 𝑑)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
18		simp-4r 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
19	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	2sqmod 26489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
20	19	simpld 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
21	20	anasss 466	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
22	21	adantl5r 759	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
23		simp-4r 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
24	9, 22, 23	r19.29af 3259	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
25	24	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
26	25	r19.29an 3216	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
27	26	expl 457	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
28	27	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
29	28	ralrimiva 3107	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
30		breq12 5075	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑐 ≤ 𝑑))
31		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑎 = 𝑐)
32	31	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎↑2) = (𝑐↑2))
33		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑏 = 𝑑)
34	33	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏↑2) = (𝑑↑2))
35	32, 34	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
36	35	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃))
37	30, 36	anbi12d 630	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
38	37	cbvrexdva 3384	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
39	38	rmo4 3660	. 2 ⊢ (∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
40	29, 39	sylibr 233	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  ∃*wrmo 3066   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   + caddc 10805   ≤ cle 10941  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  2sqreulem1  26499  2sqreunnlem1  26502