Theorem 2sqmo 27502

Description: There exists at most one decomposition of a prime as a sum of two squares. See 2sqb 27497 for the existence of such a decomposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2sqmo	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqmo

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)
2		nfre1 3288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
3	1, 2	nfan 1920	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		nfv 1935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑑 ∈ ℕ0
5	3, 4	nfan 1920	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
6		nfv 1935	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑐 ≤ 𝑑
7	5, 6	nfan 1920	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑)
8		nfv 1935	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1920	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
10		simp-8l 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		simp-8r 801	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ∈ ℕ0)
12		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑏 ∈ ℕ0)
13		simp-7r 799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ∈ ℕ0)
14		simp-6r 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑑 ∈ ℕ0)
15		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ≤ 𝑏)
16		simp-5r 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ≤ 𝑑)
17		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
18		simp-4r 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
19	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	2sqmod 27501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
20	19	simpld 498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
21	20	anasss 470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
22	21	adantl5r 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
23		simp-4r 793	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
24	9, 22, 23	r19.29af 3272	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
25	24	anasss 470	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
26	25	r19.29an 3167	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
27	26	expl 461	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
28	27	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
29	28	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
30		breq12 5106	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑐 ≤ 𝑑))
31		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑎 = 𝑐)
32	31	oveq1d 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎↑2) = (𝑐↑2))
33		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑏 = 𝑑)
34	33	oveq1d 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏↑2) = (𝑑↑2))
35	32, 34	oveq12d 7415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
36	35	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃))
37	30, 36	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
38	37	cbvrexdva 3244	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
39	38	rmo4 3694	. 2 ⊢ (∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
40	29, 39	sylibr 236	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  ∃*wrmo 3367   class class class wbr 5101  (class class class)co 7397   + caddc 11077   ≤ cle 11218  2c2 12273  ℕ₀cn0 12482  ↑cexp 14075  ℙcprime 16706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-2o 8439  df-er 8679  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-inf 9390  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-div 11846  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12483  df-z 12570  df-uz 12841  df-rp 12995  df-fl 13803  df-mod 13881  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15127  df-re 15128  df-im 15129  df-sqrt 15263  df-abs 15264  df-dvds 16288  df-gcd 16530  df-prm 16707

This theorem is referenced by:  2sqreulem1  27511  2sqreunnlem1  27514