Theorem 2sqmo 26785

Description: There exists at most one decomposition of a prime as a sum of two squares. See 2sqb 26780 for the existence of such a decomposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2sqmo	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqmo

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)
2		nfre1 3268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
3	1, 2	nfan 1902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑑 ∈ ℕ0
5	3, 4	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
6		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑐 ≤ 𝑑
7	5, 6	nfan 1902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑)
8		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
10		simp-8l 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		simp-8r 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ∈ ℕ0)
12		simpllr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑏 ∈ ℕ0)
13		simp-7r 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ∈ ℕ0)
14		simp-6r 786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑑 ∈ ℕ0)
15		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ≤ 𝑏)
16		simp-5r 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ≤ 𝑑)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
18		simp-4r 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
19	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	2sqmod 26784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
20	19	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
21	20	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
22	21	adantl5r 761	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
23		simp-4r 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
24	9, 22, 23	r19.29af 3251	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
25	24	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
26	25	r19.29an 3155	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
27	26	expl 458	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
28	27	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
29	28	ralrimiva 3143	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
30		breq12 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑐 ≤ 𝑑))
31		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑎 = 𝑐)
32	31	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎↑2) = (𝑐↑2))
33		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑏 = 𝑑)
34	33	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏↑2) = (𝑑↑2))
35	32, 34	oveq12d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
36	35	eqeq1d 2738	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃))
37	30, 36	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
38	37	cbvrexdva 3327	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
39	38	rmo4 3688	. 2 ⊢ (∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
40	29, 39	sylibr 233	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ∃*wrmo 3352   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357   + caddc 11054   ≤ cle 11190  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13967  ℙcprime 16547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548

This theorem is referenced by:  2sqreulem1  26794  2sqreunnlem1  26797