Theorem 2sqmo 26585

Description: There exists at most one decomposition of a prime as a sum of two squares. See 2sqb 26580 for the existence of such a decomposition. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
2sqmo	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Distinct variable group:   𝑃,𝑎,𝑏

Proof of Theorem 2sqmo

Dummy variables 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0)
2		nfre1 3239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑏∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
3	1, 2	nfan 1902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
4		nfv 1917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑑 ∈ ℕ0
5	3, 4	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0)
6		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑐 ≤ 𝑑
7	5, 6	nfan 1902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑)
8		nfv 1917	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃
9	7, 8	nfan 1902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
10		simp-8l 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
11		simp-8r 789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ∈ ℕ0)
12		simpllr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑏 ∈ ℕ0)
13		simp-7r 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ∈ ℕ0)
14		simp-6r 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑑 ∈ ℕ0)
15		simplr 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 ≤ 𝑏)
16		simp-5r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑐 ≤ 𝑑)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)
18		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)
19	10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	2sqmod 26584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → (𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑))
20	19	simpld 495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ 𝑎 ≤ 𝑏) ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
21	20	anasss 467	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
22	21	adantl5r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) ∧ (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
23		simp-4r 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))
24	9, 22, 23	r19.29af 3262	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ≤ 𝑑) ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃) → 𝑎 = 𝑐)
25	24	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
26	25	r19.29an 3217	. . . . 5 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃)) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐)
27	26	expl 458	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) ∧ 𝑐 ∈ ℕ0) → ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
28	27	ralrimiva 3103	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
29	28	ralrimiva 3103	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
30		breq12 5079	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑐 ≤ 𝑑))
31		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑎 = 𝑐)
32	31	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎↑2) = (𝑐↑2))
33		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → 𝑏 = 𝑑)
34	33	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑏↑2) = (𝑑↑2))
35	32, 34	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)))
36	35	eqeq1d 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃 ↔ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃))
37	30, 36	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
38	37	cbvrexdva 3395	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)))
39	38	rmo4 3665	. 2 ⊢ (∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ∀𝑐 ∈ ℕ0 ((∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃) ∧ ∃𝑑 ∈ ℕ0 (𝑐 ≤ 𝑑 ∧ ((𝑐↑2) + (𝑑↑2)) = 𝑃)) → 𝑎 = 𝑐))
40	29, 39	sylibr 233	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ∃*𝑎 ∈ ℕ0 ∃𝑏 ∈ ℕ0 (𝑎 ≤ 𝑏 ∧ ((𝑎↑2) + (𝑏↑2)) = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  ∃*wrmo 3067   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275   + caddc 10874   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377

This theorem is referenced by:  2sqreulem1  26594  2sqreunnlem1  26597