Theorem 2sqb 27494

Description: The converse to 2sq 27492. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2947	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
2		prmz 16722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
5		bezout 16590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
6	3, 4, 5	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
7		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
8		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
9		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10		simprll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
11		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 27493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 mod 4) = 1)
14	13	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
15	14	rexlimdvva 3219	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	6, 15	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 mod 4) = 1)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
19	18	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
20	1, 19	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	20	orrd 862	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
22		1z 12673	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		oveq1 7455	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = (1↑2))
24		sq1 14244	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = 1)
26	25	oveq1d 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (1 + (𝑦↑2)))
27	26	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = (1 + (𝑦↑2))))
28		oveq1 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
29	28, 24	eqtrdi 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
30	29	oveq2d 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = (1 + 1))
31		1p1e2 12418	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
32	30, 31	eqtrdi 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = 2)
33	32	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑃 = (1 + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = 2))
34	27, 33	rspc2ev 3648	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
35	22, 22, 34	mp3an12 1451	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
36	35	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
37		2sq 27492	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
38	36, 37	jaodan 958	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	21, 38	impbida 800	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  2c2 12348  4c4 12350  ℤcz 12639   mod cmo 13920  ↑cexp 14112   gcd cgcd 16540  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-ofr 7715  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-ec 8765  df-qs 8769  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-phi 16813  df-pc 16884  df-gz 16977  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-imas 17568  df-qus 17569  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-nsg 19164  df-eqg 19165  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-srg 20214  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-nzr 20539  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-idom 20718  df-drng 20753  df-field 20754  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-lidl 21241  df-rsp 21242  df-2idl 21283  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-zn 21540  df-assa 21896  df-asp 21897  df-ascl 21898  df-psr 21952  df-mvr 21953  df-mpl 21954  df-opsr 21956  df-evls 22121  df-evl 22122  df-psr1 22202  df-vr1 22203  df-ply1 22204  df-coe1 22205  df-evl1 22341  df-mdeg 26114  df-deg1 26115  df-mon1 26190  df-uc1p 26191  df-q1p 26192  df-r1p 26193  df-lgs 27357

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27510  2sqreunnltblem  27513