Theorem 2sqb 27370

Description: The converse to 2sq 27368. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2929	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
2		prmz 16586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simplrr 777	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
5		bezout 16454	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
6	3, 4, 5	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
7		simplll 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
8		simpllr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
9		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10		simprll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
11		simprlr 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 27369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 mod 4) = 1)
14	13	expr 456	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
15	14	rexlimdvva 3189	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	6, 15	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 mod 4) = 1)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	rexlimdvva 3189	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
19	18	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
20	1, 19	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	20	orrd 863	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
22		1z 12502	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		oveq1 7353	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = (1↑2))
24		sq1 14102	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = 1)
26	25	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (1 + (𝑦↑2)))
27	26	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = (1 + (𝑦↑2))))
28		oveq1 7353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
29	28, 24	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
30	29	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = (1 + 1))
31		1p1e2 12245	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
32	30, 31	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = 2)
33	32	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑃 = (1 + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = 2))
34	27, 33	rspc2ev 3585	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
35	22, 22, 34	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
36	35	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
37		2sq 27368	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
38	36, 37	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	21, 38	impbida 800	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  4c4 12182  ℤcz 12468   mod cmo 13773  ↑cexp 13968   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-ec 8624  df-qs 8628  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-phi 16677  df-pc 16749  df-gz 16842  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-imas 17412  df-qus 17413  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-nsg 19037  df-eqg 19038  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-cring 20154  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-rhm 20390  df-nzr 20428  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-idom 20611  df-drng 20646  df-field 20647  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-sra 21107  df-rgmod 21108  df-lidl 21145  df-rsp 21146  df-2idl 21187  df-cnfld 21292  df-zring 21384  df-zrh 21440  df-zn 21443  df-assa 21790  df-asp 21791  df-ascl 21792  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-evls 22009  df-evl 22010  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095  df-evl1 22231  df-mdeg 25987  df-deg1 25988  df-mon1 26063  df-uc1p 26064  df-q1p 26065  df-r1p 26066  df-lgs 27233

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  27386  2sqreunnltblem  27389