Theorem 2sqb 26168

Description: The converse to 2sq 26166. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2935	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
2		prmz 16116	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	2	ad3antrrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simplrr 778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
5		bezout 15987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
6	3, 4, 5	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
7		simplll 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
8		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
9		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10		simprll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
11		simprlr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 26167	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 mod 4) = 1)
14	13	expr 460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
15	14	rexlimdvva 3204	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	6, 15	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 mod 4) = 1)
17	16	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	rexlimdvva 3204	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
19	18	impancom 455	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
20	1, 19	syl5bir 246	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	20	orrd 862	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
22		1z 12093	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		oveq1 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = (1↑2))
24		sq1 13650	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = 1)
26	25	oveq1d 7185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (1 + (𝑦↑2)))
27	26	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = (1 + (𝑦↑2))))
28		oveq1 7177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
29	28, 24	eqtrdi 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
30	29	oveq2d 7186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = (1 + 1))
31		1p1e2 11841	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
32	30, 31	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = 2)
33	32	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑃 = (1 + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = 2))
34	27, 33	rspc2ev 3538	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
35	22, 22, 34	mp3an12 1452	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
36	35	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
37		2sq 26166	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
38	36, 37	jaodan 957	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	21, 38	impbida 801	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2934  ∃wrex 3054  (class class class)co 7170  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  2c2 11771  4c4 11773  ℤcz 12062   mod cmo 13328  ↑cexp 13521   gcd cgcd 15937  ℙcprime 16112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-tpos 7921  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-ec 8322  df-qs 8326  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-gcd 15938  df-prm 16113  df-phi 16203  df-pc 16274  df-gz 16366  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-prds 16824  df-pws 16826  df-imas 16884  df-qus 16885  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-submnd 18073  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-nsg 18395  df-eqg 18396  df-ghm 18474  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-abl 19027  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-srg 19375  df-ring 19418  df-cring 19419  df-oppr 19495  df-dvdsr 19513  df-unit 19514  df-invr 19544  df-dvr 19555  df-rnghom 19589  df-drng 19623  df-field 19624  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-lsp 19863  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065  df-rsp 20066  df-2idl 20124  df-nzr 20150  df-rlreg 20175  df-domn 20176  df-idom 20177  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-zn 20327  df-assa 20669  df-asp 20670  df-ascl 20671  df-psr 20722  df-mvr 20723  df-mpl 20724  df-opsr 20726  df-evls 20886  df-evl 20887  df-psr1 20955  df-vr1 20956  df-ply1 20957  df-coe1 20958  df-evl1 21086  df-mdeg 24805  df-deg1 24806  df-mon1 24883  df-uc1p 24884  df-q1p 24885  df-r1p 24886  df-lgs 26031

This theorem is referenced by:  2sqreultblem  26184  2sqreunnltblem  26187