Theorem 2sqb 27768

Description: The converse to 2sq 27766. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
2sqb	⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑃

Proof of Theorem 2sqb

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ne 2956	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ 2 ↔ ¬ 𝑃 = 2)
2		prmz 16859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
3	2	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
4		simplrr 790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → 𝑦 ∈ ℤ)
5		bezout 16725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
6	3, 4, 5	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
7		simplll 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
8		simpllr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
9		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
10		simprll 791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑎 ∈ ℤ)
11		simprlr 792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → 𝑏 ∈ ℤ)
12		simprr 785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))
13	7, 8, 9, 10, 11, 12	2sqblem 27767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)))) → (𝑃 mod 4) = 1)
14	13	expr 462	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → ((𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
15	14	rexlimdvva 3219	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝑃 gcd 𝑦) = ((𝑃 · 𝑎) + (𝑦 · 𝑏)) → (𝑃 mod 4) = 1))
16	6, 15	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) ∧ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 mod 4) = 1)
17	16	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
18	17	rexlimdvva 3219	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) → (𝑃 mod 4) = 1))
19	18	impancom 457	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 ≠ 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
20	1, 19	biimtrrid 246	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (¬ 𝑃 = 2 → (𝑃 mod 4) = 1))
21	20	orrd 877	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2))) → (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1))
22		1z 12733	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
23		oveq1 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = (1↑2))
24		sq1 14345	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
25	23, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥↑2) = 1)
26	25	oveq1d 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) = (1 + (𝑦↑2)))
27	26	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = (1 + (𝑦↑2))))
28		oveq1 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = (1↑2))
29	28, 24	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑦↑2) = 1)
30	29	oveq2d 7440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = (1 + 1))
31		1p1e2 12473	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
32	30, 31	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 1 → (1 + (𝑦↑2)) = 2)
33	32	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝑃 = (1 + (𝑦↑2)) ↔ 𝑃 = 2))
34	27, 33	rspc2ev 3588	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
35	22, 22, 34	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑃 = 2 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
36	35	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 = 2) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
37		2sq 27766	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 mod 4) = 1) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
38	36, 37	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)))
39	21, 38	impbida 813	1 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℤ 𝑃 = ((𝑥↑2) + (𝑦↑2)) ↔ (𝑃 = 2 ∨ (𝑃 mod 4) = 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  (class class class)co 7424  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212  2c2 12404  4c4 12406  ℤcz 12700   mod cmo 14016  ↑cexp 14211   gcd cgcd 16673  ℙcprime 16855

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286  ax-mulf 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-tpos 8251  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-mod 14017  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-dvds 16432  df-gcd 16674  df-prm 16856  df-phi 16952  df-pc 17024  df-gz 17117  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-prds 17627  df-pws 17629  df-imas 17689  df-qus 17690  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-mhm 18987  df-submnd 18988  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-mulg 19287  df-subg 19342  df-nsg 19343  df-eqg 19344  df-ghm 19437  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-srg 20422  df-ring 20470  df-cring 20471  df-oppr 20576  df-dvdsr 20596  df-unit 20597  df-invr 20627  df-dvr 20640  df-rhm 20711  df-nzr 20772  df-subrng 20807  df-subrg 20831  df-rlreg 20955  df-domn 20956  df-idom 20957  df-drng 20991  df-field 20992  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-lsp 21256  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-lidl 21495  df-rsp 21496  df-2idl 21552  df-cnfld 21688  df-zring 21762  df-zrh 21818  df-zn 21821  df-assa 22170  df-asp 22171  df-ascl 22172  df-psr 22226  df-mvr 22227  df-mpl 22228  df-opsr 22230  df-evls 22392  df-evl 22393  df-psr1 22507  df-vr1 22508  df-ply1 22509  df-coe1 22510  df-evl1 22643  df-mdeg 26382  df-deg1 26383  df-mon1 26458  df-uc1p 26459  df-q1p 26460  df-r1p 26461  df-lgs 27631

This theorem is used by:  2sqreultblem  27784  2sqreunnltblem  27787