MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2sqb 26796
Description: The converse to 2sq 26794. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sqb (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ (๐‘ƒ mod 4) = 1)))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ƒ

Proof of Theorem 2sqb
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2945 . . . 4 (๐‘ƒ โ‰  2 โ†” ยฌ ๐‘ƒ = 2)
2 prmz 16558 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
32ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
4 simplrr 777 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
5 bezout 16431 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
63, 4, 5syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
7 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2))
8 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค))
9 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
10 simprll 778 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„ค)
11 simprlr 779 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
12 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))
137, 8, 9, 10, 11, 122sqblem 26795 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)))) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1)
1413expr 458 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
1514rexlimdvva 3206 . . . . . . . 8 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„ค (๐‘ƒ gcd ๐‘ฆ) = ((๐‘ƒ ยท ๐‘Ž) + (๐‘ฆ ยท ๐‘)) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
166, 15mpd 15 . . . . . . 7 ((((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โˆง ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1)
1716ex 414 . . . . . 6 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
1817rexlimdvva 3206 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ โ‰  2) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
1918impancom 453 . . . 4 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ (๐‘ƒ โ‰  2 โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
201, 19biimtrrid 242 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ = 2 โ†’ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
2120orrd 862 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2))) โ†’ (๐‘ƒ = 2 โˆจ (๐‘ƒ mod 4) = 1))
22 1z 12540 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
23 oveq1 7369 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = (1โ†‘2))
24 sq1 14106 . . . . . . . . 9 (1โ†‘2) = 1
2523, 24eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ฅโ†‘2) = 1)
2625oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) = (1 + (๐‘ฆโ†‘2)))
2726eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ = (1 + (๐‘ฆโ†‘2))))
28 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = (1โ†‘2))
2928, 24eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ฆโ†‘2) = 1)
3029oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (1 + (๐‘ฆโ†‘2)) = (1 + 1))
31 1p1e2 12285 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
3230, 31eqtrdi 2793 . . . . . . 7 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (1 + (๐‘ฆโ†‘2)) = 2)
3332eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘ฆ = 1 โ†’ (๐‘ƒ = (1 + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” ๐‘ƒ = 2))
3427, 33rspc2ev 3595 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ = 2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3522, 22, 34mp3an12 1452 . . . 4 (๐‘ƒ = 2 โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3635adantl 483 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง ๐‘ƒ = 2) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
37 2sq 26794 . . 3 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ mod 4) = 1) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3836, 37jaodan 957 . 2 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (๐‘ƒ = 2 โˆจ (๐‘ƒ mod 4) = 1)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)))
3921, 38impbida 800 1 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค ๐‘ƒ = ((๐‘ฅโ†‘2) + (๐‘ฆโ†‘2)) โ†” (๐‘ƒ = 2 โˆจ (๐‘ƒ mod 4) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆƒwrex 3074  (class class class)co 7362  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063  2c2 12215  4c4 12217  โ„คcz 12506   mod cmo 13781  โ†‘cexp 13974   gcd cgcd 16381  โ„™cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-gz 16809  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-prds 17336  df-pws 17338  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-srg 19925  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-field 20202  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-nzr 20744  df-rlreg 20769  df-domn 20770  df-idom 20771  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-assa 21275  df-asp 21276  df-ascl 21277  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-evls 21498  df-evl 21499  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-evl1 21698  df-mdeg 25433  df-deg1 25434  df-mon1 25511  df-uc1p 25512  df-q1p 25513  df-r1p 25514  df-lgs 26659
This theorem is referenced by:  2sqreultblem  26812  2sqreunnltblem  26815
  Copyright terms: Public domain W3C validator