Theorem angmgmaddov1lem 29387

Description: Lemma for angmgmaddov1 29389. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddov1lem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddov1lem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   − ,𝑑,𝑠   ∼ ,𝑠   𝐺,𝑑,𝑠   𝐼,𝑑,𝑠   𝐿,𝑑,𝑠   𝑃,𝑑,𝑠   𝑈,𝑑,𝑠   𝑉,𝑑,𝑠   𝑊,𝑑,𝑠   𝑋,𝑑,𝑠   𝑌,𝑑,𝑠   𝑍,𝑑,𝑠   𝜑,𝑑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠, 𝑑)   ∼ (𝑑)

Proof of Theorem angmgmaddov1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmadd.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
3		angmgmadd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		angmgmadd.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		angmgmadd.c	. . . . 5 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
6		angmgmadd.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		angmgmadd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		angmgmaddov.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ∈ 𝑃)
11		angmgmaddov.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ∈ 𝑃)
13		angmgmaddov.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		angmgmaddov.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17		angmgmaddov.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19		angmgmaddov.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑃)
21		angmgmaddeu.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑉)
23		angmgmaddeu.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
25		angmgmaddeu.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
27		angmgmaddeu.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ≠ 𝑍)
29		angmgmaddov1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31	angmgmaddeu2 29381	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
33	32	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
34	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
36	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
37	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
38	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
40	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
41	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
42	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
43	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
44	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
45	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈))
47	1, 4, 3, 34, 37, 36, 35, 46	tgbtwncom 28952	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47	angmgmaddeu3 29382	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
49	48	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
50		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
51	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
52	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
53	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
54	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	23	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉)
57	56	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑉)
58		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
59	1, 3, 6, 54, 51, 52, 53, 57, 58	lncom 29091	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑊𝐿𝑉))
60	1, 3, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 6, 59	lnhl 29082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊 ∨ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)))
61	33, 49, 60	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
62	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
64	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
65	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
66	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
67	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
68	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
69	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
70	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
71	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
72	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
73	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
74		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	angmgmaddeu1 29380	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
76	61, 75	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃!wreu 3363  {crab 3412   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  0cc0 11201  1c1 11202  2c2 12398  3c3 12399  ..^cfzo 13789  ⟨“cs3 14994  Basecbs 17388  distcds 17438  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  LineGclng 28897  hlGchlg 29064  cgrAccgra 29315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-trkgc 28911  df-trkgb 28912  df-trkgcb 28913  df-trkgld 28915  df-trkg 28916  df-cgrg 28975  df-ismt 28997  df-leg 29047  df-hlg 29065  df-mir 29126  df-rag 29170  df-perpg 29172  df-hpg 29237  df-mid 29280  df-lmi 29281  df-cgra 29316

This theorem is used by:  angmgmaddov1  29389  angmgmaddcpbl  29391  angmgmaddcl  29392