Theorem angmgmaddov1lem 29416

Description: Lemma for angmgmaddov1 29418. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddov1lem.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddov1lem	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   − ,𝑑,𝑠   ∼ ,𝑠   𝐺,𝑑,𝑠   𝐼,𝑑,𝑠   𝐿,𝑑,𝑠   𝑃,𝑑,𝑠   𝑈,𝑑,𝑠   𝑉,𝑑,𝑠   𝑊,𝑑,𝑠   𝑋,𝑑,𝑠   𝑌,𝑑,𝑠   𝑍,𝑑,𝑠   𝜑,𝑑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠, 𝑑)   ∼ (𝑑)

Proof of Theorem angmgmaddov1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmadd.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
3		angmgmadd.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		angmgmadd.d	. . . . 5 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		angmgmadd.c	. . . . 5 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
6		angmgmadd.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		angmgmadd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝐺 ∈ TarskiG)
9		angmgmaddov.u	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
10	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ∈ 𝑃)
11		angmgmaddov.v	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ∈ 𝑃)
13		angmgmaddov.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑊 ∈ 𝑃)
15		angmgmaddov.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ∈ 𝑃)
17		angmgmaddov.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ∈ 𝑃)
19		angmgmaddov.z	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
20	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑍 ∈ 𝑃)
21		angmgmaddeu.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
22	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈 ≠ 𝑉)
23		angmgmaddeu.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
24	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑉 ≠ 𝑊)
25		angmgmaddeu.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
26	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑋 ≠ 𝑌)
27		angmgmaddeu.4	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑌 ≠ 𝑍)
29		angmgmaddov1lem.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
30	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
31		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 31	angmgmaddeu2 29410	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
33	32	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
34	7	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
36	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
37	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
38	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
40	19	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
41	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
42	23	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
43	25	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
44	27	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
45	29	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
46		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈))
47	1, 4, 3, 34, 37, 36, 35, 46	tgbtwncom 28981	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → 𝑉 ∈ (𝑈𝐼𝑊))
48	1, 2, 3, 4, 5, 6, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 47	angmgmaddeu3 29411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
49	48	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) ∧ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
50		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
51	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
52	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
53	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
54	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
55	15	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
56	23	necomd 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ≠ 𝑉)
57	56	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ≠ 𝑉)
58		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
59	1, 3, 6, 54, 51, 52, 53, 57, 58	lncom 29120	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ (𝑊𝐿𝑉))
60	1, 3, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 6, 59	lnhl 29111	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → (𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊 ∨ 𝑉 ∈ (𝑊𝐼𝑈)))
61	33, 49, 60	mpjaodan 973	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
62	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
63	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
64	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
65	13	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
66	15	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
67	17	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
68	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
69	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑈 ≠ 𝑉)
70	23	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑉 ≠ 𝑊)
71	25	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
72	27	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
73	29	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
74		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊))
75	1, 2, 3, 4, 5, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	angmgmaddeu1 29409	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑈 ∈ (𝑉𝐿𝑊)) → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
76	61, 75	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃!wreu 3367  {crab 3416   ∩ cin 4092  ∅c0 4281   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  3c3 12425  ..^cfzo 13815  ⟨“cs3 15021  Basecbs 17416  distcds 17466  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  hlGchlg 29093  cgrAccgra 29344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-trkgc 28940  df-trkgb 28941  df-trkgcb 28942  df-trkgld 28944  df-trkg 28945  df-cgrg 29004  df-ismt 29026  df-leg 29076  df-hlg 29094  df-mir 29155  df-rag 29199  df-perpg 29201  df-hpg 29266  df-mid 29309  df-lmi 29310  df-cgra 29345

This theorem is used by:  angmgmaddov1  29418  angmgmaddcpbl  29420  angmgmaddcl  29421