Theorem angmgmaddeu2 29381

Description: Existence of a unique point for building angle addition. Case where the second angle is a zero angle. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmadd.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmadd.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmadd.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
angmgmadd.d	⊢ − = (dist‘𝐺)
angmgmadd.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmadd.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
angmgmadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
angmgmaddov.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
angmgmaddov.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
angmgmaddeu.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
angmgmaddeu.2	⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑊)
angmgmaddeu.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
angmgmaddeu.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
angmgmaddeu2.1	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
angmgmaddeu2.2	⊢ (𝜑 → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)

Assertion

Ref	Expression
angmgmaddeu2	⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

Distinct variable groups:   − ,𝑠   𝐺,𝑠   𝐼,𝑠   𝑃,𝑠   𝑈,𝑠   𝑉,𝑠   𝑊,𝑠   𝑋,𝑠   𝑌,𝑠   𝑍,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑠, 𝑑)   𝑃(𝑑)   ∼ (𝑠, 𝑑)   𝑈(𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐼(𝑑)   𝐿(𝑠, 𝑑)   − (𝑑)   𝑉(𝑑)   𝑊(𝑑)   𝑋(𝑑)   𝑌(𝑑)   𝑍(𝑑)

Proof of Theorem angmgmaddeu2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmadd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		angmgmadd.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
4		angmgmaddov.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
5		angmgmaddov.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑃)
6		angmgmaddov.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑃)
7		angmgmadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		angmgmaddov.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
9		angmgmadd.d	. . 3 ⊢ − = (dist‘𝐺)
10		angmgmaddeu.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
11	10	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
12		angmgmaddeu.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
13	12	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ≠ 𝑈)
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13	hlcgreu 29085	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
15		angmgmadd.c	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
16	7	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
17		simpllr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ 𝑃)
18	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ 𝑃)
19	4	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑃)
20		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
21	1, 2, 3, 17, 18, 19, 16, 20	hlcomd 29071	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑠)
22		angmgmaddeu2.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
23	22	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
24	5	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝑃)
25	1, 15, 3, 16, 21, 23, 19, 24	zerocgra 29332	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
26		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
27		angmgmadd.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
28	10	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
29	1, 2, 3, 18, 17, 19, 16, 27, 21	hlln 29074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑍 ∈ (𝑠𝐿𝑌))
30	6	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝑃)
31	26	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (𝑉 − 𝑈) = (𝑌 − 𝑠))
32	13	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑉 ≠ 𝑈)
33	1, 9, 2, 16, 24, 30, 19, 17, 31, 32	tgcgrneq 28946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑌 ≠ 𝑠)
34	33	necomd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ≠ 𝑌)
35	1, 2, 27, 16, 19, 18, 17, 28, 29, 34	lnrot1 29092	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑌𝐿𝑍))
36		angmgmaddov.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
37	36	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
38	1, 9, 2, 16, 17, 37	tgbtwntriv1 28955	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ (𝑠𝐼𝑋))
39	35, 38	elind 4097	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → 𝑠 ∈ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)))
40	39	ne0d 4287	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)
41	25, 26, 40	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
42	41	anasss 472	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))) → (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))
43	8	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑍 ∈ 𝑃)
44		simp-4r 796	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑠 ∈ 𝑃)
45	4	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑌 ∈ 𝑃)
46	7	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
47	6	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑈 ∈ 𝑃)
48	5	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑉 ∈ 𝑃)
49		angmgmaddov.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑃)
50	49	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑊 ∈ 𝑃)
51	15	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ∼ = (cgrA‘𝐺))
52		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
53	51, 52	breqdi 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩)
54	1, 2, 46, 3, 43, 45, 44, 47, 48, 50, 53	cgracom 29330	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩)
55	22	ad4antr 745	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑈((hlG‘𝐺)‘𝑉)𝑊)
56	1, 2, 9, 46, 47, 48, 50, 43, 45, 44, 54, 3, 55	cgrahl 29336	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑍((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑠)
57	1, 2, 3, 43, 44, 45, 46, 56	hlcomd 29071	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → 𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍)
58		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈))
59	57, 58	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ ⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩) ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
60	59	3anasss 1380	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)) → (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)))
61	42, 60	impbida 813	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑃) → ((𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)))
62	61	reubidva 3379	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑠 ∈ 𝑃 (𝑠((hlG‘𝐺)‘𝑌)𝑍 ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈)) ↔ ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅)))
63	14, 62	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → ∃!𝑠 ∈ 𝑃 (⟨“𝑍𝑌𝑠”⟩ ∼ ⟨“𝑈𝑉𝑊”⟩ ∧ (𝑌 − 𝑠) = (𝑉 − 𝑈) ∧ ((𝑌𝐿𝑍) ∩ (𝑠𝐼𝑋)) ≠ ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃!wreu 3363  {crab 3412   ∩ cin 4089  ∅c0 4278   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  0cc0 11201  1c1 11202  2c2 12398  3c3 12399  ..^cfzo 13789  ⟨“cs3 14994  Basecbs 17388  distcds 17438  TarskiGcstrkg 28890  Itvcitv 28896  LineGclng 28897  hlGchlg 29064  cgrAccgra 29315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-xnn0 12681  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-s1 14744  df-s2 15000  df-s3 15001  df-trkgc 28911  df-trkgb 28912  df-trkgcb 28913  df-trkg 28916  df-cgrg 28975  df-leg 29047  df-hlg 29065  df-cgra 29316

This theorem is used by:  angmgmaddov1lem  29387  angmgmaddov2lem  29388