Theorem angmgmbas 29428

Description: The base set of the angle addition magma. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmbas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmbas.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmbas.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmbas.j	⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
angmgmbas.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)

Assertion

Ref	Expression
angmgmbas	⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) = (Base‘𝐽))

Distinct variable group:   𝑃,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   ∼ (𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐽(𝑑)

Proof of Theorem angmgmbas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmbas.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		angmgmbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		angmgmbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
6		angmgmbas.c	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
7		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)) = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
9		angmgmbas.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (≤∠‘𝐺) = (≤∠‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	angmgmval 29424	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
12	1, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
13		ovex 7476	. . . 4 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
14	3, 13	rabex2 5306	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		1nn 12373	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		basendx 17425	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17		1lt2 12542	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
18		2nn 12443	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		plusgndx 17483	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
20		2lt10 12985	. . . . 5 ⊢ 2 < ;10
21		10nn 12861	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
22		plendx 17566	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
23	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	strle3 17367	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} Struct ⟨1, ;10⟩
24		baseid 17419	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
25		snsstp1 4775	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
26	23, 24, 25	strfv 17410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
27	14, 26	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
28	6	fvexi 6922	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
30		tpex 7786	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V)
32	12, 27, 29, 31	qusbas 17746	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) = (Base‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3454   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  ifcif 4485  {ctp 4592  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  ℩crio 7399  (class class class)co 7443   ∈ cmpo 7445   / cqs 8744   ↑_m cmap 8875  0cc0 11227  1c1 11228  2c2 12424  3c3 12425  ;cdc 12841  ..^cfzo 13815  ⟨“cs3 15021  ndxcnx 17400  Basecbs 17416  +_gcplusg 17457  lecple 17464  distcds 17466   /_s cqus 17706  TarskiGcstrkg 28919  Itvcitv 28925  LineGclng 28926  cgrAccgra 29344  ≤_∠cleag 29385  AngMgmcangmgm 29403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-struct 17354  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-imas 17709  df-qus 17710  df-angmgm 29404

This theorem is used by: (None)