Theorem angmgmbas 29332

Description: The base set of the angle addition magma. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Aug-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
angmgmbas.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
angmgmbas.a	⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
angmgmbas.c	⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
angmgmbas.j	⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
angmgmbas.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)

Assertion

Ref	Expression
angmgmbas	⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) = (Base‘𝐽))

Distinct variable group:   𝑃,𝑑

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐴(𝑑)   ∼ (𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐽(𝑑)

Proof of Theorem angmgmbas

Dummy variables 𝑒 𝑓 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		angmgmbas.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
2		angmgmbas.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		angmgmbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = {𝑑 ∈ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∣ ((𝑑‘0) ≠ (𝑑‘1) ∧ (𝑑‘1) ≠ (𝑑‘2))}
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
6		angmgmbas.c	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrA‘𝐺)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (LineG‘𝐺) = (LineG‘𝐺)
8		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩)) = (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))
9		angmgmbas.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (AngMgm‘𝐺)
10		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (≤∠‘𝐺) = (≤∠‘𝐺)
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	angmgmval 29328	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TarskiG → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
12	1, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} /s ∼ ))
13		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝑃 ↑m (0..^3)) ∈ V
14	3, 13	rabex2 5301	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
15		1nn 12316	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
16		basendx 17358	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
17		1lt2 12485	. . . . 5 ⊢ 1 < 2
18		2nn 12386	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
19		plusgndx 17416	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
20		2lt10 12928	. . . . 5 ⊢ 2 < ;10
21		10nn 12804	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℕ
22		plendx 17499	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
23	15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22	strle3 17300	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} Struct ⟨1, ;10⟩
24		baseid 17352	. . . 4 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
25		snsstp1 4776	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}
26	23, 24, 25	strfv 17343	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
27	14, 26	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩}))
28	6	fvexi 6887	. . 3 ⊢ ∼ ∈ V
29	28	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ V)
30		tpex 7745	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V
31	30	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑒 ∈ 𝐴, 𝑓 ∈ 𝐴 ↦ if((𝑒‘0) ∈ ((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)), ⟨“(𝑓‘0)(𝑓‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑓‘2)(𝑓‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑒 ∧ ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)(𝑒‘0))))”⟩, ⟨“(𝑒‘0)(𝑒‘1)(℩𝑧 ∈ 𝑃 (⟨“(𝑒‘2)(𝑒‘1)𝑧”⟩ ∼ 𝑓 ∧ ((𝑒‘1)(dist‘𝐺)𝑧) = ((𝑓‘1)(dist‘𝐺)(𝑓‘0)) ∧ (((𝑒‘1)(LineG‘𝐺)(𝑒‘2)) ∩ (𝑧(Itv‘𝐺)(𝑒‘0))) ≠ ∅))”⟩))⟩, ⟨(le‘ndx), (≤∠‘𝐺)⟩} ∈ V)
32	12, 27, 29, 31	qusbas 17679	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / ∼ ) = (Base‘𝐽))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3897  ∅c0 4278  ifcif 4481  {ctp 4587  ⟨cop 4589   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  ℩crio 7364  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410   / cqs 8694   ↑_m cmap 8825  0cc0 11172  1c1 11173  2c2 12367  3c3 12368  ;cdc 12784  ..^cfzo 13757  ⟨“cs3 14961  ndxcnx 17333  Basecbs 17349  +_gcplusg 17390  lecple 17397  distcds 17399   /_s cqus 17639  TarskiGcstrkg 28823  Itvcitv 28829  LineGclng 28830  cgrAccgra 29248  ≤_∠cleag 29289  AngMgmcangmgm 29307

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-s1 14711  df-s2 14967  df-s3 14968  df-struct 17287  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-imas 17642  df-qus 17643  df-angmgm 29308

This theorem is used by: (None)