Theorem cshimadifsn 14777

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its left bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem cshimadifsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14475	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
2		fnfun 6639	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → Fun 𝐹)
4	3	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → Fun 𝐹)
5		wrddm 14468	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
6		difssd 4124	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7		oveq2 7409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
8	7	difeq1d 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
11	6, 9, 10	3sstr4d 4021	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
12	11	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
15	14	3imp 1108	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
16	4, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
17		dfimafn 6944	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧})
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧})
19		modsumfzodifsn 13906	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
20	19	3ad2antl3 1184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
21		oveq2 7409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
22	21	eqcoms 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
23	22	eleq1d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
24	23	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
26	20, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
27		modfzo0difsn 13905	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
28	27	3ad2antl3 1184	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
29		oveq2 7409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
30	29	eqcomd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
31	30	eqeq2d 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
32	31	rexbidv 3170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
33	32	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
35	28, 34	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
36		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
37	36	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
38		simpl1 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
39		elfzoelz 13629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42		oveq2 7409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) = (1..^(♯‘𝐹)))
43	42	eleq2d 2811	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
44		fzo0ss1 13659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
45	44	sseli 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	43, 45	syl6bi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
47	46	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
49		cshwidxmod 14750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
50	49	eqcomd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
51	38, 41, 48, 50	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
52	51	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
53	37, 52	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
54	53	eqeq1d 2726	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
55	26, 35, 54	rexxfrd2 5401	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
56	55	abbidv 2793	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
57	39	anim2i 616	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
58	57	3adant2 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
59		cshwfn 14748	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
61		fnfun 6639	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
62	61	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
63	42, 44	eqsstrdi 4028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
64	63	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
66		fndm 6642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
68	65, 67	sseqtrrd 4015	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
69	62, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
70	60, 69	mpdan 684	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
71		dfimafn 6944	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
72	70, 71	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
73	56, 72	eqtr4d 2767	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧} = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
74	18, 73	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3937   ⊆ wss 3940  {csn 4620  dom cdm 5666   “ cima 5669  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109  ℤcz 12555  ..^cfzo 13624   mod cmo 13831  ♯chash 14287  Word cword 14461   cyclShift ccsh 14735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-ico 13327  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14288  df-word 14462  df-concat 14518  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-csh 14736

This theorem is referenced by:  cshimadifsn0  14778