Theorem cshimadifsn 14785

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its left bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem cshimadifsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14484	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
2		fnfun 6593	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → Fun 𝐹)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → Fun 𝐹)
5		wrddm 14477	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
6		difssd 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7		oveq2 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
8	7	difeq1d 4066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
11	6, 9, 10	3sstr4d 3978	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
12	11	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
15	14	3imp 1111	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
16	4, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
17		dfimafn 6897	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧})
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧})
19		modsumfzodifsn 13900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
20	19	3ad2antl3 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
21		oveq2 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
22	21	eqcoms 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
23	22	eleq1d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
24	23	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
26	20, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
27		modfzo0difsn 13899	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
28	27	3ad2antl3 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
29		oveq2 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
30	29	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
31	30	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
32	31	rexbidv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
33	32	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
35	28, 34	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
36		fveq2 6835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
37	36	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
38		simpl1 1193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
39		elfzoelz 13607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42		oveq2 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) = (1..^(♯‘𝐹)))
43	42	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
44		fzo0ss1 13638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
45	44	sseli 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	43, 45	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
47	46	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
49		cshwidxmod 14759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
50	49	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
51	38, 41, 48, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
52	51	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
53	37, 52	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
54	53	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
55	26, 35, 54	rexxfrd2 5351	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
56	55	abbidv 2803	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
57	39	anim2i 618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
58	57	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
59		cshwfn 14757	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
61		fnfun 6593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
62	61	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
63	42, 44	eqsstrdi 3967	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
64	63	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
66		fndm 6596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
68	65, 67	sseqtrrd 3960	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
69	62, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
70	60, 69	mpdan 688	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
71		dfimafn 6897	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
72	70, 71	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
73	56, 72	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧} = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
74	18, 73	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  dom cdm 5625   “ cima 5628  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035  ℤcz 12518  ..^cfzo 13602   mod cmo 13822  ♯chash 14286  Word cword 14469   cyclShift ccsh 14744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-ico 13298  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-hash 14287  df-word 14470  df-concat 14527  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-csh 14745

This theorem is referenced by:  cshimadifsn0  14786