Theorem cshimadifsn 14731

Description: The image of a cyclically shifted word under its domain without its left bound is the image of a cyclically shifted word under its domain without the number of shifted symbols. (Contributed by AV, 19-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cshimadifsn	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Proof of Theorem cshimadifsn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfn 14430	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
2		fnfun 6576	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun 𝐹)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → Fun 𝐹)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → Fun 𝐹)
5		wrddm 14423	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
6		difssd 4082	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7		oveq2 7349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹)))
8	7	difeq1d 4070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) = ((0..^(♯‘𝐹)) ∖ {𝐽}))
10		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)))
11	6, 9, 10	3sstr4d 3985	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
12	11	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹)) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
13	12	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
14	5, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)))
15	14	3imp 1110	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹)
16	4, 15	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹))
17		dfimafn 6879	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ⊆ dom 𝐹) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧})
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧})
19		modsumfzodifsn 13846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
20	19	3ad2antl3 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
21		oveq2 7349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) = 𝑁 → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
22	21	eqcoms 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
23	22	eleq1d 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
24	23	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}) ↔ ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})))
26	20, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽}))
27		modfzo0difsn 13845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
28	27	3ad2antl3 1188	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
29		oveq2 7349	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
30	29	eqcomd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁))
31	30	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
32	31	rexbidv 3156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
33	32	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → (∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod 𝑁)))
35	28, 34	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) → ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)))
36		fveq2 6817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
37	36	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
38		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐹 ∈ Word 𝑆)
39		elfzoelz 13554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
40	39	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
42		oveq2 7349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) = (1..^(♯‘𝐹)))
43	42	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ 𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹))))
44		fzo0ss1 13584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1..^(♯‘𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))
45	44	sseli 3925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
46	43, 45	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
47	46	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))))
48	47	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
49		cshwidxmod 14705	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))))
50	49	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
51	38, 41, 48, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
52	51	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
53	37, 52	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → (𝐹‘𝑥) = ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦))
54	53	eqeq1d 2733	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁) ∧ 𝑥 = ((𝑦 + 𝐽) mod (♯‘𝐹))) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑧 ↔ ((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
55	26, 35, 54	rexxfrd2 5346	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧))
56	55	abbidv 2797	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧} = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
57	39	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
58	57	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ))
59		cshwfn 14703	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
60	58, 59	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)))
61		fnfun 6576	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
62	61	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → Fun (𝐹 cyclShift 𝐽))
63	42, 44	eqsstrdi 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = (♯‘𝐹) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
64	63	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
65	64	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
66		fndm 6579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹)) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
67	66	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → dom (𝐹 cyclShift 𝐽) = (0..^(♯‘𝐹)))
68	65, 67	sseqtrrd 3967	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽))
69	62, 68	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) ∧ (𝐹 cyclShift 𝐽) Fn (0..^(♯‘𝐹))) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
70	60, 69	mpdan 687	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)))
71		dfimafn 6879	. . . 4 ⊢ ((Fun (𝐹 cyclShift 𝐽) ∧ (1..^𝑁) ⊆ dom (𝐹 cyclShift 𝐽)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
72	70, 71	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)) = {𝑧 ∣ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)((𝐹 cyclShift 𝐽)‘𝑦) = 𝑧})
73	56, 72	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → {𝑧 ∣ ∃𝑥 ∈ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})(𝐹‘𝑥) = 𝑧} = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))
74	18, 73	eqtrd 2766	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 = (♯‘𝐹) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 “ ((0..^𝑁) ∖ {𝐽})) = ((𝐹 cyclShift 𝐽) “ (1..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {cab 2709  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897  {csn 4571  dom cdm 5611   “ cima 5614  Fun wfun 6470   Fn wfn 6471  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  ℤcz 12463  ..^cfzo 13549   mod cmo 13768  ♯chash 14232  Word cword 14415   cyclShift ccsh 14690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-ico 13246  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-hash 14233  df-word 14416  df-concat 14473  df-substr 14544  df-pfx 14574  df-csh 14691

This theorem is referenced by:  cshimadifsn0  14732