Theorem dgraaf 42571

Description: Degree function on algebraic numbers is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraaf	⊢ degAA:𝔸⟶ℕ

Proof of Theorem dgraaf

Dummy variables 𝑝 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11325	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	infex 9517	. . 3 ⊢ inf({𝑏 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑏 ∧ (𝑝‘𝑎) = 0)}, ℝ, < ) ∈ V
3		df-dgraa 42566	. . 3 ⊢ degAA = (𝑎 ∈ 𝔸 ↦ inf({𝑏 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑏 ∧ (𝑝‘𝑎) = 0)}, ℝ, < ))
4	2, 3	fnmpti 6698	. 2 ⊢ degAA Fn 𝔸
5		dgraacl 42570	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝑎) ∈ ℕ)
6	5	rgen 3060	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝔸 (degAA‘𝑎) ∈ ℕ
7		ffnfv 7129	. 2 ⊢ (degAA:𝔸⟶ℕ ↔ (degAA Fn 𝔸 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝔸 (degAA‘𝑎) ∈ ℕ))
8	4, 6, 7	mpbir2an 710	1 ⊢ degAA:𝔸⟶ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058  ∃wrex 3067  {crab 3429   ∖ cdif 3944  {csn 4629   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  infcinf 9465  ℝcr 11138  0cc0 11139   < clt 11279  ℕcn 12243  ℚcq 12963  0_𝑝c0p 25611  Polycply 26131  degcdgr 26134  𝔸caa 26262  deg_AAcdgraa 42564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-0p 25612  df-ply 26135  df-coe 26137  df-dgr 26138  df-aa 26263  df-dgraa 42566

This theorem is referenced by: (None)