Theorem dgraaf 43179

Description: Degree function on algebraic numbers is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
dgraaf	⊢ degAA:𝔸⟶ℕ

Proof of Theorem dgraaf

Dummy variables 𝑝 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11190	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2	1	infex 9379	. . 3 ⊢ inf({𝑏 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑏 ∧ (𝑝‘𝑎) = 0)}, ℝ, < ) ∈ V
3		df-dgraa 43174	. . 3 ⊢ degAA = (𝑎 ∈ 𝔸 ↦ inf({𝑏 ∈ ℕ ∣ ∃𝑝 ∈ ((Poly‘ℚ) ∖ {0𝑝})((deg‘𝑝) = 𝑏 ∧ (𝑝‘𝑎) = 0)}, ℝ, < ))
4	2, 3	fnmpti 6624	. 2 ⊢ degAA Fn 𝔸
5		dgraacl 43178	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ 𝔸 → (degAA‘𝑎) ∈ ℕ)
6	5	rgen 3049	. 2 ⊢ ∀𝑎 ∈ 𝔸 (degAA‘𝑎) ∈ ℕ
7		ffnfv 7052	. 2 ⊢ (degAA:𝔸⟶ℕ ↔ (degAA Fn 𝔸 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝔸 (degAA‘𝑎) ∈ ℕ))
8	4, 6, 7	mpbir2an 711	1 ⊢ degAA:𝔸⟶ℕ

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395   ∖ cdif 3899  {csn 4576   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  infcinf 9325  ℝcr 11002  0cc0 11003   < clt 11143  ℕcn 12122  ℚcq 12843  0_𝑝c0p 25595  Polycply 26114  degcdgr 26117  𝔸caa 26247  deg_AAcdgraa 43172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-q 12844  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-clim 15392  df-rlim 15393  df-sum 15591  df-0p 25596  df-ply 26118  df-coe 26120  df-dgr 26121  df-aa 26248  df-dgraa 43174

This theorem is referenced by: (None)