Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dgraaf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgraaf 42448
Description: Degree function on algebraic numbers is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 29-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
dgraaf degAA:π”ΈβŸΆβ„•

Proof of Theorem dgraaf
Dummy variables 𝑝 π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltso 11295 . . . 4 < Or ℝ
21infex 9487 . . 3 inf({𝑏 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜π‘Ž) = 0)}, ℝ, < ) ∈ V
3 df-dgraa 42443 . . 3 degAA = (π‘Ž ∈ 𝔸 ↦ inf({𝑏 ∈ β„• ∣ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})((degβ€˜π‘) = 𝑏 ∧ (π‘β€˜π‘Ž) = 0)}, ℝ, < ))
42, 3fnmpti 6686 . 2 degAA Fn 𝔸
5 dgraacl 42447 . . 3 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ (degAAβ€˜π‘Ž) ∈ β„•)
65rgen 3057 . 2 βˆ€π‘Ž ∈ 𝔸 (degAAβ€˜π‘Ž) ∈ β„•
7 ffnfv 7113 . 2 (degAA:π”ΈβŸΆβ„• ↔ (degAA Fn 𝔸 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝔸 (degAAβ€˜π‘Ž) ∈ β„•))
84, 6, 7mpbir2an 708 1 degAA:π”ΈβŸΆβ„•
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  {crab 3426   βˆ– cdif 3940  {csn 4623   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  infcinf 9435  β„cr 11108  0cc0 11109   < clt 11249  β„•cn 12213  β„šcq 12933  0𝑝c0p 25549  Polycply 26069  degcdgr 26072  π”Έcaa 26200  degAAcdgraa 42441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25550  df-ply 26073  df-coe 26075  df-dgr 26076  df-aa 26201  df-dgraa 42443
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator