Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem56 44878
Description: Derivative of the 𝐾 function on an interval not containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem56.a (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
fourierdlem56.r4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
21difss2d 4135 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
32sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
4 1ex 11210 . . . . . . . 8 1 ∈ V
5 ovex 7442 . . . . . . . 8 (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ V
64, 5ifex 4579 . . . . . . 7 if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ V)
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
98fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ V) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
103, 7, 9syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
1211neneqd 2946 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
1312iffalsed 4540 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
14 elioore 13354 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1514adantl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1615recnd 11242 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
1716halfcld 12457 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
1817sincld 16073 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
19 2cnd 12290 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
20 fourierdlem44 44867 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
213, 11, 20syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
22 2ne0 12316 . . . . . . . 8 2 β‰  0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 12021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2) = (𝑠 / ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) Β· 2)))
2518, 19mulcomd 11235 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) Β· 2) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
2625oveq2d 7425 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) Β· 2)) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
2724, 26eqtr2d 2774 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))
2810, 13, 273eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))
2928mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2)))
3029oveq2d 7425 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))))
31 reelprrecn 11202 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3231a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3316, 18, 21divcld 11990 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
34 1red 11215 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12459 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3635resincld 16086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 11244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3835recoscld 16087 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3934rehalfcld 12459 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
4038, 39remulcld 11244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140, 15remulcld 11244 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
4237, 41resubcld 11642 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
4336resqcld 14090 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2) ∈ ℝ)
44 2z 12594 . . . . . 6 2 ∈ β„€
4544a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„€)
4618, 21, 45expne0d 14117 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2) β‰  0)
4742, 43, 46redivcld 12042 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
48 1cnd 11209 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
49 recn 11200 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5049adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
51 1red 11215 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
5232dvmptid 25474 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
53 ioossre 13385 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
55 eqid 2733 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5655tgioo2 24319 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
57 iooretop 24282 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
5857a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 25480 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
60 elsni 4646 . . . . . . 7 ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ {0} β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) = 0)
6160necon3ai 2966 . . . . . 6 ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0 β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6221, 61syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6318, 62eldifd 3960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
6417coscld 16074 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
6548halfcld 12457 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
6664, 65mulcld 11234 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) ∈ β„‚)
67 cnelprrecn 11203 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
6867a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
69 sinf 16067 . . . . . . 7 sin:β„‚βŸΆβ„‚
7069a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
7170ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
72 cosf 16068 . . . . . . 7 cos:β„‚βŸΆβ„‚
7372a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
7473ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
75 2cnd 12290 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
7622a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 25482 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / 2)))
78 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sin Fn β„‚
80 dffn5 6951 . . . . . . . . . 10 (sin Fn β„‚ ↔ sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯)))
8179, 80mpbi 229 . . . . . . . . 9 sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))
8281eqcomi 2742 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯)) = sin
8382oveq2i 7420 . . . . . . 7 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (β„‚ D sin)
84 dvsin 25499 . . . . . . 7 (β„‚ D sin) = cos
85 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (cos:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ cos Fn β„‚)
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8 cos Fn β„‚
87 dffn5 6951 . . . . . . . 8 (cos Fn β„‚ ↔ cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
8886, 87mpbi 229 . . . . . . 7 cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))
8983, 84, 883eqtri 2765 . . . . . 6 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))
9089a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
91 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑠 / 2) β†’ (sinβ€˜π‘₯) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
92 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑠 / 2) β†’ (cosβ€˜π‘₯) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 25489 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2))))
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 25491 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2))))
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 25482 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
9614recnd 11242 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
9796halfcld 12457 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
9897sincld 16073 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
9998mullidd 11232 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
10097coscld 16074 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
101 2cnd 12290 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 2 ∈ β„‚)
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 2 β‰  0)
103100, 101, 102divrecd 11993 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) = ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)))
104103eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) = ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2))
105104oveq1d 7424 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠) = (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠))
10699, 105oveq12d 7427 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) = ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)))
107106oveq1d 7424 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) = (((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)))
108107oveq1d 7424 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2) = ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
109108mpteq2ia 5252 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
110109a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
11130, 95, 1103eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  β†‘cexp 14027  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944   D cdv 25380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator