Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem56 42432
 Description: Derivative of the 𝐾 function on an interval not containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem56.a (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
fourierdlem56.r4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
21difss2d 4109 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
32sselda 3965 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4 1ex 10629 . . . . . . . 8 1 ∈ V
5 ovex 7181 . . . . . . . 8 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
64, 5ifex 4513 . . . . . . 7 if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V)
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98fvmpt2 6772 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
103, 7, 9syl2anc 586 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
1211neneqd 3019 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
1312iffalsed 4476 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
14 elioore 12760 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1514adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1615recnd 10661 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
1716halfcld 11874 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
1817sincld 15475 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
19 2cnd 11707 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20 fourierdlem44 42421 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
213, 11, 20syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
22 2ne0 11733 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 11439 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2) = (𝑠 / ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2)))
2518, 19mulcomd 10654 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
2625oveq2d 7164 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
2724, 26eqtr2d 2855 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))
2810, 13, 273eqtrd 2858 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))
2928mpteq2dva 5152 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2)))
3029oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))))
31 reelprrecn 10621 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3316, 18, 21divcld 11408 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
34 1red 10634 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
3515rehalfcld 11876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3635resincld 15488 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 10663 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3835recoscld 15489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3934rehalfcld 11876 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
4038, 39remulcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140, 15remulcld 10663 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
4237, 41resubcld 11060 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
4336resqcld 13603 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2))↑2) ∈ ℝ)
44 2z 12006 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
4544a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
4618, 21, 45expne0d 13508 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2))↑2) ≠ 0)
4742, 43, 46redivcld 11460 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
48 1cnd 10628 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
49 recn 10619 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5049adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
51 1red 10634 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5232dvmptid 24546 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
53 ioossre 12790 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
55 eqid 2819 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5655tgioo2 23403 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
57 iooretop 23366 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
5857a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 24552 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
60 elsni 4576 . . . . . . 7 ((sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} → (sin‘(𝑠 / 2)) = 0)
6160necon3ai 3039 . . . . . 6 ((sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0 → ¬ (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6221, 61syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6318, 62eldifd 3945 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6417coscld 15476 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6548halfcld 11874 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 10653 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) ∈ ℂ)
67 cnelprrecn 10622 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
6867a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
69 sinf 15469 . . . . . . 7 sin:ℂ⟶ℂ
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
7170ffvelrnda 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
72 cosf 15470 . . . . . . 7 cos:ℂ⟶ℂ
7372a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
7473ffvelrnda 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
75 2cnd 11707 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7622a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 24554 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)))
78 ffn 6507 . . . . . . . . . . 11 (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sin Fn ℂ
80 dffn5 6717 . . . . . . . . . 10 (sin Fn ℂ ↔ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
8179, 80mpbi 232 . . . . . . . . 9 sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))
8281eqcomi 2828 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) = sin
8382oveq2i 7159 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (ℂ D sin)
84 dvsin 24571 . . . . . . 7 (ℂ D sin) = cos
85 ffn 6507 . . . . . . . . 9 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8 cos Fn ℂ
87 dffn5 6717 . . . . . . . 8 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
8886, 87mpbi 232 . . . . . . 7 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
8983, 84, 883eqtri 2846 . . . . . 6 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
9089a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
91 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (sin‘𝑥) = (sin‘(𝑠 / 2)))
92 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 24561 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2))))
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 24563 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2))))
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 24554 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
9614recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
9796halfcld 11874 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
9897sincld 15475 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
9998mulid2d 10651 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (sin‘(𝑠 / 2))) = (sin‘(𝑠 / 2)))
10097coscld 15476 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
101 2cnd 11707 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ≠ 0)
103100, 101, 102divrecd 11411 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) = ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)))
104103eqcomd 2825 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) = ((cos‘(𝑠 / 2)) / 2))
105104oveq1d 7163 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠) = (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠))
10699, 105oveq12d 7166 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) = ((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)))
107106oveq1d 7163 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) = (((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)))
108107oveq1d 7163 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2) = ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
109108mpteq2ia 5148 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
110109a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
11130, 95, 1103eqtrd 2858 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  Vcvv 3493   ∖ cdif 3931   ⊆ wss 3934  ifcif 4465  {csn 4559  {cpr 4561   ↦ cmpt 5137  ran crn 5549   Fn wfn 6343  ⟶wf 6344  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   − cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  2c2 11684  ℤcz 11973  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  ↑cexp 13421  sincsin 15409  cosccos 15410  πcpi 15412  TopOpenctopn 16687  topGenctg 16703  ℂfldccnfld 20537   D cdv 24453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-t1 21914  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator