Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem56 45178
Description: Derivative of the 𝐾 function on an interval not containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem56.a (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
fourierdlem56.r4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐡,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ((-Ο€[,]Ο€) βˆ– {0}))
21difss2d 4135 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
32sselda 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
4 1ex 11215 . . . . . . . 8 1 ∈ V
5 ovex 7445 . . . . . . . 8 (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) ∈ V
64, 5ifex 4579 . . . . . . 7 if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ V)
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
98fvmpt2 7010 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) ∈ V) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
103, 7, 9syl2anc 583 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 β‰  0)
1211neneqd 2944 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ 𝑠 = 0)
1312iffalsed 4540 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
14 elioore 13359 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1615recnd 11247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
1716halfcld 12462 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
1817sincld 16078 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
19 2cnd 12295 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„‚)
20 fourierdlem44 45167 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ 𝑠 β‰  0) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
213, 11, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0)
22 2ne0 12321 . . . . . . . 8 2 β‰  0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 β‰  0)
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 12026 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2) = (𝑠 / ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) Β· 2)))
2518, 19mulcomd 11240 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) Β· 2) = (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))
2625oveq2d 7428 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) Β· 2)) = (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))))
2724, 26eqtr2d 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))
2810, 13, 273eqtrd 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΎβ€˜π‘ ) = ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))
2928mpteq2dva 5249 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ )) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2)))
3029oveq2d 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))))
31 reelprrecn 11205 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
3231a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
3316, 18, 21divcld 11995 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ β„‚)
34 1red 11220 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12464 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3635resincld 16091 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 11249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3835recoscld 16092 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3934rehalfcld 12464 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
4038, 39remulcld 11249 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140, 15remulcld 11249 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
4237, 41resubcld 11647 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
4336resqcld 14095 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2) ∈ ℝ)
44 2z 12599 . . . . . 6 2 ∈ β„€
4544a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 2 ∈ β„€)
4618, 21, 45expne0d 14122 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2) β‰  0)
4742, 43, 46redivcld 12047 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
48 1cnd 11214 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ 1 ∈ β„‚)
49 recn 11203 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
5049adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
51 1red 11220 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
5232dvmptid 25707 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
53 ioossre 13390 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† ℝ)
55 eqid 2731 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
5655tgioo2 24540 . . . . 5 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
57 iooretop 24503 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
5857a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 25713 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ 1))
60 elsni 4646 . . . . . . 7 ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ {0} β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) = 0)
6160necon3ai 2964 . . . . . 6 ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) β‰  0 β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6221, 61syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6318, 62eldifd 3960 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ (β„‚ βˆ– {0}))
6417coscld 16079 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
6548halfcld 12462 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
6664, 65mulcld 11239 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) ∈ β„‚)
67 cnelprrecn 11206 . . . . . 6 β„‚ ∈ {ℝ, β„‚}
6867a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ {ℝ, β„‚})
69 sinf 16072 . . . . . . 7 sin:β„‚βŸΆβ„‚
7069a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ sin:β„‚βŸΆβ„‚)
7170ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (sinβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
72 cosf 16073 . . . . . . 7 cos:β„‚βŸΆβ„‚
7372a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ cos:β„‚βŸΆβ„‚)
7473ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (cosβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
75 2cnd 12295 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
7622a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 25715 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (1 / 2)))
78 ffn 6718 . . . . . . . . . . 11 (sin:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ sin Fn β„‚)
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sin Fn β„‚
80 dffn5 6951 . . . . . . . . . 10 (sin Fn β„‚ ↔ sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯)))
8179, 80mpbi 229 . . . . . . . . 9 sin = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))
8281eqcomi 2740 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯)) = sin
8382oveq2i 7423 . . . . . . 7 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (β„‚ D sin)
84 dvsin 25732 . . . . . . 7 (β„‚ D sin) = cos
85 ffn 6718 . . . . . . . . 9 (cos:β„‚βŸΆβ„‚ β†’ cos Fn β„‚)
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8 cos Fn β„‚
87 dffn5 6951 . . . . . . . 8 (cos Fn β„‚ ↔ cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
8886, 87mpbi 229 . . . . . . 7 cos = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))
8983, 84, 883eqtri 2763 . . . . . 6 (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯))
9089a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (sinβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (cosβ€˜π‘₯)))
91 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑠 / 2) β†’ (sinβ€˜π‘₯) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
92 fveq2 6892 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑠 / 2) β†’ (cosβ€˜π‘₯) = (cosβ€˜(𝑠 / 2)))
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 25722 . . . 4 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (sinβ€˜(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2))))
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 25724 . . 3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2))))
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 25715 . 2 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((𝑠 / (sinβ€˜(𝑠 / 2))) / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
9614recnd 11247 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑠 ∈ β„‚)
9796halfcld 12462 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (𝑠 / 2) ∈ β„‚)
9897sincld 16078 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (sinβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
9998mullidd 11237 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) = (sinβ€˜(𝑠 / 2)))
10097coscld 16079 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (cosβ€˜(𝑠 / 2)) ∈ β„‚)
101 2cnd 12295 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 2 ∈ β„‚)
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 2 β‰  0)
103100, 101, 102divrecd 11998 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) = ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)))
104103eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) = ((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2))
105104oveq1d 7427 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠) = (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠))
10699, 105oveq12d 7430 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) = ((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)))
107106oveq1d 7427 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ (((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) = (((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)))
108107oveq1d 7427 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2) = ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
109108mpteq2ia 5252 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
110109a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((1 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) Β· (1 / 2)) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
11130, 95, 1103eqtrd 2775 1 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΎβ€˜π‘ ))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((sinβ€˜(𝑠 / 2)) βˆ’ (((cosβ€˜(𝑠 / 2)) / 2) Β· 𝑠)) / ((sinβ€˜(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629  {cpr 4631   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  β„‚cc 11111  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   Β· cmul 11118   βˆ’ cmin 11449  -cneg 11450   / cdiv 11876  2c2 12272  β„€cz 12563  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  β†‘cexp 14032  sincsin 16012  cosccos 16013  Ο€cpi 16015  TopOpenctopn 17372  topGenctg 17388  β„‚fldccnfld 21145   D cdv 25613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-supp 8150  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9365  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-t1 23039  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator