Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem56 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem56 44393
Description: Derivative of the 𝐾 function on an interval not containing ' 0 '. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem56.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem56.a (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
fourierdlem56.r4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem56 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑠   𝐵,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem56
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem56.a . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0}))
21difss2d 4094 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (-π[,]π))
32sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
4 1ex 11151 . . . . . . . 8 1 ∈ V
5 ovex 7390 . . . . . . . 8 (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ V
64, 5ifex 4536 . . . . . . 7 if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V)
8 fourierdlem56.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
98fvmpt2 6959 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ V) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
103, 7, 9syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
11 fourierdlem56.r4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ≠ 0)
1211neneqd 2948 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ 𝑠 = 0)
1312iffalsed 4497 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
14 elioore 13294 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
1514adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1615recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
1716halfcld 12398 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
1817sincld 16012 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
19 2cnd 12231 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℂ)
20 fourierdlem44 44382 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
213, 11, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
22 2ne0 12257 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ≠ 0)
2416, 18, 19, 21, 23divdiv1d 11962 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2) = (𝑠 / ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2)))
2518, 19mulcomd 11176 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2) = (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))
2625oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / ((sin‘(𝑠 / 2)) · 2)) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
2724, 26eqtr2d 2777 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))
2810, 13, 273eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐾𝑠) = ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))
2928mpteq2dva 5205 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2)))
3029oveq2d 7373 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))))
31 reelprrecn 11143 . . . 4 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
3231a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3316, 18, 21divcld 11931 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
34 1red 11156 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℝ)
3515rehalfcld 12400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
3635resincld 16025 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3734, 36remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
3835recoscld 16026 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
3934rehalfcld 12400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
4038, 39remulcld 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140, 15remulcld 11185 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
4237, 41resubcld 11583 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
4336resqcld 14030 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2))↑2) ∈ ℝ)
44 2z 12535 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
4544a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 2 ∈ ℤ)
4618, 21, 45expne0d 14057 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((sin‘(𝑠 / 2))↑2) ≠ 0)
4742, 43, 46redivcld 11983 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) ∈ ℝ)
48 1cnd 11150 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
49 recn 11141 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5049adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
51 1red 11156 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
5232dvmptid 25321 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
53 ioossre 13325 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
55 eqid 2736 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
5655tgioo2 24166 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
57 iooretop 24129 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,))
5857a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ (topGen‘ran (,)))
5932, 50, 51, 52, 54, 56, 55, 58dvmptres 25327 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
60 elsni 4603 . . . . . . 7 ((sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0} → (sin‘(𝑠 / 2)) = 0)
6160necon3ai 2968 . . . . . 6 ((sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0 → ¬ (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6221, 61syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ¬ (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ {0})
6318, 62eldifd 3921 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ (ℂ ∖ {0}))
6417coscld 16013 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
6548halfcld 12398 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
6664, 65mulcld 11175 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) ∈ ℂ)
67 cnelprrecn 11144 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
6867a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
69 sinf 16006 . . . . . . 7 sin:ℂ⟶ℂ
7069a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → sin:ℂ⟶ℂ)
7170ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
72 cosf 16007 . . . . . . 7 cos:ℂ⟶ℂ
7372a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → cos:ℂ⟶ℂ)
7473ffvelcdmda 7035 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℂ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
75 2cnd 12231 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
7622a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ≠ 0)
7732, 16, 34, 59, 75, 76dvmptdivc 25329 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)))
78 ffn 6668 . . . . . . . . . . 11 (sin:ℂ⟶ℂ → sin Fn ℂ)
7969, 78ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 sin Fn ℂ
80 dffn5 6901 . . . . . . . . . 10 (sin Fn ℂ ↔ sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)))
8179, 80mpbi 229 . . . . . . . . 9 sin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))
8281eqcomi 2745 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥)) = sin
8382oveq2i 7368 . . . . . . 7 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (ℂ D sin)
84 dvsin 25346 . . . . . . 7 (ℂ D sin) = cos
85 ffn 6668 . . . . . . . . 9 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
8672, 85ax-mp 5 . . . . . . . 8 cos Fn ℂ
87 dffn5 6901 . . . . . . . 8 (cos Fn ℂ ↔ cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
8886, 87mpbi 229 . . . . . . 7 cos = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
8983, 84, 883eqtri 2768 . . . . . 6 (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥))
9089a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (cos‘𝑥)))
91 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (sin‘𝑥) = (sin‘(𝑠 / 2)))
92 fveq2 6842 . . . . 5 (𝑥 = (𝑠 / 2) → (cos‘𝑥) = (cos‘(𝑠 / 2)))
9332, 68, 17, 39, 71, 74, 77, 90, 91, 92dvmptco 25336 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (sin‘(𝑠 / 2)))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2))))
9432, 16, 48, 59, 63, 66, 93dvmptdiv 25338 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2))))
9532, 33, 47, 94, 75, 76dvmptdivc 25329 . 2 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑠 / (sin‘(𝑠 / 2))) / 2))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
9614recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℂ)
9796halfcld 12398 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
9897sincld 16012 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
9998mulid2d 11173 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (1 · (sin‘(𝑠 / 2))) = (sin‘(𝑠 / 2)))
10097coscld 16013 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (cos‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
101 2cnd 12231 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ∈ ℂ)
10222a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 2 ≠ 0)
103100, 101, 102divrecd 11934 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) = ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)))
104103eqcomd 2742 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) = ((cos‘(𝑠 / 2)) / 2))
105104oveq1d 7372 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠) = (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠))
10699, 105oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) = ((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)))
107106oveq1d 7372 . . . . 5 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → (((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) = (((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)))
108107oveq1d 7372 . . . 4 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2) = ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
109108mpteq2ia 5208 . . 3 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2))
110109a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((1 · (sin‘(𝑠 / 2))) − (((cos‘(𝑠 / 2)) · (1 / 2)) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
11130, 95, 1103eqtrd 2780 1 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐾𝑠))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((sin‘(𝑠 / 2)) − (((cos‘(𝑠 / 2)) / 2) · 𝑠)) / ((sin‘(𝑠 / 2))↑2)) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  Vcvv 3445  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588  cmpt 5188  ran crn 5634   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  2c2 12208  cz 12499  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  cexp 13967  sincsin 15946  cosccos 15947  πcpi 15949  TopOpenctopn 17303  topGenctg 17319  fldccnfld 20796   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator